3．數系的擴充和復數的相關概念eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(梳)eq\x(理)1．虛數單位i.(1)它的平方等于－1，即i2＝－1．(2)實數可以與它進行四則運算，在進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍然成立．2．復數的代數形式．(1)形如z＝a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，a＋bi叫做復數的代數形式，a和b分別叫做復數z的實部和虛部．(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)的分類．復數eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實數（b＝0）,虛數（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數（a＝0，且b≠0）,非純虛數（a≠0，b≠0）))))3．復數相等的充要條件．復數a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c且b＝d(把復數問題劃歸為實數問題)．,eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(自)eq\x(測)1．復數(2＋eq\r(3))i的實部是(D)A．2\r(3)C．2＋eq\r(3)D．0解析：復數(2＋eq\r(3))i的實部是0，故選D.2．如果C，R和I分別表示復數集、實數集和純虛數集，那么有(D)A．C＝R∪IB．R∩I＝{0}C．R＝C∩ID．R∩I＝?解析：復數系的構成是：復數z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實數（b＝0時）,虛數（b≠0時）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數（a＝0時）,非純虛數（a≠0時）))))由此不難得到答案應為D.3．下列命題：①i是－1的一個平方根；②－i是一個負數；③如果a＋bi＝3＋4i(a、b∈C)，則a＝3，b＝4.其中正確的命題的個數是________________________________________________________________________．解析：由復數的定義和性質知②錯，③錯，①對．答案：1個eq\a\vs4\al(（一）虛數單位i及其性質)為了解決x2＋1＝0這樣的方程在實數集中無解的問題，人們引進了一個新數i，叫做虛數單位，它的平方等于－1，它可以與實數進行四則運算．eq\a\vs4\al(（二）復數的代數形式和復數的分類)(1)復數的代數形式z＝a＋bi要求a和b必須是實數，否則不是代數形式．(2)若z是純虛數，可設z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虛數，可設z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；若z是復數，可設z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)形如z＝bi的數不一定是純虛數，只有b≠0，b∈R時，才是純虛數，否則不是純虛數．eq\a\vs4\al(（三）復數相等的概念)(1)兩個復數相等的充要條件是兩個復數的實部和虛部分別相等，它是把復數問題轉化為實數問題的主要手段．(2)應用復數相等的充要條件時，首先要把“＝”左右兩邊的復數形式寫成代數形式，即分離實部和虛部，然后列出方程求解．注意：(1)根據復數相等的定義，在a＝c，b＝d兩式中，只要有一個不相等，則a＋bi≠c＋di.(2)若兩個復數全是實數，則可以比較大小．反之，若兩個復數能比較大小，則它們必是實數(如a＋bi＞0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＝0)))(3)若兩個數不全是實數，則不能比較大?。?．虛數單位i具有兩條性質：(1)它的平方等于－1，即i2＝－1.(2)實數可以與它進行四則運算，在進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍成立．2．關于復數的代數形式z＝a＋bi(a，b∈R)，注意以下幾點：(1)a，b∈R，否則不是代數形式．(2)從代數形式可判定z是實數、虛數還是純虛數．反之，若z是純虛數，可設z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虛數，可設z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；若z是復數，可設z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)形如bi的數不一定是純虛數，只有b≠0且b∈R時，才是純虛數．3．兩個復數只能說相等或不相等，不一定能比較大?。P于這一點的理解要注意以下幾點：(1)根據復數a＋bi與c＋di(a，b，c，d∈R)相等的定義，可知在a＝c，b＝d兩式中，只要有一個不成立，那么就有a＋bi≠c＋di.(2)如果兩個復數都是實數，可以比較大小，否則是不能比較大小的．1．(2023·廣州一模)已知i是虛數單位，則復數1－2i的虛部為(D)A．2B．1C．－1D．－22．若復數z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數，則實數x的值為(A)A．－1B．0C．1D．－1或13．若x，y∈R，且3x＋y＋3＝(x－y－3)i，則x＝______，y＝______．解析：由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＋3＝0，,x－y－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3.))答案：0－34．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，求實數m的值．解析：因為當兩個復數都是實數時，才能比較大?。视衑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－1＞0，,m2－2m＝0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞1或m＜－1，,m＝0或m＝2))?m＝2.∴m＝2時，(m2－1)＋(m2－2m)i＞0.1．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，則z∈R的充要條件是(A)A．a＋b＝a－biB．a＋bi＝－a＋biC．ab＝0D．a＝b＝02．如果(x＋y)i＝x－1，那么實數x，y的值為(A)A．x＝1，y＝－1B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝03．(eq\r(3)－1)i的實部是(D)\r(3)B．1C．－1D．04．i是虛數單位，1＋i3等于(D)A．iB．－iC．1＋iD．1－i5．已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i，a∈R，i是虛數單位}，若A?R，則a＝(C)A．1B．－1C．±1D．06．設a，b∈R，i是虛數單位，則“ab＝0”是“復數a－bi為純虛數”的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．即不充分也不必要條件解析：“ab＝0”則a＝0或b＝0，“復數a－bi為純虛數”則a＝0且b≠0，那么“ab＝0”是“復數a－bi為純虛數”的必要不充分條件，故選B.7．m＝________時，復數lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是實數．答案：－28．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，則實數x＝________．解析：由于含有虛部的復數不能比較大小，所以虛部必須為0且x有定義，故有x2－3x－2＞0且x2＋2x＋1＝1，得x＝－2，有log28＝3＞1，顯然成立，故x＝－2.答案：－29．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{1，－1，4i}，若M∪P＝P，求實數m.解析：∵M∪P＝P，∴M?P.∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.若(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，則m＝1.若(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，則m＝2.經檢驗，m＝1或m＝2都符合題意．∴m＝1或m＝2.10．已知，關于實數x，y的方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，①,（2x＋ay）－（4x－y＋b）i＝9－8i②))有實數解，求實數a，b.解析：根據復數相等的充要條件有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,1＝－（3－y），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))(*)將(*)代入②式，得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋4a＝9，,6＋b＝8，))解得a＝1，b