等差數列（第一課時）等差數列概念及其通項公式一、課前準備1.課時目標：通過實例理解等差數列的概念，通過生活中的實例抽象出等差數列模型，讓學生認識到這一類數列是現實世界中大量存在的數列模型.同時經歷由發現幾個具體數列的等差關系，歸納出等差數列的定義的過程.探索并掌握等差數列的通項公式，又根據等差數列的概念，通過歸納或迭加或迭代的方式探索等差數列的通項公式.通過與一次函數的圖像類比，探索等差數列的通項公式的圖象特征與一次函數之間的聯系.通過對等差數列的研究，讓學生明確等差數列與一般數列的內在聯系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點，加強理論聯系世界，激發學生的學習興趣.2.基礎預探1.等差數列的定義如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的差都等于，那么這個數列叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示.1.等差數列的首項為，公差為，那么它的通項公式是.2.如果三個數組成等差數列，那么叫做的等差數列中項，滿足.3.若數列是等差數列，首項為，公差為，則，點散落在直線上.二、基礎知識習題化1.已知等差數列中，，則其通項公式.2.數列的通項公式，則此數列（）.A.是公差為2的等差數列B.是公差為5的等差數列C.是首項為5的等差數列D.是公差為的等差數列3.(1)求等差數列8,5,2，的第20項；（2）是不是等差數列的項？如果是，是第幾項？三、學法引領搞清等差數列的定義，及等差數列求通項的方法一般先求，再求公差，數列是關于的一次函數.如果知道三個數成等差數列的和一般可以設為，四個數成等差數列可以設為的形式，但是此時公差不是，而是，對于等差數列求通項一般是列方程組通過解方程求出再求數列的通項.對于證明數列是等差數列一般先求數列的通項，再利用定義證明常數或利用等差數列的中項公式證明（）四、典型例題題型1求數列的通項已知數列為等差數列，且，，求.思路導析：利用的等差數列的通項公式首先求出首項與公差.解：設數列的公差為，由等差數列的通項公式及已知條件，得，即.規律總結:熟記等差數列的通項公式的利用解方程求出首項與公差，注意數列的通項的一次函數或常數項.變式訓練1.已知等差數列中，，寫出數列的通項公式及.等差數列的通項公式及其應用例2已知等差數列中，，試判斷153是不是這個數列中的項，如果是，是第幾項？思路導析：應先求數列通項，再判斷.設數列的公差為，.令，則，153是這個數列的第45項.規律總結：可以考慮利用方程思想求出與，解出通項，把153代入解出為整數，說明是其中的項，否則不是.變式訓練2.是不是等差數列項？如果是，是第幾項？題型3三兩個等差數列求公共項例3兩個等差數列5，8，11和3，7，11，都有100項，那么它們共有多少相同的項？思路導析：對于兩個等差數列先寫出兩個數列的某些項，再求數列的通項.解：設已知兩數列的所有相同的項構成一新的數列為，，兩數列5，8，11的通項公式為，數列3，7，11，的通項公式為，所以數列為等差數列，且.又，即可見已知兩數列共有25個相同的項.規律總結：兩個等差數列求公共項仍然組成一等差數列，公差是兩等差數列的公差的最小公倍，首項是兩等差數列第一次相等的項，要寫出數列的通項再求公共項.變式訓練3.兩個等差數列，，都有1000項，它們相同的項有多少？題型四證明數列是等差數列例4已知數列的通項公式為，當滿足什么條件時，數列是等差數列？求證：對任意的實數，數列都是等差數列.思路分析：對于判斷數列是否為等差數列一般利用定義進行判斷解：（1）設數列是等差數列，則.若是一個與無關的常數，則，即，所以當時，數列是等差數列.（2），，，所以對任意的實數，數列都是等差數列.規律總結：判斷數列是等差數列就是利用等差數列的定義進行判斷，如果是等差數列滿足是常數，就是讓含有的系數為零求出滿足的條件.變式訓練4.已知數列滿足，記，求證：數列是等差數列.五、隨堂練習在數列中，，則等于（）.50C2.首項為的等差數列，從第10項起是正數，則公差的取值范圍是（）A.B.C.D.3.已知一個等差數列的第8,9,10項分別為，則通項公式（）.A.B.C.D.4..已知數列滿足，且，則.5.在數列中，已知則等于（）Ａ．１Ｂ．４Ｃ．Ｄ．6.已知依次成等差數列，它們的和為33，又也錯等差數列，求.六、課后作業1.下列命題中正確的是（）A.若的等差數列，則也是等差數列B.若的等差數列，則也是等差數列C.若存在正整數使得，則一定是等差數列D.若的等差數列，則對于任意正整數，都有22.數列中，，且數列是等差數列，則（）.A.B.C.3..在和之間插入個數，使它們成等差數列，則公差.4.已知，則等差數列中，，則通項.5.（1）求等差數列3、7、11的第4項與第10項.（2）100是不是等差數列的2，9,16，項，如果是第項？如果不是，請說明理由？（3）是不是等差數列，的項，如果不是，請說明理由？6.一個等差數列的首項為，公差，從第10項起每一項都比1大，求公差的范圍.參考答案二.基礎預探1.【第二，常數，】2.【】3.【，】4.【】二、基礎知識習題化1.答案:解析：.2.解析：【A】3.解：（1）由題意可知：，該數列通項公式為，即.當時，.（2）由題意可知：，該數列通項公式為.令，得.是這個數列的第100項.變式訓練1.解：，得解得則，.2.解：由題意知：，所以通項公式為.令，得，不是整數，所以不是數列中的項.3.解：設的首項為，所以通項，的首項為，所以通項為，那么公共項組成的數列為首項是6，公差為12的等差數列，即，兩數列的最小項為3000，所以，解得，共有250項.4.證明：，所以數列是等差數列.五、隨堂練習1.【D】解：2.【D】從第10項起為正數，滿足3.解析：D解：，所以第8,9，10項分別為即，所以，所以選D.4.答案：解析：由已知條件，即，知數列是公差為4的等差數列，..5.解析：Ａ，周期為６，所以．6.解：依次為，則有.又..，即，.依次為4，11，18或13，11，9.課后作業1.解析：D有等差數列的定義。所以選D.2.解：設，則.是等差數列，可求得公差.，即，故