第二十八章銳角三角函數28.1銳角三角函數

直角三角形ABC可以簡記為Rt△ABC，你能說出各條邊的名稱嗎？┓C斜邊c鄰邊對邊abC┓AB

某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30°，高為7m，扶梯的長度是多少?BAC┓30°7m實際問題

在上面的問題中，如果高為10m，扶梯的長度是多少？

已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，計算∠A的對邊與斜邊的比，你能得出什么結論？ABC┓在Rt△ABC中,∠C＝90°．當∠A＝30°時,當∠A＝45°時,固定值固定值

在直角三角形中，對于銳角A的每一個確定的值，其對邊與斜邊的比值也是唯一確定的嗎？想一想所以＝＝Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3

所以，在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不論三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比是一個固定值．

觀察右圖中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的對邊與斜邊有什么關系？

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即一個角的正弦表示定值、比值、正值．知識要點正弦

在直角三角形中，

對于銳角A的每一個確定的值，其鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的嗎？想一想

在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比，∠A的鄰邊與斜邊的比，∠A的對邊與鄰邊的比都是一個固定值．歸納

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即一個角的余弦表示定值、比值、正值．知識要點余弦

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即一個角的正切表示定值、比值、正值．知識要點正切

銳角三角函數銳角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的銳角三角函數（trigonometricfunctionofacuteangle）知識要點

1．sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數形結合，構造直角三角形)．

2．sinA、cosA、tanA是一個比值（數值）．

3．sinA、cosA、tanA的大小只與∠A的大小有關，而與直角三角形的邊長無關．提示1、如圖1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.

∠P的對邊是_________,∠P的鄰邊是___________;

∠M的對邊是________,∠M的鄰邊是___________.2、設Rt△ABC，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，根據下列所給條件求∠B的三個三角函數值.

a=5，c=13.小練習在直角三角形中共有五個元素：邊a,b,c,銳角∠A,∠B.這五個元素之間有如下等量關系：ABCcab(1)三邊之間關系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)銳角之間關系：∠A+∠B=90°(3)邊角之間關系：課堂小結第二十八章銳角三角函數28.2解直角三角形及其應用28.2.1解直角三角形導入新課復習引入ACBcba(1)三邊之間的關系:a2+b2=_____；(2)銳角之間的關系：∠A+∠B=_____；(3)邊角之間的關系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.

問題

如圖，在Rt△ABC中，共有六個元素（三條邊，三個角），其中∠C=90°，那么其余五個元素之間有怎樣的關系呢？c290°講授新課已知兩邊解直角三角形一如圖，在Rt△ABC中，（1）根據∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？ABCα6=75°互動探究如圖，在Rt△ABC中，（2）根據AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個直角三角形的其他元素嗎？ABCα62.4在直角三角形中，除直角外有5個元素（即3條邊、2個銳角），只要知道其中的2個元素（至少有1個是邊），就可以求出其余的3個未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫作解直角三角形.已知一邊及一銳角解直角三角形二典例精析例2

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20,解這個直角三角形(結果保留小數點后一位).ABCb=20ca35°解：例3

如圖，已知AC=4，求AB和BC的長．解析：作CD⊥AB于點D，根據三角函數的定義，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD的長，從而得解．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°，D解：如圖，作CD⊥AB于點D.在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，∴BD=CD=2，已知一銳角三角函數值解直角三角形三例4

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，試求AB的長.解：ACB設∴AB的長為在解直角三角形中，已知一邊與一銳角三角函數值，一般可結合方程思想求解.練一練1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則AB=（）A．4B．6C．8D．10D2.如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，EC=4，sinB＝，則菱形的周長是（）A．10B．20C．40D．28C圖②當△ABC為銳角三角形時，如圖②，BC=BD+CD=12+5=17.圖①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°.當△ABC為鈍角三角形時，如圖①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD-CD=12-5=7.∴BC的長為7或17.當三角形的形狀不確定時，一定要注意分類討論.例5

在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的長.當堂練習2.如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=3，cosB=，則AC的長為（）A．3B．3.75C．4.8D．5B1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，則BC的長是（）

D3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，解這個直角三角形.DABC6解：因為AD平分∠BAC，4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據下列條件解直角三角形.（1）a=30,b=20；解：根據勾股定理得ABCb=20a=30c在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據下列條件解直角三角形.

(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：5.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：過點A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=解直角三角形依據解法:只要知道五個元素中的兩個元素（至少有一個是邊），就可以求出余下的三個未知元素勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數課堂小結28.2.2應用舉例——什么是仰角、俯角？如何將實際問題轉化為解直角三角形的問題？——什么是坡度、坡比？——如何將實際問題轉化為解直角三角形的問題？

在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.

在修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛直高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即

.

坡度通常寫成1:m的形式，如

i＝1:6．坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有

顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．＝

tanα．

1、學生探究：在RtΔABC中，若∠C=90°，問題1：兩銳角∠A、∠B有什么關系？問題2：三邊a、b、c的關系如何？問題3：∠A與邊的關系是什么？2、數學知識、數學運用解直角三角形有下面兩種情況：（1）已知兩條邊求直角三角形中的其他元素；（2）已知一邊及一角求直角三角形中的其他元素.例1如圖，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，大樹在折斷之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折斷后倒下部分的長度為13+5=18（米）答：大樹在折斷之前高為18米.5m12m例2如圖，在相距2000米的東、西兩座炮臺A、B處同時發現入侵敵艦C，炮臺A測得敵艦C在它的南偏東400的方向，炮臺B測得敵艦C在它的正南方，試求敵艦與兩炮臺的距離.（精確到1米）ADCB4002000例3如圖，為了測量旗桿的高度BC，在離旗桿底部10米的A處，用高1.50米的測角儀DA測得旗桿頂端C的仰角α=52°.求旗桿BC的高.

解：在Rt△CDE中，CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80.BC=BE+CE=DA+CE≈1.50+12.80=14.3.答：旗桿BC的高度約為14.3米.1.(1)如圖，一輛消防車的梯子長為18m，與水平面間的夾角為60°，如果這輛消防車的高度為2m，求梯子可達到的高度．AC=100m(2)我軍某部在一次野外訓練中，有一輛坦克準備通過一座小山，已知山腳和山頂的水平距離為100米，山高為100米，如果這輛坦克能夠爬30°的斜坡，試問：它能不能通過這座小山？AC100米100米B2.（1）某貨船沿正北方向航行，在點A處測得燈塔C在北偏西30°，船以每小時20海里的速度航行2小時，到達點B后，測得燈塔C在北偏西60°方向，請問當這艘貨船到達C的正東方向時，船距燈塔C有多遠？（2）如圖，某電信部門計劃修建一條連接B、C兩地的電纜，測量人員，在山腳A點測得B、C兩地的仰角分別為30°、45°，在B地測得C地的仰角為60°．已知C地比A地高200米，電纜BC至少長多少米？3.(1)植樹節，某