函數的應用3．函數與方程第1課時函數的零點1．理解函數零點的概念以及函數零點與方程根的關系．(重點)2．會求函數的零點．(重點、難點)3．掌握函數零點的存在性定理并會判斷函數零點的個數．(難點)[基礎·初探]教材整理1零點的概念閱讀教材P91至P92例1，完成下列問題．1．函數零點的定義一般地，我們把使函數y＝f(x)的值為0的實數x稱為函數y＝f(x)的零點．2．方程、函數、圖象之間的關系(1)函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數根．(2)函數y＝f(x)的零點就是它的圖象與x軸交點的橫坐標．函數y＝x2＋3x＋2的零點是________，其圖象與x軸的交點為________．【解析】令x2＋3x＋2＝0，則(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.【答案】－1或－2(－1,0)，(－2,0)教材整理2零點存在性定理閱讀教材P92例2至P93“思考”，完成下列問題．若函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數y＝f(x)在區間(a，b)上有零點．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任何函數都有零點．()(2)任意兩個零點之間函數值保持同號．()(3)若函數y＝f(x)在區間(a，b)上有零點，則一定有f(a)·f(b)＜0.()【解析】(1)可舉反例f(x)＝x2＋1無零點．(2)兩個零點間的函數值可能會保持同號，也可以異號，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三個零點即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)為正，在(2,3)上f(x)為負，故在零點1和3之間有正有負．(3)舉例f(x)＝x2－1，選擇區間(－2,2)，顯然f(x)在(－2,2)上有零點1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.【答案】(1)×(2)×(3)×2．若函數f(x)在區間(2,5)上是減函數，且圖象是一條連續不斷的曲線，f(2)·f(5)＜0，則函數f(x)在區間(2,5)上零點的個數是________．【解析】由f(x)在區間(2,5)上是減函數，可得f(x)至多有一個零點．又因為f(x)是一條連續不斷的曲線，f(2)·f(5)＜0，所以f(x)在(2,5)上至少有一個零點，可得f(x)恰有一個零點．【答案】1[小組合作型]求函數的零點求下列函數的零點．(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．【精彩點撥】根據函數零點的方程根的關系，求函數的零點就是求相應方程的實數根．【自主解答】(1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零點為x＝－1,0,1.(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f(x)的零點為x＝3.(3)令f(x)＝1－log4x＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.故f(x)的零點為x＝4.(4)當a＝0時，函數為f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零點為2.當a＝eq\f(1,2)時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))(x－2)＝eq\f(1,2)(x－2)2，令f(x)＝0得x1＝x2＝2.∴f(x)有零點2.當a≠0且a≠eq\f(1,2)時，令f(x)＝0得x1＝eq\f(1,a)，x2＝2.∴f(x)的零點為eq\f(1,a)，2.綜上，當a＝0時，f(x)的零點為2；當a＝eq\f(1,2)時，函數有零點2；當a≠0且a≠eq\f(1,2)時，f(x)的零點為eq\f(1,a)，2.函數零點的求法求函數f(x)的零點時，通常轉化為解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有實數根，則函數f(x)存在零點，該方程的根就是函數f(x)的零點；否則，函數f(x)不存在零點．[再練一題]1．若函數f(x)＝x2－ax＋b有兩個零點1和4，則函數g(x)＝bx2－ax＋1的零點為________．【解析】由韋達定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1＋4＝5，,b＝1×4＝4，))∴g(x)＝4x2－5x＋1＝(4x－1)(x－1)，令g(x)＝0，則x＝eq\f(1,4)或1，即g(x)的零點為eq\f(1,4)或1.【答案】eq\f(1,4)或1零點存在性定理及其應用在下列區間中，函數f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區間為________．(填序號)①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).【精彩點撥】利用函數零點的存在性定理判斷，即是否具備f(a)f(b)<0，也可以利用函數圖象判斷，即函數圖象與x軸是否有交點．【自主解答】∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\r(4,e)－2<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(e)－1>0，∴零點在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上．【答案】③1．判斷零點所在區間有兩種方法：一是利用零點存在性定理，二是利用函數圖象．2．要正確理解和運用函數零點的性質在函數零點所在區間的判斷中的應用，若f(x)的圖象在[a，b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a，b)上必有零點，若f(a)·f(b)>0，則f(x)在(a，b)上不一定沒有零點．[再練一題]2．根據表格中的數據，可以斷定方程ex－(x＋3)＝0(e≈的一個根所在的區間是________．(填序號)x－10123ex1x＋323456①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．【解析】設f(x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝－4<0，f(2)＝－5>0，f(3)＝－6>0，∴f(1)·f(2)<0，因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)內．【答案】③[探究共研型]方程零點個數的判斷探究1如何去求一個方程的零點？【提示】(1)可以解方程；(2)可以結合圖象；(3)可以用零點存在性定理．探究2求方程零點的方法有何優缺點？能否用來判斷零點的個數？【提示】解方程法．優點：解的準確，不需估算．缺點：有些方程，我們解不出根的精確值，如f(x)＝2x－3x.圖象法和零點存在性定理解得的零點未必是精確值，但我們可以通過圖象的交點個數來判斷方程零點的個數．(1)函數f(x)＝ex－3的零點個數為________．(2)函數f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點個數是________．(3)已知關于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，試討論方程實數根的個數．【精彩點撥】(1)利用函數的零點的概念解方程求解．(2)利用函數圖象來求解．(3)原方程可化為(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直線y＝a與拋物線y＝(x－1)(3－x)＋x的位置關系討論，也可以利用判別式．【自主解答】(1)令f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln3，故f(x)只有1個零點．(2)在同一坐標系中畫出y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象，如圖所示，函數y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象有兩個交點，所以函數f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點個數為2.【答案】(1)1(2)2(3)法一：原方程化為－x2＋5x－3＝a.令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.作函數f(x)＝－x2＋5x－3的圖象，拋物線的開口向下，頂點的縱坐標為eq\f(12－25,4×－1)＝eq\f(13,4)，畫出如圖所示的簡圖：由圖象可以看出：①當a＞eq\f(13,4)時，方程沒有實數根；②當a＝eq\f(13,4)時，方程有兩個相等的實數根；③當a＜eq\f(13,4)時，方程有兩個不相等的實數根．法二：原方程化為x2－5x＋3＋a＝0.Δ＝25－4(3＋a)＝－4a①當Δ＜0，即a＞eq\f(13,4)時，方程沒有實數根；②當Δ＝0，即a＝eq\f(13,4)時，方程有兩個相等的實數根；③當Δ＞0，即a＜eq\f(13,4)時，方程有兩個不相等的實數根．判斷函數零點的個數的方法主要有：(1)可以利用零點存在性定理來確定零點的存在性，然后借助于函數的單調性判斷零點的個數．(2)利用函數圖象交點的個數判定函數零點的個數．[再練一題]3．若把(3)中x加以限制(1＜x＜3)，求解相應問題．【解】原方程可化為－x2＋5x－3＝a(1＜x＜3)，作函數f(x)＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的圖象，注意f(x)＝－x2＋5x－3的對稱軸為x＝eq\f(5,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－eq\f(25,4)＋eq\f(25,2)－3＝eq\f(50－25－12,4)＝eq\f(13,4)，f(1)＝－1＋5－3＝1，f(3)＝－9＋15－3＝3.故f(x)在1＜x＜3上的草圖如圖所示：由圖可知，①當a＝eq\f(13,4)或1＜a≤3時，方程有一解；②當3＜a＜eq\f(13,4)時，方程有兩解；③當a≤1或a＞eq\f(13,4)時，方程無解.1．下列圖象表示的函數中沒有零點的是________．(填序號)【解析】②③④的圖象均與x軸有交點，故函數均有零點，①的圖象與x軸沒有交點，故函數沒有零點．【答案】①2．函數f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零點個數是________．【解析】∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，由f(x)＝0，得x＝－5或x＝1或x＝2.【答案】33．已知函數f(x)的圖象是連續不斷的，有如下的x，f(x)對應值表：x1234567f(x)－－－由表可知函數f(x)存在零點的區間有________個．【解析】∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4個區間．【答案】44．方程－eq\f(2,21)x＝0的實數解的個數是________．【解析】設f(x)＝－eq\f(2,21)x，則f(x)為減函數，值域為R，故有1個．【答案】15．關于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有兩實根