廣東省梅州市大埔田家炳實驗中學2022-2023學年高一數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.（5分）用二分法求函數f（x）=x2+3x﹣1的近似零點時，現經過計算知f（0）＜0，f（0.5）＞0，由此可得其中一個零點x0∈△，下一步應判斷△的符號，以上△上依次應填的內容為（） A． （0，1），f（1） B． （0，0.5），f（0.25） C． （0.5，1），f（0.75） D． （0，0.5），f（0.125）參考答案：B考點： 二分法求方程的近似解．專題： 計算題；函數的性質及應用．分析： 本題考查的是函數零點存在定理及二分法求函數零點的步驟，由f（0）＜0，f（0.5）＞0，我們根據零點存在定理，易得區間（0，0.5）上存在一個零點，再由二分法的步驟，第二次應該計算區間中間，即0.25對應的函數值，判斷符號，可以進行綜合零點的范圍．解答： 由二分法知x0∈（0，0.5），取x1=0.25，這時f（0.25）=0.253+3×0.25﹣1＜0，故選：B．點評： 連續函數f（x）在區間（a，b）上，如果f（a）?f（b）＜0，則函數f（x）在區間（a，b）必然存在零點．3.函數是（

）A.周期為的偶函數

B.周期為的偶函數

C.周期為的奇函數

D.周期為的奇函數參考答案：B略4.已知函數f(X)=+2x+a和函數g(x)=2x+,對任意，總存在，使g()=f()成立，則a的取值范圍是

（

）A.(-∞,-1]

B(-∞,1)

C(-1,0)

D

(-1,1)參考答案：A5.矩形ABCD中，，若在該矩形內隨機投一點P，那么使得的面積不大于3的概率是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先求出的點的軌跡（一條直線），然后由面積公式可知時點所在區域，計算其面積，利用幾何概型概率公式計算概率．【詳解】設到的距離為，，則，如圖，設，則點在矩形內，，，∴所求概率為．故選C．【點睛】本題考查幾何概型概率．解題關鍵是確定符合條件點所在區域及其面積．6.若直線經過點，，則直線的傾斜角的大小為A．

B．

C．

D．

參考答案：C7.若定義在上的函數滿足，且當時，，函數，則函數在區間內的零點個數為A.9

B.8

C.7

D.6參考答案：B略8.已知f（sinx）=cos4x，則=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】函數的值．【分析】由f（sinx）=cos4x，得到=f（sin30°）=cos120°，由此能求出結果．【解答】解：∵f（sinx）=cos4x，∴=f（sin30°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故選：C．【點評】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．9.方程lnx+x=3的根所在的區間是(

)A．（2，3） B．（3，4） C．（0，1） D．（1，2）參考答案：A【考點】根的存在性及根的個數判斷．【專題】計算題；函數思想；試驗法；函數的性質及應用．【分析】令f（x）=lnx+x﹣3，從而利用函數的零點的判定定理判斷即可．【解答】解：令f（x）=lnx+x﹣3，易知f（x）在其定義域上連續，f（2）=ln2+2﹣3=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3+3﹣3=ln3＞0，故f（x）=lnx+x﹣3在（2，3）上有零點，故方程lnx+x=3的根所在的區間是（2，3）；故選：A．【點評】本題考查了方程的根與函數的零點的關系應用．10.在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是SC、BC的中點，且，若側菱SA=，則正三棱S-ABC外接球的表面積為（

）A．12

B．32

C．36

D．48參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.集合，，則

；參考答案：略12.三條直線兩兩平行，則過其中任意兩條直線可確定

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個平面．參考答案：1或313.函數y=sin(2x﹣)的最小正周期為

．參考答案：π【考點】三角函數的周期性及其求法．【分析】由函數解析式找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函數的最小正周期．【解答】解：函數，∵ω=2，∴T==π．故答案為：π【點評】此題考查了三角函數的周期性及其求法，準確找出ω的值，熟練掌握周期公式是解本題的關鍵．14.在平行四邊形ABCD中，E、F分別是CD和BC的中點，若，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝

．參考答案：15.若集合=，=，=

參考答案：{0,3,4,5}16.已知數列的通項公式是（），數列的前項的和記為，則

。參考答案：17.已知兩個函數f（x）=log4（a·2x﹣a）（a≠0），g（x）=log4（4x+1）﹣x的圖象有且只有一個公共點，則實數a的取值范圍是

．參考答案：{a|a＞1或a=﹣3}

【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】根據函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，化簡得出即可得到結論【解答】g（x）=log4（a?2x﹣a），函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，即方程f（x）=g（x）只有一個解由已知得log4（4x+1）x=log4（a?2x﹣a），

∴log4（）=log4（a?2x﹣a），方程等價于，設2x=t，t＞0，則（a﹣1）t2﹣at﹣1=0有一解若a﹣1＞0，設h（t）=（a﹣1）t2﹣at﹣1，∵h（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1滿足題意若a﹣1=0，即a=1時，h（t）=﹣﹣1，由h（t）=0，得t=﹣＜0，不滿足題意若a﹣1＜0，即a＜1時，由△=（﹣）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）=0，得a=﹣3或a=，當a=﹣3時，t=滿足題意當a=時，t=﹣2（舍去）綜上所述實數a的取值范圍是{a|a＞1或a=﹣3}．故答案為：{a|a＞1或a=﹣3}．【點評】本題主要考查函數與方程的運用，以及對數的基本運算，考查學生的運算能力，綜合性較強，做難題的意志能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.計算下列各式：⑴；⑵(a>0).

參考答案：解析：⑴原式==；⑵原式=.19.如圖所示，△ABC是臨江公園內一個等腰三角形形狀的小湖（假設湖岸是筆直的），其中兩腰米，.為了給市民營造良好的休閑環境，公園管理處決定在湖岸AC，AB上分別取點E，F（異于線段端點），在湖上修建一條筆直的水上觀光通道EF（寬度不計），使得三角形AEF和四邊形BCEF的周長相等.（1）若水上觀光通道的端點E為線段AC的三等分點（靠近點C），求此時水上觀光通道EF的長度；（2）當AE為多長時，觀光通道EF的長度最短？并求出其最短長度.參考答案：（1）在等腰中，過點作于，在中，由，即，∴，，∴三角形和四邊形的周長相等.∴，即，∴.∵為線段的三等分點（靠近點），∴，，在中，，∴米.即水上觀光通道的長度為米.（2）由（1）知，，設，，在中，由余弦定理，得.∵，∴.∴，當且僅當取得等號，所以，當米時，水上觀光通道的長度取得最小值，最小值為米.20.（本小題滿分10分）

已知．

（1）求的值；

（2）求滿足的銳角．參考答案：略21.在中，角，，對應的邊分別是，，．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面積，，求的值．參考答案：略22.已知函數f（x）對任意x∈（0，+∞），滿足f（）=﹣log2x﹣3（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判斷并證明f（x）在定義域上的單調性；（Ⅲ）證明函數f（x）在區間（1，2）內有唯一零點．參考答案：【考點】函數解析式的求解及常用方法；函數單調性的性質．【專題】證明題；函數思想；綜合法；函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）可令，從而得出x=，這便可得到f（t）=2t+log2t﹣3，t換上x便可得出f（x）的解析式；（Ⅱ）容易判斷f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增，根據增函數的定義，設任意的x1＞x2＞0，然后作差，根據對數函數的單調性證明f（x1）＞f（x2）便可得出f（x）在（0，+∞）上單調遞增；（Ⅲ）容易求出f（1）＜0，f（2）＞0，而f（x）在（0，+∞）上又是單調函數，從而得出f（x）在區間（1，2）內有唯一零點．【解答】解：（Ⅰ）令，，則：；∴f（x）的解析式為f（x）=2x+log2x﹣3，x∈（0，+∞）；（Ⅱ）f（x）為定義域（0，+∞）上的單調增函數；[來源:學*科*網]證明：設x1＞x2＞0，則：f（x1）﹣f（x2）=2x1+log2x1﹣2x2﹣log2x2=2（x1﹣x2）+（log2x1﹣log2x2）；∵x1＞x2＞0；∴x1﹣x2＞0，log2x1＞log2x2，log2x1﹣log2x2＞0；∴2（x1﹣x2）+（log2x1﹣log2x2）＞0；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）為定義域（0，