第2章信號轉換與z變換信息學院·周瑋zhouwei@二○一一年一月計算機控制系統本章內容:信號變換原理采樣信號恢復與保持器信號轉換的工程化技術

z變換/z反變換擴展z變換2.2信號變換原理2.2.1計算機控制系統信號轉換分析圖2.1計算機控制系統前后的信號轉換關系

2.2.1計算機控制系統信號轉換分析模擬信號：時間上連續，幅值上也是連續的信號，

即通常所說的連續信號。采樣信號：時間上離散，幅值上連續的信號。數字信號：時間上離散，幅值上也離散且已經量化的信號，可用一序列數字表示。量化：采用一組數碼（多用二進制數碼）來逼近離散模擬信號的幅值，將模擬信號轉換成數字信號。采樣：利用采樣開關，將模擬信號按一定時間間隔抽樣成離散模擬信號的過程。*表示離散化。采樣器采樣信號量化數字信號模擬信號D/A轉換——A/D變換——模擬信號、采樣信號、數字信號之間的轉換關系計算機控制系統信息轉換圖

計算機運算和處理的是數字信號，實際系統中被控對象的數學描述大多是模擬信號。計算機與被控對象組成的閉環反饋系統中信號類型是不統一的，為了設計與分析計算機控制系統，必須對模擬信號進行采樣和量化，把數字信號復現成模擬信號，即對兩種信息進行變換。模擬信號到數字信號的信息變換。2.2.2采樣過程及采樣函數的數學表示數字控制器保持器被控對象輸出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)輸入x(t)T計算機控制系統方框圖f(t)t0(b)連續信號f(t)f*(t)(a)采樣開關T(c)開關函數KT05T3TT7T1P(t)f

*(t)kT05T3TT7T1(d)采樣信號調制器f(t)f

*(t)P(t)(e)采樣過程f

*(t)=p(t)f

(t)

因<<

T，所以分析時可近似認為=0，以單位脈沖函數δ(t)代替p(t)。

理論表達形式：δ(t)＝{0∞

t=0t≠0工程表達形式：δ(t)＝{01

t=0t≠0理想單位脈沖δT(t)定義：理想單位脈沖序列δT(t)：數學表達式：δT(t)t0T2T考慮物理上可實現，又可近似為：可見，具有采樣信號的特性。

連續函數f(t)，經一個以T為周期的脈沖采樣器調制后可以得到采樣函數。由模擬信號到數字信號的信息變換，信息變換的可靠性。2.2.3采樣函數的頻譜分析及采樣定理數字控制器保持器被控對象輸出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)輸入x(t)T計算機控制系統方框圖在時間內，有采樣函數的一般表達式為是周期函數，可以展成傅氏級數（Fourier）:其中采樣角頻率：傅氏系數：于是得到：于是有：從而得到：于是采樣函數的拉氏變換式為：定義拉氏變換式：采樣函數f*(t)的拉氏變換式為：則采樣函數的傅氏變換式為：根據拉氏變換復位移定理得到：令n=-k，得到在令周期函數，周期為

采樣函數頻譜與連續函數頻譜之間的關系，即采樣函數的傅氏變換式：為原連續函數f(t)的頻譜，為采樣函數的頻譜。

被控對象一般具有低通濾波特性，因而f(t)的帶寬是有限的，a為非周期頻譜圖。由于采樣過程會產生高頻頻譜，b為周期頻譜圖。K=0時叫主頻譜，主頻譜就是原連續函數的頻譜，只是幅值為原來的1/T。（1）

這時，采樣信號的頻譜是由多個孤立頻譜組成的離散頻譜。如果將經過一個頻帶寬帶大于小于的理想濾波器,濾波器輸出就是原連續函數f(t)的頻譜。（2）

這時，采樣函數

的頻譜已變成連續頻譜。重疊后的頻譜中沒有哪部分與原連續函數頻譜相似,采樣信號不能通過低通濾波方法不失真的恢復原連續信號。香農采樣定理：

“如果一個連續信號不包含高于頻率的頻率分量（連續信號中所含頻率分量的最高頻率為），那么就完全可以用周期的均勻采樣值來描述?；蛘哒f，如果采樣頻率，那么就可以從采樣信號中不失真地恢復原連續信號”。香農采樣定理給出了采樣周期的上限，即采樣頻率的下限。

注意：連續信號的頻譜是無限帶寬，此時無論怎樣提高采樣頻率，頻譜混疊或多或少都將發生。為了不失真的使采樣函數恢復原連續函數：

理論上采樣頻率越高越好，頻率越高復現連續信號的精度越高。系統硬件要求采樣頻率越低越好，采樣頻率越低對系統硬件要求越低，所以在工程實際中往往采用折中的方案。工程上，采樣周期怎樣確定呢？2.2.4采樣周期T的討論

如聲音的最高頻率為4000Hz，當采樣頻率為8000Hz時就能夠在計算機中完全復現聲音信號。

工程上一般不知道系統的最高角頻率，所以常用系統的預期開環頻率特性的截止頻率ωc或系統預期閉環頻率特性的諧振頻率ω0來確定采樣頻率。

ωs≈10ωc采樣周期選取的一般原則：（1）系統受擾動情況若擾動和噪聲都較小，采樣周期T應選大些；對于擾動頻繁和噪聲大的系統，采樣周期T應選小些。（2）被控系統動態特性滯后時間大的系統，采樣周期T應選大些；滯后時間小的系統，采樣周期T應選小些。（3）控制品質指標要求若超調量為主要指標，采樣周期T應選大些；若希望過渡過程時間短些，采樣周期T應選小些。被控參數采樣周期T(S)主汽壓力、汽包壓力、爐膛負壓、凝汽器真空、汽包水位、汽機轉速1流量、主汽溫度、一般壓力真空和電氣參量3～5一般液位6～8一般溫度10～20成分：Ox,NOx,Sox,COx10－30慢過程采樣周期T的選擇

根據系統上升時間而定采樣周期，即保證上升時間內進行2到4次采樣。設Tr為上升時間，Nr為上升時間采校次數，則經驗公式為：快過程采樣周期T的選擇：由數字信號到模擬信號的信息變換。2.3采樣信號恢復與保持器數字控制器保持器被控對象輸出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)輸入x(t)T計算機控制系統方框圖數字信號的恢復是指將采樣信號恢復為模擬信號的過程，物理上能夠實現這一過程的裝置稱為保持器。保持器脈沖序列連續信號

理想的低通濾波器在物理上是不可實現的，在實際中只能用非理想的低通濾波器來代替理想的低通濾波器。理想低通濾波器的截止頻率，并且滿足：

當采樣頻率大于時，在被控對象前加一個理想低通濾波器，可以再現主頻譜分量而除掉附加的高頻頻譜分量。

如果有一脈沖序列，從脈沖序列的全部信息中恢復原來的連續信號u(t)的過程是由保持器完成的。

u(t)值的復現是通過多項式外推實現的。即是由t=kT前各采樣時刻的值推算出來。實現這樣外推的一個方法，是利用u(t)的冪級數展開公式：式中，kT<t<(k+1)T

。各階導數的近似值用各階差商表示：

由此類推，計算n階導數的近似值需已知n+1個采樣時刻的瞬時值。若右邊只取前n+1項，便得到n階保持器的數學表達式。

由數字信號到模擬信號的信息變換，信息變換的可靠性。數字控制器保持器被控對象輸出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)輸入x(t)T計算機控制系統方框圖

零階保持器是采用恒值外推規律的保持器，即。它將前一采樣時刻nT的采樣值u(nT)保持到下一采樣時刻(n+1)T，其輸入信號與輸出信號的關系如圖所示。

2.3.1零階保持器零階保持器輸入輸出關系a-零階保持器單元方框圖b-零階保持器輸入c-零階保持器輸出零階保持器的單位脈沖響應為了便于計算，把脈沖響應函數分解為右圖(b),根據線性函數可加性，可表示為：式中，1(t)為單位階躍函數：由拉氏變換可得零階保持器的傳遞函數：或式中

令s=j，得零階保持器的頻率特性：零階保持器的幅頻特性如圖所示。它的幅值隨角頻率ω的增大而衰減，具有明顯的低通濾波特性。但是，它不是一個理想的濾波器，除了主頻譜之外，還允許附加高頻譜通過一部分。因此，被恢復的信號與原信號是有差別的。

零階保持器的幅頻特性

零階保持器的相頻特性從下圖可看出，輸入比輸出平均滯后了T/2時間。零階保持器附加了滯后相位移，增加了系統的不穩定因素。

零階保持器的相頻特性零階保持器的頻率特性為：幅頻特性為：相頻特性為：取整函數開關特性零階保持器的輸入和輸出信號

若將階梯波輸出信號的各中點連接起來，可以得到一條比連續信號滯后T/2的曲線，反映了零階保持器的相位滯后特性。零階保持器和一階或高階保持器相比，它具有最小的相位滯后，而且反應快，對穩定性影響相對減少，再加上容易實現，所以在實際系統中，經常采用零階保持器。具有低通濾波特性，但不是一個理想的濾波器零階保持器附加了滯后相位移，增加了系統不穩定因素，平均滯后T/2

時間。零階保持器特性：2.3.2一階保持器

取保持器外推式的前兩項，組成一階保持器：圖2.12一階保持器工作情況(a)結構圖(b)單位脈沖響應(c)單位脈沖響應分解圖2.13一階保持器的脈沖響應一階保持器的單位脈沖響應函數：于是得到一階保持器的傳遞函數為：頻率特性為：圖2.14一階保持器幅頻與相頻特性（虛線為零階保持器頻率特性）一階保持器特性：一階保持器的幅頻特性比零階保持器的要高。在低頻時相移比零階保持器要小，但在整個頻率范圍內相移比零階保持器要大得多，對系統穩定不利。結論：實際上較少采用為什么要進行信息變換？

參考答案：計算機與被控對象組成的閉環反饋系統的兩種信號類型不統一，必須通過信息轉換使信號滿足各環節的輸入輸出關系。模擬信號是怎樣按照一定的時間間隔抽樣成離散信號的呢？參考答案：

連續函數f(t)，經一個以T為周期的脈沖采樣器調制后可以得到采樣函數。幾個問題：參考答案：為了不失真的使采樣函數恢復原連續函數：采樣函數怎樣才能不失真地恢復原連續信號？工程上，采樣周期怎樣確定呢？參考答案：理論上采樣頻率越高越好，頻率越高復現連續信號的精度越高。系統硬件要求采樣頻率越低越好，采樣頻率越低對系統硬件要求越低，所以在工程實際中往往采用折中的方案。幾個問題：怎樣將計算機的數字信號轉換為連續信號？經零階保持器恢復的信號u*(t)與原連續函數u(t)有多大差別？參考答案：幅頻特性：除了允許主頻譜通過之外，還允許附加的高頻頻譜通過一部分。相頻特性：附加了滯后相位移，增加了系統不穩定因素。幾個問題：參考答案：當時，在被控對象前加一個理想濾波器，可以再現主頻譜分量而除掉附加的高頻分量。這種濾波器叫做保持器。ThankYou!2.4信息轉換的工程化技術2.4.1A/D轉換的基本工程化技術1、A/D轉換的性能指標（1）A/D精度指轉換后所得數字量相當于實際模擬量值的準確度，即指對應一個給定的數字量的實際模擬量輸入與理論模擬量輸入接近的程度。

A/D轉換器精度：數字部分由A/D轉換器的位數決定；模擬部分由比較器、T型網絡中的電阻以及基準電源的誤差決定。例如，一個A/D轉換器，理論上5V對應數字量800H，但實際上4.997~4.999V均產生數字量800H，那么絕對誤差將為或者相對誤差將為精度的高低是用誤差來衡量的，誤差大精度低，誤差小精度高。

（2）分辨率指輸出數字量對輸入模擬量變化的分辨能力，利用它可以決定使輸出數碼增加（或減少）一位所需要的輸入信號最小變化量。設A/D轉換器的位數為n，則A/D轉換器的分辨率為：有時也用最小有效位LSB代表的模擬量來表示，如12位A/D芯片的分辨率為：

如果輸入電壓最大值為5V，則12位A/D芯片能夠分辨的輸入電壓最小變化量為：（3）轉換時間從A/D轉換的啟動信號加入時起，到獲得數字輸出信號（與輸入信號對應之值）為止所需的時間稱為A/D轉換時間。該時間的倒數稱為轉換速率。A/D的位數越大，則相應的轉換速率就越慢。逐次逼近式A/D轉換器轉換時間為幾微秒~幾百微秒，雙積分式A/D轉換器的轉換時間為幾十毫秒~幾百毫秒。

啟動A/D轉換有內、外兩種啟動方式。（4）量程量程指測量的模擬量的變化范圍，一般有單極性（例如0~10V、0~20V）和雙極性（例如-5V~+5V、-10V~+10V）兩種。為了充分發揮A/D轉換器件的分辨率，應盡量通過調理環節（放大器）使待轉換信號的變化范圍充滿量程。

2、A/D轉換的典型芯片ADC0809是一種采用逐次逼近式轉換原理的8位8通道的A/D轉換器芯片。主要特性參數如下：分辨率：8位，零位誤差和滿量程誤差均小于0.5LSB；量程：0～5V；通道：8個模擬量輸入通道，有通道地址鎖存、輸出數據三態鎖存功能；轉換時間：約為100；工作溫度范圍：-40～+85℃；功耗：15mW；電源：單一的+5V電源供電。

START為A/D轉換啟動信號（輸入，高電平有效）；EOC為A/D轉換結束信號（輸出，轉換期間該端一直為低電平，當A/D轉換結束時，輸出一個高電平）。OE為數據輸出允許信號（輸入，高電平有效），當A/D轉換結束時，向該端輸入一個高電平，才能打開輸出三態門，輸出數字量。

VREF(+)、VREF(－)為基準電壓引腳，基準電壓的取值范圍為-10~+10VDC，可視實際情況選擇。A/D轉換器的輸入電壓Vin，位數n，參考電壓VREF(+)、VREF(-)的關系為：

ADC0809為8位A/D轉換器，故n=8。單極性輸入時，若VREF(+)＝5V，VREF(-)＝0V，Vin＝1.5V，則D＝[(1.5-0)/(5-0)]×256＝76.8≈77＝4DH。雙極性輸入時，若VREF(+)＝+5V，VREF(-)＝-5V，Vin＝-1.5V，則D＝[(-1.5+5)/(5+5)]×256＝89.6≈90＝5AH。3、A/D轉換芯片的選擇滿足用戶的各種技術要求

A/D輸出的方式（中斷方式、查詢方式等）

A/D芯片對啟動信號的要求

A/D的轉換精度和轉換時間穩定性及抗干擾能力等。A/D轉換器位數選擇：

設A/D轉換器的位數為n，模擬輸入信號的最大值為A/D轉換器的滿刻度，則模擬輸入信號的最小值應大于等于A/D轉換器的最低有效位。即有

所以模擬輸入信號的最大值模擬輸入信號的最小值4、A/D轉換的標度變換A物理量A0~Am傳感器信號標準信號B0~Bm數字信號C0~Cm傳感器變送器A/D進入計算機之前使用工程量進行編程顯示與管理等計算機內部標度轉換相同于上述過程的逆過程XYC假設映射為線性關系，于是由得到：由得到若，于是得到由上式得到式中C為計算機已知的數字量，計算出來的X就是被檢測的工程量。

以PLCS7-200和0~5V標準輸入信號為例。經A/D轉換器轉換后，得到的數值是6400~32000,C0=6400，Cm=32000，于是有若溫度傳感器檢測的溫度范圍為-10~60℃，用上述的方程可表達為當計算機的A/D轉換數據，即采樣數據為C=16000時，得到X=16.25，意味著此時溫度值為16.25℃。

2.4.2D/A轉換的基本工程化技術1、D/A轉換的性能指標（1）D/A精度

D/A的精度指實際輸出模擬量值與理論值之間接近的程度，與D/A轉換器的字長、基準電壓有關，主要由線性誤差、增益誤差及偏移誤差的大小決定。圖2.16D/A轉換器的誤差

例如：一個D/A轉換器，某二進制數碼的理論輸出為2.5V，實際輸出值為2.45V，則該D/A轉換器的精度為2%。

若已知D/A轉換器的精度為±0.1%，則理論輸出為2.5V時，其實際輸出值可在2.5025～2.4975V之間變化。（2）分辨率分辨率指輸入數字量發生單位數碼變化時輸出模擬量的變化量。分辨率也常用數字量的位數來表示，如對于分辨率為12位的D/A轉換器，表示它可以對滿量程的1/212=1/4096的增量做出反應。（3）轉換時間從接收一組數字量時起－到完成轉換－輸出模擬量為止所需的時間稱為D/A轉換時間。一般為微秒級，有時可以短到幾十納秒。D/A轉換器一般具有零階保持功能（數字鎖存）。（4）輸出電平與代碼形式對于D/A來說，不同型號的D/A轉換器的輸出電平相差較大，一般為5V~10V，高壓輸出型的輸出電平可達24V~30V。還有一些電流輸出型，低的有20mA，高的可達3A（一般D/A帶負載能力不夠，需接入功率放大器）。D/A轉換器單極性輸出時，有二進制碼、BCD碼；當雙極性輸出時，有原碼、補碼、偏移二進制碼等。2、D/A轉換的主要芯片8位D/A轉換器芯片DAC0832，有R-2RT型電阻網絡.主要特性參數如下：輸入數字量分辨率：8位；電流建立時間：1；精度：1LBS；基準電壓：-10V~+10V；電源電壓：+5V~+15V；輸入電平：符合TTL電平標準；功耗：20mW。3、D/A轉換的輸出信號形式運算放大器A1在電路中起反相比例求和作用，可以實現D/A的單極性輸出。此時，VOUT1、VREF、D7~D0(D)的關系為：上式說明，對于DAC0832（n=8），若取VREF=5V，當D7~D0=00H（0）時，VOUT1=0V。當D7~D0=FFH（255）時，VOUT1=-5V；當D7~D0=7FH（127）時，VOUT1=-2.5V。

上式說明，對于DAC0832（n=8），若取VREF=5V，當D7~D0=00H（0）時，VOUT2=-2.5V；當D7~D0=FFH（255）時，VOUT2=2.5V；當D7~D0=7FH（127）時，VOUT2=0V。

4、D/A轉換芯片的選擇性能滿足要求結構和應用上接口方便外圍電路簡單

D/A的轉換分辨率

D/A的轉換精度和轉換時間穩定性及抗干擾能力等對于D/A轉換器的字長的選擇，可以由計算機控制系統中D/A轉換器后面的執行機構的動態范圍來選定。設執行機構的最大輸入電壓為umax，執行機構的死區電壓為uR，D/A轉換器的字長為n，則計算機控制系統的最小輸出單位應小于執行機構的死區電壓，即執行機構的最大輸入電壓執行機構的死區電壓所以5、D/A轉換的標度變換數字信號C0~Cm標準信號物理量A0~AmX執行機構計算機控制系統前向通道（信號出計算機）使用工程量進行編程顯示與管理等計算機內部標度轉換相同于上述過程的逆過程D/A轉換C假設各環節的變換皆為線性變換關系，因此上述過程恰是A/D變換過程中信號變換的逆過程，因此A/D變換過程的標度變換公式仍然適用，即上式中，X為計算機內部計算得到的物理量，即執行機構輸出的物理量，范圍為A0~Am；C為與X對應的數字量，即D/A變換前的數字量，范圍為C0~Cm。ThankYou!的拉普拉斯變換式為的采樣信號為

其拉普拉斯變換式為

引入一個新的復變量2.5

z變換2.5.1z變換的定義時域s域z域時間序列(信號幅值信息)序列時刻(時間信息)：單位延遲因子z變換定義：一個連續的函數可進行拉氏變換，采樣后的函數同樣可以進行拉氏變換.注：與不是一一對應關系，一個可有無窮多個與之對應。

任何采樣時刻為零值的函數與相加，得曲線，將不改變的采樣值，因而它們的z變換相同。由此可見，采樣函數與是一一對應關系，與是一一對應的，而與不是一一對應關系，一個可有無窮多個與之對應。將離散函數展開如下然后利用公式直接展開2.5.2z變換方法1、級數求和法（2.50）例2.1求單位階躍函數1(t)的z變換解：單位階躍函數1(t)在任何采樣時刻的值均為1代入式（2.50）中，得：（2.51）將式（2.51）兩邊乘以，有：（2.52）上兩式相減，得：所以將兩邊同乘以，得解:根據公式可得上兩式相減，可以求得例2.2求衰減指數的z變換。通常無重極點的能夠分解成如下的部分分式形式：式中，與都是復變量的多項式。利用已知的典型函數z變換，便可求出各個環節的z變換。設連續函數的拉氏變換為有理函數，具體形式如下：2、部分分式法例2.3求的z變換解：例2.4求的z變換。解：將分解成部分分式：所以上式中等號右邊第一項不常見，查表2.2，得到求拉氏變換式的變換的含義是，將拉氏變換式所代表的連續函數進行采樣，然后求它的變換。為此，首先應通過拉氏反變換求得連續函數，然后對它的采樣序列做變換。

說明：3、留數計算法若已知連續時間函數的拉氏變換式及全部極點，則的z變換可由下面留數計算公式求得：

極點上的留數分兩種情況求取：（1）單極點情況

（2）n階重極點情況例2.6求的z變換。解：上式有兩個單極點,于是例2.7求的z變換。解：上式有二重極點,于是2.5.3

z變換的基本定理線性函數滿足齊次性和迭加性，若1、線性定理、為任意常數，則右位移函數表示，相對時間起點延遲了個采樣周期。該定理還表明經過一個的純滯后環節，相當于其時間特性向后移動步。2、滯后定理（右位移定理）如果，則3、超前定理（左位移定理）如果則左位移函數表示，相對時間起點超前個采樣周期出現。該定理還表明經過一個的純超前環節，相當于其時間特性向前移動步。

3、超前定理（左位移定理）如果則4、初值定理如果的z變換為，而存在，則5、終值定理如果的z變換為，而在z平面以原點為圓心的單位圓上或圓外沒有極點，則在離散控制系統中，與連續控制系統積分相類似的概念叫疊分，用來表示如果則6、求和定理（疊值定理）如果的z變換為，a是常數，則7、復域位移定理8、復域微分定理如果的z變換為，則如果的z變換為，則9、復域積分定理10、卷積定理兩個時間序列（或采樣信號）f(k)和g(k)，相應的z變換為F(z)和G(z)，當時，，的卷積記為，其定義為或則2.6

z反變換從z變換求出的采樣函數，稱為z反變換，表示為定義：2.6.1長除法用表達式的分子除以分母，得到升冪排列的級數展開式，即：例2.12求的z反變換。解：首先按的升冪排列的分子和分母，即應用長除法于是得到相應的脈沖采樣函數為2.6.2

部分分式法將寫成如下有理式標準形式：對的分母進行因式分解，即(2.77)各個分式所對應的時間序列為通常熟悉的指數序列：1、所有極點是互不相同的單極點例2.13求的z反變換解：將除以z，并展開成部分分式，得上式兩邊乘以z，得于是得到2、F(z)含重極點設含有二重極點，其余極點互不相同。首先將展開成部分分式第一項的z反變換為例2.15求的z反變換解：對的分母進行因式分解，得首先將展開：

其中上式中的系數

于是得到2.6.3

留數法在留數法中，,采樣函數等于各個極點上留數之和。（1）單極點情況：（2）n階重極點情況：例2.16求的z反變換。解：中有兩個單極點，，時，時，于是有：例2.17求的z反變換。解：中有一個單極點和兩個重極點：時，時，于是有：當k=0時，式（2.84）中的被積函數為，它比k>0時的被積函數多一個z=0的極點。分析F(z)的z有理分式的分子中無z公因子的情況：只適合k>0的情況（2）k=0時刻序列值f(0)，應由初值定理確定或令k=0再用式（2.84）來計算。（1）(2.84)原因：當時，，含有3個簡單極點：，，。但是，當時，只有2個極點，。因此必須分別求以及