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文檔簡介
第一課時橢圓的簡單幾何性質莘縣實驗高中復習請回答:橢圓的標準方程是什么?學習目標1.掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點和離心率;2.掌握、b、c、e間的關系;3.了解解析幾何“用代數的方法研究曲線性質”這一基本思想方法.1.范圍
思考1:觀察圖形,指出橢圓位于什么樣的范圍內.(用數學式子表示此范圍)思考2:請利用標準方程推導你的結論.
由,得:≥0,≤1,解得:同理可得:所以結論:橢圓圍成的矩形框內.位于直線練習1:填空說明橢圓位于
的矩形框里.(1)橢圓中,x的范圍是
.y的范圍是
.(2)橢圓4x2+25y2=100位于
的矩形框里.2.對稱性
思考3:觀察動畫,說出橢圓具有怎樣的對稱性.結論:
在標準方程下,橢圓關于x軸、y軸都是對稱的,這時,坐標軸是橢圓的對稱軸,原點是橢圓的對稱中心,橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心.結論:
在標準方程下,橢圓關于x軸、y軸都是對稱的,這時,坐標軸是橢圓的對稱軸,原點是橢圓的對稱中心,橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心.思考4:怎樣由橢圓的方程證明這種對稱性?
在橢圓中以-y代y,方程不改變,說明P(x,y)在橢圓上時,同理,以-x代x,方程不改變,所以橢圓關于y軸對稱;以-x代x,以-y代y,方程也不改變,橢圓關于原點中心對稱.它關于x軸的對稱點P1(x,-y),也在橢圓上,所以橢圓關于x軸對稱.
思考5:利用橢圓的標準方程,求橢圓與坐標軸交點的坐標.
3.頂點
分析:在橢圓的標準方程中
令x=0,得y2=b2,所以y=±b,所以B1(0,-b),B2(0,b).橢圓與對稱軸的交點叫橢圓的頂點.線段A1A2叫做橢圓的長軸,長軸長為2;線段B1B2叫做橢圓的短軸,短軸長為2b.
、b分別叫做叫橢圓的長半軸長和短半軸長.令y=0,得x2=
2,所以x=±
,所以A1(-
,0),A2(,0).練習2:求橢圓的長軸長、短軸長和頂點坐標.頂點坐標:A1(-4,0),A2(4,0),
B1(0,-2),B2(0,2)答案:長軸長2
=8,短軸長2b=4.4.離心率
思考6:
觀察動畫,指出e變化時橢圓的扁平程度.
我們把橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示.因為
>c>o,所以0<e<1.e→1時,c→
,→0.橢圓變扁.e→0時,c→0,→
.橢圓接近圓.e=0時,c=0,b=
.橢圓變為圓.即
思考7:能不能刻畫橢圓的扁平程度.
大小扁圓圓扁所以都能刻畫橢圓的扁平程度.b不變,c變大時,變
.橢圓變
.b不變,c變小時,變
.橢圓接近
.
不變,b變大時,橢圓變
.
不變,b變小時,橢圓變
.
思考8:能不能運用三角函數的知識解釋,為什么離心率越大橢圓越扁;離心率越小橢圓越圓.e越大,sinθ越大,
θ越大,橢圓越扁.e越小,sinθ越小,θ越小,橢圓越圓.練習3:求橢圓的離心率e1,和橢圓的離心率e2,并判定哪個更接近圓.分析:更接近圓.例:求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標和頂點坐標.離心率,焦點F1(-3,0),F2(3,0)頂點A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-4),B2(0,4)答案:長軸長2
=10,短軸長2b=8,方程圖形范圍對稱性頂點離心率關于X,y軸、坐標原點對稱關于X,y軸、坐標原點對稱小結“用代數的方法研究曲線的性質”是解析幾何的基本思想方法.范圍頂點離心率對稱性已知橢圓達標練習:(1)討論它的范圍,并畫出草圖;(2)求它的長軸長和短軸長,離心率,焦點坐標和頂點坐標.答案:(1)橢圓位于直線x=±5,y=±3圍成的矩形框內.頂點坐標:A1(-5,0),A2(5,0),
B1(0,-3),B2(0
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