廣東省揭陽市城關中學2021-2022學年高三數學文聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合A=﹥0

｝則AB=A

B

C

D或

參考答案：B【知識點】集合的運算A1解析：因為集合，所以,，故，故選擇B.【思路點撥】根據含絕對值的不等式以及對數不等式的解法，求得集合A與B，再根據交集運算定義求得結果.2.把正整數排列成如圖甲三角形數陣，然后擦去第偶數行中的奇數和第奇數行中的偶數，得到如圖乙的三角形數陣，再把圖乙中的數按從小到大的順序排成一列，得到一個數列{an}，若an=2009，則n=（）A．1026B．1027C．1028D．1029參考答案：B略3.函數的零點一定位于區間（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：A4.設函數，若時，恒成立，則的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A略5.若函數的圖象在處的切線與圓相切，則的最大值是（

）A.4

B.

C.2

D.參考答案：D略6.在△ABC中，A、B、C為其三內角，滿足tanA、tanB、tanC都是整數，且，則下列結論中錯誤的是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】首先判斷出A、B、C均為銳角，根據tanA、tanB、tanC都是整數，求得tanA、tanB、tanC的值，進而判斷出結論錯誤的選項.【詳解】由于，所以B、C都是銳角，又tanB、tanC都是正整數，這樣，可見A也是銳角.這時，，，.有，即.但是，，比較可知只可能，，.由可知，選項B是正確的.至于選項C和D，由，可知，又，故選項C正確；又由，選項D正確、A選項錯誤.故選：A.【點睛】本小題主要考查兩角和的正切公式，考查三角形內角和定理，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于中檔題.7.函數2f(x)＝log2x的定義域是[2，8]，則f(x)的反函數f－1(x)的定義域是A．[1，3]B．[2，8]C．[1，4]D．[2，4]參考答案：A略8.設變量x，y滿足約束條件，則x2+y2的最小值為（）A．0 B． C．1 D．參考答案：B【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義進行求解即可．【解答】解：作出不等式組，對應的平面區域如圖，z的幾何意義為區域內的點到原點的距離的平方，由圖象知：OA的距離最小，原點到直線2x+y﹣2=0的距離最小．由=，則x2+y2的最小值為：，故選：B．9.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知平面外不共線的三點到α的距離都相等,則正確的結論是()A.平面必平行于

B.平面必與相交C.平面必不垂直于

D.存在△的一條中位線平行于或在內參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.化簡：=．參考答案：4sinθ【考點】三角函數的化簡求值．【分析】直接由三角函數的誘導公式化簡計算得答案．【解答】解：==4sinθ，故答案為：4sinθ．12.已知△ABC外接圓O的半徑為2，且，，則______.參考答案：12【分析】由可知，點是線段的中點，是外接圓的圓心，可以判斷是以為斜邊的直角三角形，又，可得,,利用向量數量積的定義求出的值.【詳解】因為，所以點是線段的中點，是外接圓的圓心，因此是以為斜邊的直角三角形，又因為，所以,因此,，所以【點睛】本題考查了平面向量的加法幾何意義、考查了平面向量數量積運用，解題的關鍵是對形狀的判斷.13.函數的單調遞增區間為

.參考答案：

(端點取值可以包含)14.已知等差數列的前項和為，若，則等于__________參考答案：84略15.已知函數則=

．參考答案：1016.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，直線的極坐標方程為，極坐標為的點到直線上點的距離的最小值為

.參考答案：2略17.將函數的圖象上各點的縱坐標不變橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位，所得函數的單調遞增區間為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x2﹣1．（1）對于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，求實數m的取值范圍；（2）若對任意實數x1∈．存在實數x2∈，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】函數恒成立問題；二次函數的性質．【專題】轉化思想；分析法；函數的性質及應用；不等式的解法及應用．【分析】（1）由題意可得4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤，運用二次函數的最值的求法，可得右邊函數的最小值，解不等式可得m的范圍；（2）f（x）在的值域為A，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域為B，由題意可得A?B．分別求得函數f（x）和h（x）的值域，注意討論對稱軸和零點，與區間的關系，結合單調性即可得到值域B，解不等式可得a的范圍．【解答】解：（1）對于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，即為4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤，由g（x）==4（+）2﹣，當x=2，即=時，g（x）取得最小值，且為1，即有4m2≤1，解得﹣≤m≤；（2）對任意實數x1∈．存在實數x2∈，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，可設f（x）在的值域為A，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域為B，可得A?B．由f（x）在遞增，可得A=；當a＜0時，h（x）=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2，（1≤x≤2），在遞增，可得B=，可得﹣a≤0＜3≤6﹣2a，不成立；當a=0時，h（x）=2x2﹣2，（1≤x≤2），在遞增，可得B=，可得0≤0＜3≤6，成立；當0＜a≤2時，由h（x）=0，解得x=＞1（負的舍去），h（x）在遞減，遞增，即有h（x）的值域為，即為，由0≤0＜3≤6﹣2a，解得0＜a≤；當2＜a≤3時，h（x）在遞減，遞增，即有h（x）的值域為，即為，由0≤0＜3≤a，解得a=3；當3＜a≤4時，h（x）在遞減，可得B=，由2a﹣6≤0＜3≤a，無解，不成立；當4＜a≤6時，h（x）在遞增，在遞減，可得B=，由2a﹣6≤0＜3≤2a，不成立；當6＜a≤8時，h（x）在遞增，在遞減，可得B=，由a≤0＜3≤2a，不成立；當a＞8時，h（x）在遞增，可得B=，A?B不成立．綜上可得，a的范圍是0≤a≤或a=3．【點評】本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和分類討論的思想方法，考查函數的單調性的運用：求值域，考查運算能力和推理能力，屬于難題．19.已知，且．（1）求的最大值；（2）證明：．參考答案：（1），（2）（1）．當且僅當取“＝”．所以，的最大值為．（2） ．當且僅當取“＝”． 10分20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的點．（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若E是PB的中點，若AE與平面ABCD所成角為45°，求三棱錐P﹣ACE的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（I）利用勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由PC⊥平面ABCD得出AC⊥PC，故而AC⊥平面PBC，從而得出PMACE⊥平面PBC；（II）取BC的中點F，連接EF，AF，則可證EF⊥平面ABCD，即∠EAF為AE與平面∠平面ABCD所成的角，利用勾股定理求出AF，則EF=AF．由E為PB的中點可知VP﹣ACE=VE﹣ABC=．【解答】證明：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，又∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．解：（Ⅱ）取BC的中點F，連接EF，AF，∵E，F是PB，BC的中點，∴EF∥PC，由PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．∴∠EAF為AE與平面ABCD所成角．即∠EAF=45°．∵AF==，∴EF=AF=．∵E是PB的中點，∴VP﹣ACE=VE﹣ABC===．21.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2=，且直線l經過點F（﹣，0）（I）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；（Ⅱ）設曲線C的內接矩形的周長為L，求L的最大值．參考答案：【考點】QH：參數方程化成普通方程；Q4：簡單曲線的極坐標方程．【分析】（I）利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，將曲線C轉化成直角坐標方程；則直線l的普通方程x﹣y=m，將F代入直線方程，即可求得m，求得直線l的普通方程；（Ⅱ）由（I）可知：設橢圓C的內接矩形在第一象限的頂點（2cosθ，sinθ），則L=2（4cosθ+2sinθ）=4sin（θ+φ），根據正弦函數的性質，即可求得L的最大值．【解答】解：（I）由曲線C的極坐標方程：ρ2=，即ρ2+ρ2sin2θ=4，將ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，代入上式，化簡整理得：；直線l的普通方程為x﹣y=m，將F代入直線方程，則m=，∴直線l的普通方程為x﹣y+=0；（Ⅱ）設橢圓C的內接矩形在第一象限的頂點（2cosθ，sinθ），（0＜θ＜），∴橢圓C的內接矩形的周長L=2（4cosθ+2sinθ）=4sin（θ+φ），tanφ=，∴曲線C的內接矩形的周長為L的最值為4．22.（本小題滿分14分）某種商品的成本為5元/件，開始按8元/件銷售，銷售量為50件，為了獲得最大利潤，商家先后采取了提價與降價兩種措施進行試銷。經試銷發現：銷售價每上漲