廣東省惠州市光明中學2022年高二數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若x，x+1，x+2是鈍角三角形的三邊，則實數x的取值范圍是(

).A．0<x<3

B．1<x<3

C．3<x<4

D．4<x<6參考答案：B略2.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），則ΔABC的邊AB上的中線所在的直線方程為（

）（A）x+5y-15=0

(B)x=3

(C)x-y+1=0

(D)y-3=0參考答案：A3.過點P（2，1）且被圓C：x2+y2﹣2x+4y=0截得弦長最長的直線l的方程是(

)A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x﹣3y+5=0 D．x+3y﹣5=0參考答案：A【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；壓軸題．【分析】當過點P的直線過圓心時，截得的弦長正是圓的直徑，為弦長最長的情況，進而根據圓的方程求得圓心坐標，根據圓心和點P的坐標求得所求直線的方程．【解答】解：依題意可知過點P和圓心的直線被圓截得的弦長最長，整理圓方程得（x﹣1）2+（y+2）2=5，圓心為（1，﹣2）此時直線的斜率為=3∴過點P和圓心的直線方程為y﹣1=3（x﹣2），整理得3x﹣y﹣5=0故選A【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關系．考查了學生分析問題和解決問題的能力．4.兩平行直線分別過（1，5），（－2，1）兩點，設兩直線間的距離為d，則（

）

A．d=3

B．d=4

C．3≤d≤4

D．0<d≤5參考答案：D略5.設復數(其中為虛數單位)，則的虛部為A．

B．

C．

D．

參考答案：D6.已知△ABC中，，試判斷△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形參考答案：A7.已知實數列成等比數列，則（

）A

B

C

D

參考答案：C8.復數的值（

）A.-16

B.16

C.

D.參考答案：A9.三棱錐D-ABC中，平面，，，E為BC中點，F為CD中點，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為

A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.設連續函數，則當時，定積分的符號A、一定是正的

B、一定是負的

C、當時是正的，當時是負的

D、以上結論都不對

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數f（x）=2x3+x，實數m滿足f（m2﹣2m）+f（m﹣6）＜0，則m的取值范圍是．參考答案：（﹣2，3）【考點】奇偶性與單調性的綜合；函數單調性的性質．【分析】根據題意，對函數f（x）=2x3+x求導可得其導數f′（x）=6x2+1＞0，分析可得函數f（x）為增函數，進而由f（﹣x）=﹣2x3﹣x=﹣f（x）分析可得，f（x）為奇函數；結合函數的奇偶性與單調性，可以將f（m2﹣2m）+f（m﹣6）＜0，轉化為m2﹣2m＜6﹣m，解可得m的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據題意，對于函數f（x）=2x3+x，其導數f′（x）=6x2+1＞0，則函數f（x）為增函數，又由f（﹣x）=﹣2x3﹣x=﹣f（x），則函數f（x）為奇函數，若f（m2﹣2m）+f（m﹣6）＜0，則有f（m2﹣2m）＜﹣f（m﹣6），即f（m2﹣2m）＜f（6﹣m），又由函數f（x）為增函數，則有m2﹣2m＜6﹣m，解可得：﹣2＜m＜3，即m的取值范圍是（﹣2，3）；故答案是：（﹣2，3）．12.擲一枚骰子兩次，所得點數之和為11的概率為______________。參考答案：略13.函數有極值的充要條件是▲．參考答案：14.如圖，長方體中，是邊長為的正方形，與平面所成的角為，則棱的長為_______；二面角的大小為_______.參考答案：15.設a>b>0，m=，n=-，則m，n的大小關系是m______n。（選>,=,<）參考答案：＞略16.已知復數z＝（x，y∈R，i為虛數單位）的模為，求的最大值.參考答案：解：由得：，由幾何意義易得：的最大值為.

略17.（5分）已知復數z滿足，則|z+i|（i為虛數單位）的最大值是．參考答案：由，所以復數z對應的點在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓周上，所以|z+i|的最大值是點（2，0）與點（0，﹣1）的距離加上半徑，等于．故答案為．由復數模的幾何意義可得復數z對應的點在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓周上，由此可得|z+i|的最大值是點（2，0）與點（0，﹣1）的距離加上半徑．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=alnx+x2（a為常數）．（1）若a=﹣2，求函數f（x）的單調區間；（2）若當x∈[1，e]時，f（x）≤（a+2）x恒成立，求實數a的取值范圍．參考答案：略19.選修4——4；坐標系與參數方程在直角坐標系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建坐標系,已知曲線;過點的直線的參數方程為(是參數),直線與曲線C分別交于M、N兩點.(1) 寫出曲線C和直線的普通方程;(2) 若成等比數列,求的值.參考答案：解:(Ⅰ)曲線的普通方程為

直線的普通方程為 …………5分(Ⅱ)將直線的參數表達式代入拋物線得,

因為,

由題意知,,

代入得.

…………10分略20.在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的兩邊對x求導，得（﹣sin2x）?2=4cosx（﹣sinx），化簡后得等式sin2x=2cosxsinx．（1）利用上述方法，試由等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Cnn﹣1xn﹣1+Cnnxn（x∈R，正整數n≥2），①證明：n[（1+x）n﹣1﹣1]=kxk﹣1；②求C101+2C102+3C103+…+10C1010．（2）對于正整數n≥3，求（﹣1）kk（k+1）Cnk．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）①對二項式定理的展開式兩邊對x求導數，移項得到恒等式；②對①，令x=1，n=10，由恒等式計算即可得到所求值；（2）對①中的x賦值﹣1，整理得到恒等式（﹣1）kk=0；對二項式的定理的兩邊對x求導數，再對得到的等式對x兩邊求導數，給x賦值﹣1化簡可得（﹣1）kk2=0，相加即可得到所求（﹣1）kk（k+1）Cnk．【解答】解：（1）①證明：等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Cnn﹣1xn﹣1+Cnnxn（x∈R，正整數n≥2），兩邊對x求導，可得n（1+x）n﹣1=Cn1+2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，即有n[（1+x）n﹣1﹣1]=2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1=kxk﹣1；②由①令x=1可得，n（2n﹣1﹣1）=k，可得，C101+2C102+3C103+…+10C1010=10+10（29﹣1）=5120；（2）在①式中，令x=﹣1，可得n[（1﹣1）n﹣1﹣1]=k（﹣1）k﹣1，整理得（﹣1）k﹣1k=0，所以（﹣1）kk=0；由n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，n≥3，兩邊對x求導，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn2+3?2Cn3x+…+n（n﹣1）Cnnxn﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn2+3?2Cn3（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn2（﹣1）n﹣2即k（k﹣1）（﹣1）k﹣2=0，亦即（k2﹣k）（﹣1）k=0，又（﹣1）kk=0，兩式相加可得，（﹣1）kk2=0，綜上可得，（﹣1）kk（k+1）Cnk=（﹣1）kk2+（﹣1）kk=0．21.已知全集U為R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜﹣3，或x＞1}求：（I）A∩B；（II）（CUA）∩（CUB）；（III）CU（A∪B）．參考答案：【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】本題為集合的運算問題，結合數軸有集合運算的定義求解即可．【解答】解：如圖：（I）A∩B={x|1＜x≤2}；（II）CUA={x|x≤0或x＞2}，CUB={x|﹣3≤x≤1}（CUA）∩（CUB）={x|﹣3≤x≤0}；（III）A∪B={x|x＜﹣3或x＞0}，CU（A∪B）={x|﹣3≤x≤0}．22.設命題p：實數x滿足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足．（1）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】復合命題的真假；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】規律型．【分析】（1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用且p∧q為真，求實數x的取值范圍；（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【解答】解：由（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，得a＜x