3．2對數與對數函數3．對數及其運算第1課時對數概念與常用對數1．理解對數的概念，能進行指數式與對數式的互化．(重點)2．理解對數的底數和真數的范圍．(易混點)3．掌握對數的基本性質及對數恒等式．(難點)[基礎·初探]教材整理1對數的概念閱讀教材P95～P96，完成下列問題．1．在指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)中，冪指數x，又叫做以a為底y的對數．2．一般地，對于指數式ab＝N，我們把“以a為底N的對數b”記作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，數a叫做對數的底數，N叫做真數．3．對數恒等式alogaN＝N.4．對數與指數間的關系ab＝N?b＝logaN(a>0，a≠1)．5．常用對數以10為底的對數叫做常用對數，通常把log10N記作lg_N.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)根據對數的定義，因為(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)對數式log32與log23的意義一樣．()(3)對數的運算實質是求冪指數．()【解析】(1)×.因為對數的底數a應滿足a>0且a≠1，所以(1)錯；(2)×.log32表示以3為底2的對數，log23表示以2為底3的對數，所以(2)錯；(3)√.由對數的定義可知(3)正確．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2對數的性質閱讀教材P96“第6行”～P96“例1”以上內容，完成下列問題．1．負數和零沒有對數．2．loga1＝0(a＞0，a≠1)．3．logaa＝1(a＞0，a≠1)．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)因為1a＝1，所以log11＝a.()(2)log(－2)(－2)＝1.()(3)任何一個指數式都可化為對數式．()【解析】(1)×.因為對數的底數a應滿足a>0且a≠1，所以(1)錯；(2)×.因為對數的底數a應滿足a>0且a≠1，真數應大于0，所以(2)錯；(3)×.只有滿足底數大于0且不等于1的指數式才能化為對數式，如(－2)4＝16就不能化為對數式，故(3)錯．【答案】(1)×(2)×(3)×[小組合作型]對數的概念(1)對數式lg(2x－1)中實數x的取值范圍是________；(2)對數式log(x－2)(x＋2)中實數x的取值范圍是______．【精彩點撥】根據對數式中底數大于0且不等于1，真數大于0求解．【自主解答】(1)由題意可知對數式lg(2x－1)中的真數大于0，即2x－1>0，解得x>eq\f(1,2)，所以x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解之得x>2，且x≠3，所以實數x的取值范圍是(2,3)∪(3，＋∞)．【答案】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))(2)(2,3)∪(3，＋∞)根據對數的概念，對數式的底數大于0且不等于1，真數大于0，列出不等式組，可求得對數式中字母的取值范圍.[再練一題]1．對數式log(2x－3)(x－1)中實數x的取值范圍是______.【導學號：60210079】【解析】由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,2x－3>0，,2x－3≠1，))解之得x>eq\f(3,2)，且x≠2，所以實數x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)指數式與對數式的互化(1)將下列的對數式化為指數式或將指數式化為對數式：【精彩點撥】(1)根據ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1，N>0)求解；(2)由于a，b是對數，所以可考慮用指數式表示出a，b，再把它們代入式子中．【自主解答】(1)①因為43＝64，所以log464＝3.②因為logx3＝2，所以x2＝3.④因為lg1000＝3，所以103＝1000.(2)∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，∴3a－b＝eq\f(3a,3b)＝eq\f(10,7).1．指數式與對數式的互化互為逆運算，在利用ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1，N>0)互化時，要分清各字母分別在指數式和對數式中的位置．2．在對數式、指數式的互化求值時，要注意靈活運用指數的定義、性質和運算法則，尤其要注意條件和結論之間的關系，進行正確的相互轉化．[再練一題]2．已知logax＝logac＋b，求x的值．【解】[探究共研型]對數的基本性質探究1是不是所有的實數都有對數？【提示】負數和0沒有對數．探究2根據對數的定義及對數與指數的關系，你能求出loga1，logaa分別等于什么嗎？【提示】因為a0＝1，所以loga1＝0；因為a1＝a，所以logaa＝1.探究3你能推出對數恒等式aeq\s\up8(logaN)＝N(a>0且a≠1，N>0)嗎？【提示】因為ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得aeq\s\up8(logaN)＝N.A．10 B．13C．100 D．±100(2)求x的值：【精彩點撥】(1)利用對數恒等式aeq\s\up8(logaN)＝N求解；(2)利用“底數”的對數為1，“1”的對數為0，由外到內逐層求解．【自主解答】(1)由＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.【答案】B得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋2x－1＝2x2－1，,3x2＋2x－1>0，,2x2－1>0且2x2－1≠1，))解得x＝2.②∵logeq\s\do5((eq\r(2)－1))eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r(\r(2)＋12))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.對數恒等式是利用對數的定義推導出來的，要注意其結構特點：1它們是同底的；2指數中含有對數的形式；3其值為對數的真數.)[再練一題]3．已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．【解】∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3.∴x＝43＝64.同理求得y＝16.∴x＋y＝80.1．下列指數式與對數式互化不正確的一組是()A．e0＝1與loge1＝0B．8＝eq\f(1,2)與log8eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3)C．log39＝2與9eq\s\up8(\f(1,2))＝3D．log77＝1與71＝7【解析】由指數、對數互化的關系：ax＝N?x＝logaN可知A，B，D都正確；C中log39＝2?9＝32.【答案】C2．已知logx8＝3，則x的值為()\f(1,2) B．2C．3 D．4【解析】由logx8＝3，得x3＝8，∴x＝2.【答案】B3．若對數log(x－1)(4x－5)有意義，則x的取值范圍是()\f(5,4)≤x＜2 \f(5,2)＜x＜2\f(5,4)＜x＜2或x＞2 D．2≤x≤3【解析】x應滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－5>0，,x－1>0，,x－1≠1，))∴x>eq\f(5,4)，且x≠2.【答案】C4．計算＝________.【解析】＝22·＝4×5＝20.【答案】205．求下列各式中的x.【導學號：97512045】(1)log2x＝－eq\f(2,3)；(2)log5(log2x)＝0.【解】(1)x＝2eq\s\up12(－eq\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(2,3)).(2)log2x＝1，x＝2.

第2課時對數的運算1．理解對數的運算性質．(重點)2．知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數．(難點)3．會運用運算性質進行一些簡單的化簡與證明(易混點)．[基礎·初探]教材整理1對數的運算性質閱讀教材P98至P98“例4”以上部分，完成下列問題．如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…k)(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM__(n∈R)．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)積、商的對數可以化為對數的和、差．()(2)logaxy＝logax·logay.()(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．()【解析】(1)√.根據對數的運算性質可知(1)正確；(2)×.根據對數的運算性質可知logaxy＝logax＋logay；(3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M應為大于0的數．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2換底公式與自然對數閱讀教材P100至P101“例6”以上部分，完成下列問題．1．對數換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．特別地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．2．自然對數：lnN＝eq\f(lgN,lge)?lnN≈.計算：log29·log34＝________.【解析】由換底公式可得log29·log34＝eq\f(2lg3,lg2)·eq\f(2lg2,lg3)＝4.【答案】4[小組合作型]對數運算性質的應用求下列各式的值：(1)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(2)eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg＋2lg2)；(3)log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7eq\s\up12(log72)；(4)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5eq\s\up12(2log53).【導學號：60210082】【精彩點撥】當對數的底數相同時，利用對數運算的性質，將式子轉化為只含一種或少數幾種真數的形式再進行計算．【自主解答】(1)原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.(2)原式＝eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg36－2＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,2lg2＋lg3＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,4lg2＋2lg3)＝eq\f(1,2).(3)原式＝log3eq\f(3\s\up12(\f(3,4)),3)＋lg(25×4)＋2＝log33－eq\f(1,4)＋lg102＋2＝－eq\f(1,4)＋2＋2＝eq\f(15,4).(4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.1．利用對數性質求值的解題關鍵是化異為同，先使各項底數相同，再找真數間的聯系．2．對于復雜的運算式，可先化簡再計算；化簡問題的常用方法：①“拆”：將積(商)的對數拆成兩對數之和(差)；②“收”：將同底對數的和(差)收成積(商)的對數．[再練一題]1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.【解】(1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.對數運算的實際應用抽氣機每次抽出容器內空氣的60%，要使容器內的空氣少于原來的%，則至少要抽幾次？(lg2≈0)【精彩點撥】根據題中的已知條件建立不等關系式，然后利用對數來解不等式．【自主解答】設至少抽n次可使容器內空氣少于原來的%，原先容器中的空氣體積為a.則a(1－60%)n<%a，即<，兩邊取常用對數，得n·lg<lg，∴n>eq\f(lg,lg＝eq\f(－3,2lg2－1)≈.故至少需要抽8次才能使容器內的空氣少于原來的%.解對數應用題的步驟[再練一題]2．地震的震級R與震釋放的能量E的關系為R＝eq\f(2,3)(lgE－．根據英國天空電視臺報道，英格蘭南部2023年4月28日發生強度至少為級的地震，歐洲地震監測站稱，地震的震級為級，而2023年3月11日，日本本州島發生級地震，那么此次地震釋放的能量是級地震釋放能量的________倍．【解析】設級地震所釋放的能量為E1,級地震所釋放的能量為E2.由＝eq\f(2,3)(lgE1－，得lgE1＝eq\f(3,2)×＋＝.同理可得lgE2＝eq\f(3,2)×＋＝，從而lgE1－lgE2＝－＝6.故lgE1－lgE2＝lgeq\f(E1,E2)＝6，則eq\f(E1,E2)＝106＝1000000，即級地震釋放的能量是級地震釋放能量的1000000倍．【答案】1000000[探究共研型]對數換底公式的應用探究1假設eq\f(log25,log23)＝x，則log25＝xlog23，即log25＝log23x，從而有3x＝5，進一步可以得到什么結論？【提示】進一步可以得到x＝log35，即log35＝eq\f(log25,log23).探究2由探究1，你能猜測eq\f(logcb,logca)與哪個對數相等嗎？如何證明你的結論？【提示】eq\f(logcb,logca)＝logab.假設eq\f(logcb,logca)＝x，則logcb＝xlogca，即logcb＝logcax，所以b＝ax，則x＝logab，所以eq\f(logcb,logca)＝logab.(1)已知log1227＝a，求log616的值；(2)計算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值．【精彩點撥】(1)中兩對數的底數不同，可用換底公式換成常用對數，為便于發現關系，可將真數都化為質數進行計算．(2)中各個對數的底數都不相同，需先統一底數再化簡求值．【自主解答】(1)由log1227＝a，得eq\f(3lg3,2lg2＋lg3)＝a，∴lg2＝eq\f(3－a,2a)lg3.∴log616＝eq\f(lg16,lg6)＝eq\f(4lg2,lg2＋lg3)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(43－a,3＋a).(2)法一原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))·log52＋eq\f(log54,log525)＋eq\f(log58,log5125)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))log52＋eq\f(2log52,2log55)＋eq\f(3log52,3log55)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(3log52)＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.法二原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\f(lg2,lg5)＋eq\f(lg4,lg25)＋eq\f(lg8,lg125)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(lg2,lg5)))＝13.法三原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·log52＝3×eq\f(13,3)＝13.1．在利用換底公式進行化簡求值時，一般情況下是根據題中所給對數式的具體特點選擇恰當的底數進行換底，如果所給的對數式中的底數和真數互不相同，我們可以選擇以10為底數進行換底．2．在運用換底公式時，還可結合底數間的關系恰當選用一些重要的結論，如logab·logba＝1，logab·logbc·logcd＝logad，logambn＝eq\f(n,m)logab，logaan＝n，lg2＋lg5＝1等，將會達到事半功倍的效果．[再練一題]3．求值：log225·log3eq\f(1,16)·log5eq\f(1,9)＝________.【解析】原式＝log252·log32－4·log53－2＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(－4lg2,lg3)·eq\f(－2lg3,lg5)＝16.【答案】161．設a，b，c均為不等于1的正實數，則下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac【解析】利用對數的換底公式進行驗證，logab·logca