學業分層測評(十八)極大值與極小值(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、填空題1.函數y＝2－x2－x3的極大值為________；極小值為________.【解析】∵y′＝－2x－3x2＝－x(3x＋2)，由y′＝0得x＝0或x＝－eq\f(2,3).函數在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))，(0，＋∞)上都遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))上遞增，所以函數的極大值為f(0)＝2，極小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(50,27).【答案】2eq\f(50,27)2.函數f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx(x＞0)的極小值為________.【解析】∵f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx(x＞0)，∴f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x).由f′(x)＝0解得x＝2.當x∈(0,2)時，f′(x)＜0，f(x)為減函數；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)為增函數.∴x＝2為f(x)的極小值點，所以函數f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx的極小值為f(2)＝1＋ln2.【答案】1＋ln23.若函數f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1處取得極值，則a＝________.【導學號：24830086】【解析】f′(x)＝eq\f(x2＋2x－a,x＋12)(x≠－1)，又y＝f(x)在x＝1處取得極值，則f′(1)＝0，解得a＝3.【答案】34.已知函數f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖3-3-6所示，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于________.圖3-3-6【解析】由圖象可知f(x)的圖象過點(1,0)與(2,0)，x1，x2是函數f(x)的極值點，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的兩根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(2,3)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).【答案】eq\f(8,3)5.函數y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的極大值為______.【解析】y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.當－2＜x＜－1時，y′＞0；當－1＜x＜2時，y′＜0.所以當x＝－1時，函數有極大值，且極大值為5，無極小值.【答案】56.已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋c，其導函數圖象如圖3-3-7所示，則函數f(x)的極小值是________.圖3-3-7【解析】由函數導函數的圖象可知，函數f(x)在(－∞，0)上遞減，在(0,2)上遞增，所以函數f(x)在x＝0時取得極小值c.【答案】c7.若函數f(x)＝x3－3x＋a有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是________.【解析】令f(x)＝0得a＝3x－x3，于是y＝a和y＝3x－x3有3個不同交點，畫出y＝3x－x3的圖象即可解決.結合下圖，可知－2＜a＜2.【答案】－2＜a＜28.如果函數y＝f(x)的導函數的圖象如圖3-3-8所示，給出下列判斷：圖3-3-8①函數y＝f(x)在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))內單調遞增；②函數y＝f(x)在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))內單調遞減；③函數y＝f(x)在區間(4,5)內單調遞增；④當x＝2時，函數y＝f(x)有極小值；⑤當x＝－eq\f(1,2)時，函數y＝f(x)有極大值.則上述判斷中正確的是________(填序號).【解析】從圖象知，當x∈(－3，－2)時，f′(x)＜0，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))時，f′(x)＞0，所以函數y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))內不單調，同理，函數y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))內也不單調，故①②均不正確；當x∈(4,5)時，f′(x)＞0，所以函數y＝f(x)在區間(4,5)內單調遞增，故③正確；由于f′(2)＝0，且在x＝2的左、右兩側的附近分別有f′(x)＞0與f′(x)＜0，所以當x＝2時函數y＝f(x)取得極大值，而在x＝－eq\f(1,2)的左、右兩側的附近均有f′(x)＞0，所以x＝－eq\f(1,2)不是函數y＝f(x)的極值點，即④⑤均不正確.故填③.【答案】③二、解答題9.求函數f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)－2的極值.【解】函數的定義域為′(x)＝eq\f(2x2＋1－4x2,x2＋12)＝－eq\f(2x－1x＋1,x2＋12)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)極小值極大值由表可知，當x＝－1時，函數取得極小值f(－1)＝－3.當x＝1時，函數取得極大值f(1)＝－1.10.已知函數y＝ax3＋bx2，當x＝1時函數有極大值3.(1)求a，b的值；(2)求函數y的極小值.【導學號：24830087】【解】(1)y′＝3ax2＋2bx，當x＝1時，y′＝3a＋2b＝0，又因為y＝a＋b＝3，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝0，,a＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝9.))(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0或x＝1.∴當x＝0時，函數y取得極小值0.[能力提升]1.若函數f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是________.【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵函數f(x)有極大值和極小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有兩個不相等的實數根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)2.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.現給出如下結論：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.其中正確結論的序號是________.【解析】∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依題意，函數f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的圖象與x軸有三個不同的交點，故f(1)f(3)＜0，即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)＜0，∴0＜abc＜4，∴f(0)＝－abc＜0，f(1)＝4－abc＞0，f(3)＝－abc＜0，故②③正確.【答案】②③3.若函數f(x)＝x2－2bx＋3a在區間(0,1)內有極小值，則實數b【解析】f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函數f(x)在區間(0,1)內有極小值，則有0＜b＜1.當0＜x＜b時，f′(x)＜0；當b＜x＜1時，f′(x)＞0，符合題意.所以實數b的取值范圍是0＜b＜1.【答案】0＜b＜14.設函數f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，m∈R.(1)當m＝e(e為自然對數的底數)時，求f(x)的極小值；(2)當m≤0時，確定函數g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)零點的個數.【解】(1)由題設，當m＝e時，f(x)＝lnx＋eq\f(e,x)，則f′(x)＝eq\f(x－e,x2)，∴當x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上單調遞減，當x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上單調遞增，∴x＝e時，f(x)取得極小值f(e)＝lne＋eq\f(e,e)＝2，∴f(x)的極小值為2.(2)由題設g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)＝eq\f(1,x)－eq\f(m,x2)－eq\f(x,3)(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－eq\f(1,3)x3＋x(x＞0).設φ(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x(