學業分層測評(七)(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．直線a∥平面α，α內有n條直線交于一點，那么這n條直線中與直線a平行的()A．至少有一條 B．至多有一條C．有且只有一條 D．沒有【解析】設α內n條直線的交點為A，則過A有且僅有一條直線l與a平行，當l在這n條直線中時，有一條與a平行，而當l不在這n條直線中時，n條相交于A的直線都不與a平行，∴n條相交直線中有0條或1條直線與a平行．【答案】B2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CDeq\o(?,\s\up0(/))平面α，則直線CD與平面α內的直線的位置關系只能是()A．平行 B．平行或異面C．平行或相交 D．異面或相交【解析】由題意知，CD∥α，則平面α內的直線與CD可能平行，也可能異面．【答案】B3．三棱錐S-ABC中，E、F分別是SB、SC上的點，且EF∥平面ABC，則()A．EF與BC相交 B．EF與BC平行C．EF與BC異面 D．以上均有可能【解析】由線面平行的性質定理可知EF∥BC.【答案】B4．如圖1-5-27，四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則()圖1-5-27A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.【答案】B5.如圖1-5-28，平面α∥平面β，過平面α，β外一點P引直線l1分別交平面α，平面β于A、B兩點，PA＝6，AB＝2，引直線l2分別交平面α，平面β于C，D兩點，已知BD＝12，則AC的長等于()圖1-5-28A．10 B．9C．8 D．7【解析】由l1∩l2＝P，知l1，l2確定一個平面γ，eq\b\lc\\rc\}(\a\al(由α∩γ＝AC,β∩γ＝BD,α∥β))?AC∥BD?eq\f(PA,PB)＝eq\f(AC,BD)，∴eq\f(6,6＋2)＝eq\f(AC,12)，解得AC＝9.【答案】B二、填空題6．如圖1-5-29，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．圖1-5-29【解析】因為直線EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因為E是DA的中點，所以F是DC的中點，由中位線定理可得：EF＝eq\f(1,2)AC，又因為在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2)，所以EF＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)7．設m、n是平面α外的兩條直線，給出三個論斷：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的兩個為條件，余下的一個為結論，構成三個命題，寫出你認為正確的一個命題：________.(用序號表示)【導學號：10690020】【解析】①②?③.設過m的平面β與α交于l.∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵neq\o(?,\s\up0(/))α，lα，∴n∥α.【答案】①②?③(或①③?②)8．在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，B1C1的中點，P是棱AD上一點，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面與棱CD交于Q，則PQ＝________.【解析】∵MN∥平面AC，PQ＝平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2)a,3).【答案】eq\f(2\r(2)a,3)三、解答題9．如圖1-5-30，三棱柱ABC-A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．圖1-5-30【解】設BC1交B1C于點E，連接DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線．因為A1B∥平面B1CD，且A1B平面A1BC1，所以A1B∥DE.又E是BC1的中點，所以D為A1C1的中點，即A1D∶DC1＝1∶1.10．如圖1-5-31，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN.求證：MN∥平面AA1B1B.圖1-5-31【證明】如圖，作MP∥BB1交BC于點P，連接NP，∵MP∥BB1，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(CP,PB).∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)，∴eq\f(CP,PB)＝eq\f(DN,NB)，∴NP∥CD∥AB.∵NPeq\o(?,\s\up0(/))平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MPeq\o(?,\s\up0(/))平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP平面MNP，NP平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.[能力提升]1．過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關系為()A．都平行B．都相交且一定交于同一點C．都相交但不一定交于同一點D．都平行或交于同一點【解析】∵leq\o(?,\s\up0(/))α，∴l∥α或l與α相交．(1)若l∥α，則由線面平行的性質可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…這些交線都平行．(2)若l與α相交，不妨設l∩α＝A，則A∈l，又由題意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴這些交線交于同一點A.綜上可知D正確．【答案】D2．如圖1-5-32，P是△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于點A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則△A′B′C′與△ABC面積的比為()圖1-5-32A．2∶5B．3∶8C．4∶9D．4∶25【解析】由題意知，△A′B′C′∽△ABC，從而eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\f(PA′,PA))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\f(2,5))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,25).【答案】D3．如圖1-5-33所示，直線a∥平面α，點A在α另一側，點B，C，D∈a.線段AB，AC，AD分別交α于點E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，則EG＝________.圖1-5-33【解析】A?a，則點A與直線a確定一個平面，即平面ABD.因為a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(AE,AB)，又eq\f(EG,BD)＝eq\f(AE,AB)，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(EG,BD)，于是EG＝eq\f(AF·BD,AC)＝eq\f(5×4,5＋4)＝eq\f(20,9).【答案】eq\f(20,9)4．如圖1-5-34，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，點E，F分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2，當點M在何位置時，BM∥平面AEF.圖1-5-34【解】如圖，取EC的中點P，AC的中點Q，連接PQ，PB，BQ，則PQ∥AE