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第六節晶體的比熱3.6.1晶體比熱的一般理論本節主要內容：3.6.2晶體比熱的愛因斯坦模型3.6.3晶體比熱的德拜模型3.6晶體的比熱下面分別用經典理論和量子理論來解釋晶體比熱的規律。晶體比熱的實驗規律(1)在高溫時，晶體的比熱為3NkB(N為晶體中原子的個數,kB=1.3810-23JK-1為玻爾茲曼常量)；(2)在低溫時，晶體的比熱按T3趨于零。晶體的定容比熱定義為：3.6.1晶體比熱的一般理論---晶體的平均內能晶格振動比熱晶體電子比熱通常情況下，本節只討論晶格振動比熱。1.杜隆--珀替定律(經典理論)根據能量均分定理，每一個自由度的平均能量是kBT,若晶體有N個原子，則總自由度為：3N。低溫時經典理論不再適用。它是一個與溫度無關的常數，這一結論稱為杜隆--珀替定律。晶體由N個原子組成，晶體中包含3N個簡諧振動，總振動能為對于宏觀晶體,原胞數目N很大，波矢q在簡約布里淵區中有N個取值，所以波矢q近似為準連續的，頻率也是準連續的。上式可以用積分來表示：間的振動模式數。表示在3.頻率分布函數(模式密度)設晶體有N個原子,則(1)定義:其中m是最高頻率，又稱截止頻率。(2)計算因為頻率是波矢的函數，所以我們可以在波矢空間內求出模式密度的表達式。包含在內的振動模式數為：單位頻率間隔內的振動模式數。體積元包含的波矢數目：由梯度定義知:代入上式得證明：(法一)例1：證明由N個質量為m、相距為a的原子組成的一維單原子鏈的模式密度一維單原子鏈共有N個值dq間隔內的振動模式數為:間隔內的振動模式數為：(因子2是因為一個對應于正負兩個波矢q，即一個對應兩個振動模式。)(式中m為截止頻率)(法二)一維單原子鏈只有一支格波，且對于一維單原子鏈波矢空間的波矢密度為解:例2：三維晶體，求其中c為常量，qxqy在波矢空間，等頻率面為球面，球半徑為q。3.6.2晶體比熱的愛因斯坦模型(1)晶體中原子的振動是相互獨立的；(2)所有原子都具有同一頻率。1.模型設晶體由N個原子組成，因為每個原子可以沿三個方向振動，共有3N個頻率為的振動。2.計算(1)比熱表達式通常用愛因斯坦溫度E代替頻率，定義為kB

E=，愛因斯坦比熱函數。愛因斯坦溫度E如何確定呢？選取合適的E值，使得在比熱顯著改變的溫度范圍內，理論曲線與試驗數據相當好的符合。對于大多數固體材料，E在100300k的范圍內。高溫時，當T>>E時，(1)3.高低溫極限討論(2)低溫時，當T<<E時，但CV比T3趨于零的速度更快。是什么原因使愛因斯坦模型在低溫時不能與實驗相吻合呢?2.計算(1)模式密度表達式由彈性波的色散關系：=vq在波矢空間，等頻率面是半徑為q的球面，彈性波有1支縱波、2支橫波,共3支格波。所以總的模式密度為：模式密度為:(2)比熱表達式(1)當T>>D時，x<<1，3.高低溫極限情況討論高溫時與實驗規律相吻

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