河南省示范性高中羅山高中2023屆高三數學復習單元過關練：必修三概率（含解析）1．從裝有2個黑球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而對立的兩個事件是（）A.至少有1個黑球，至少有1個白球B.恰有1個黑球，恰有2個白球C.至少有1個黑球，都是黑球D.至少有1個黑球，都是白球2．設集合，，從集合中隨機地取出一個元素，則的概率是（）A．B．C．D．3．把半徑為2的圓分成相等的四弧，再將四弧圍成星形放在半徑為2的圓內，現在往該圓內任投一點，此點落在星形內的概率為（）A．B．C．D．4．若=，則事件A與B的關系是（）A互斥不對立B對立不互斥C互斥且對立D以上都不對5．在區間[0，10]內隨機取出兩個數，則這兩數的平方和也在區間[0,10]的概率是（）A． B． C． D．6．如圖，設D是圖中邊長為4的正方形區域，E是D內函數圖象下方的點構成的區域（陰影部分）.向D中隨機投一點，則該點落入E中的概率為（）A.B.C.D.7．一個盒子中裝有4張卡片,上面分別寫著如下四個定義域為R的函數:f1(x)=x3,f2(x)=|x|,f3(x)=sinx,f4(x)=cosx,現從盒子中任取2張卡片,將卡片上的函數相乘得到一個新函數,所得函數為奇函數的概率是()(A)QUOTE(B)QUOTE(C)QUOTE(D)QUOTE8．將一個骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則兩數之和是3的倍數的概率是（）A．B．C．D．9．從個位數與十位數之和為奇數的兩位數中任取一個，其中個位數為0的概率是（）A．B．C．D．10．如圖，設區域，向區域內隨機投一點，且投入到區域內任一點都是等可能的，則點落到陰影區域內的概率是（）y=y=x311Oxy（A）（B）（C）（D）11．．在區間上隨機取一個，的值介于與之間的概率為（）(A)(B)(C)(D)12．有6個座位連成一排，三人就座，恰有兩個空位相鄰的概率是 （）A． B． C． D．13．已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x隨機選自集合{－1,1,3}，y隨機選自集合{1,3}，那么a⊥b的概率是________．14．在區間內任取一個實數，則使不等式成立的概率為．15．有四種顏色：紅、黃、藍、黑，并且它們所占面積的比為6：2：1：4，則指針停在紅色或藍色區域的概率為。16．設隨機變量，且DX=2，則事件“X=1” 的概率為（用數學作答）.17．某條公共汽車線路沿線共有11個車站（包括起點站和終點站），在起點站開出的一輛公共汽車上有6位乘客，假設每位乘客在起點站之外的各個車站下車是等可能的．求：（=1\*ROMANI）這6位乘客在其不相同的車站下車的概率；（=2\*ROMANII）這6位乘客中恰有3人在終點站下車的概率；18．某單位招聘面試，每次從試題庫隨機調用一道試題，若調用的是類型試題，則使用后該試題回庫，并增補一道類試題和一道類型試題入庫，此次調題工作結束；若調用的是類型試題，則使用后該試題回庫，此次調題工作結束。試題庫中現共有道試題，其中有道類型試題和道類型試題，以表示兩次調題工作完成后，試題庫中類試題的數量。（Ⅰ）求的概率；（Ⅱ）設，求的分布列和均值（數學期望）。19．已知某山區小學有100名四年級學生，將全體四年級學生隨機按00～99編號，并且按編號順序平均分成10組．現要從中抽取10名學生，各組內抽取的編號按依次增加10進行系統抽樣.（1）若抽出的一個號碼為22，則此號碼所在的組數是多少？據此寫出所有被抽出學生的號碼；（2）分別統計這10名學生的數學成績，獲得成績數據的莖葉圖如圖4所示，求該樣本的方差；（3）在（2）的條件下，從這10名學生中隨機抽取兩名成績不低于73分的學生，求被抽取到的兩名學生的成績之和不小于154分的概率．20．某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.（1）若花店一天購進17枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數解析式.（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數10201616151310(1)假設花店在這100天內每天購進17枝玫瑰花，求這100天的日利潤（單位：元）的平均數；(2)若花店一天購進17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，求當天的利潤不少于75元的概率.21．某市現有居民萬人，每天有的人選擇乘出租車出行，記每個人的乘車里程為，。由調查數據得到的頻率分布直方圖（如圖）。在直方圖的乘車里程分組中，可以用各組的區間中點值代表該組的各個值，乘車里程落人該區間的頻率作為乘車里程取區間中點值得概率。現規定乘車里程時，乘車費用為元；當時，每超出（不足時按計算），乘車費用增加元。（Ⅰ）求從乘客中任選人乘車里程相差超過的概率；（Ⅱ）試估計出租車公司一天的總收入是多小？（精確到萬元）22．甲乙丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約。甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約。設每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響。求：（I）至少一人面試合格的概率；（II）沒有人簽約的概率。參考答案1．D【解析】試題分析：根據題意，對于選項A至少有1個黑球，至少有1個白球，，“至少有一個黑球”，黑球的個數可能是1或2，表明紅球個數為0或1，這與“至少有1個紅球”不互斥，因此它們不對立；對于選項B，由于恰有1個黑球，恰有2個白球，互斥，但不是必有一個發生，故不對立，對于選項C，由于C.至少有1個黑球，都是黑球，可以同時發生，因此不互斥，對于D,由于至少一個黑球和沒有黑球是對立事件，因此說至少有1個黑球，都是白球是對立事件，故選D.考點：互斥事件與對立事件點評：本題考查了隨機事件當中“互斥”與“對立”的區別與聯系，屬于基礎題2．C【解析】試題分析：如圖，集合是正方形內部（含邊界），，集合是拋物線下方的點（含邊界），拋物線與正方形的交點為，，所以正方形內部且在拋物線下方區域的面積為，所求概率為．考點：幾何概型．3．A【解析】試題分析：這是一道幾何概型概率計算問題．星形弧半徑為，∴點落在星形內的概率為故選．考點：幾何概型．4．D【解析】略5．D【解析】解：將取出的兩個數分別用x，y表示，則x，y∈[0，10]要求這兩個數的平方和也在區間[0，10]內，即要求0≤x2+y2≤10，故此題可以轉化為求0≤x2+y2≤10在區域0≤x≤10，0≤y≤10內的面積比的問題．即由幾何知識可得到概率為π/4?10/102=π/40；故選D6．C【解析】試題分析：正方形的面積為，陰影部分的面積為，由幾何概型的計算公式當.考點：幾何概型的應用.7．C【解析】新函數的個數為6個.即f1(x)·f2(x),f1(x)·f3(x),f1(x)·f4(x),f2(x)·f3(x),f2(x)·f4(x),f3(x)·f4(x).奇函數有f1(x)·f2(x),f1(x)·f4(x),f2(x)·f3(x),f3(x)·f4(x),共4個.∴P=QUOTE=QUOTE.故選C.8．D【解析】考點：等可能事件的概率．專題：計算題．分析：本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是一顆骰子拋擲2次向上的點數，共有36種結果，滿足條件的事件是點數之和是3的倍數，可以列舉出結果，根據古典概型概率公式得到結果解答：解：由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是一顆骰子拋擲2次，觀察向上的點數，共有36種結果，滿足條件的事件是點數之和是3的倍數，有（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6）有12種結果，根據古典概型概率公式得到P=12:36=1:3，故選D點評：本題考查古典概型問題，可以列舉出試驗發生包含的事件和滿足條件的事件，應用列舉法來解題是這一部分的最主要思想．9．D【解析】試題分析：個位數與十位數之知為奇數一兩位數共有個，從中任取一個共有45個不同的結果，由于是隨機抽取的，每個結果出現的可能性是相等的，其中個位數為的有個，由古典概型的概率公式得所求概率為：，故選D.考點：1、排列組合；2、古典概型.10．A【解析】試題分析：由定積分得陰影部分面積為，由幾何概型的概率計算公式得到點落到陰影區域內的概率為考點：幾何概型11．A【解析】分析：解出關于三角函數的不等式，使得sinx的值介于-到之間，在所給的范圍中，求出符合條件的角的范圍，根據幾何概型公式用角度之比求解概率．解答：解：∵-＜sinx＜，

當x∈[-，]時，

x∈（-，）

∴在區間[-，]上隨機取一個數x，

sinx的值介于--到之間的概率P==，

故選A．點評：本題是一個幾何概型，古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，在解題過程中不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到．12．C【解析】13．【解析】依題意，所有(x，y)的結果為＝6種．若a⊥b，則a·b＝0，即3x－y＝0，而滿足a⊥b的結果只有(1,3)．由古典概型概率計算公式得P＝．14．．【解析】試題分析：在區間內任取一個實數，試驗全部結果構成的長度為，不等式得，滿足題意的，滿足不等式的的長度是3，不等式成立的概率為．考點：利用幾何概型求隨機事件的概率．15．【解析】略 16．【解析】考點：．分析：由隨機變量X～B（n，），且DX=2，知n××（）=2，解得n=8．再由二項分布公式能夠導出事件“X=1”的概率．解答：解：∵隨機變量X～B（n，），且DX=2，∴n××（）=2，∴n=8．∴p（x=1）=C××=．故答案為：．點評：本題考查二項分布的性質和應用，解題時要注意二項分布方差公式Dξ=np（1-p）的靈活運用．17．（=1\*ROMANI）這6位乘客在互不相同的車站下車的概率為．（=2\*ROMANII）這6位乘客中恰有3人在終點站下車的概率為．【解析】（=1\*ROMANI）這6位乘客在互不相同的車站下車的概率為．（=2\*ROMANII）這6位乘客中恰有3人在終點站下車的概率為．18．（Ⅰ）的概率為（Ⅱ）求的均值為【解析】（=1\*ROMANI）表示兩次調題均為類型試題，概率為（Ⅱ）時，每次調用的是類型試題的概率為隨機變量可取，，19．(1)第3組02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.(2)(3)【解析】試題分析：(1)根據系統抽樣的方式,可以得到100名學生要分10組,每組10人,每組抽取一人,第三組編號為20-29,故22號為第三組學生,因為間隔為10,所以22依次加或者減10即可得到各組被抽到學生的編號.(2)首先根據莖葉圖可得還原這10名學生的成績,然后求的平均數,10名學生的成績分別減去平均數的平方和再除以10即為方差.(3)根據莖葉圖可得成績不低于73分的學生有5名,首先列出五選二的所有的基本事件共有10種,即為（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）,而成績之差不小于154分的有7種,再根據古典概型的概率計算公式即可求的相應的概率.試題解析：（1）由題意，得抽出號碼為22的組數為3.（2分）因為2＋10×(3－1)＝22，所以第1組抽出的號碼應該為02，抽出的10名學生的號碼依次分別為：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.（4分）（2）這10名學生的平均成績為：×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，（6分）故樣本方差為：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52.（8分）（3）從這10名學生中隨機抽取兩名成績不低于73分的學生，共有如下10種不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.（10分）其中成績之和不小于154分的有如下7種：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.（12分）故被抽取到的兩名學生的成績之和不小于154分的概率為：（13分）考點：古典概型莖葉圖方差系統抽樣20．（1）；（2），.【解析】試題分析：本題主要考查實際應用問題、平均利潤的計算、隨機事件的概率等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，利用“當天的利潤=售出的價錢-進價”計算利潤，但需分兩種情況：，進行討論，列出表達式；第二問，用100天的總利潤÷100=平均利潤，來計算；所求利潤相當于表中后5種情況，把5種情況的概率相加即可.試題解析：（1）當日需求量時，利潤=85；當日需求量時，利潤，∴關于的解析式為；4分（2）(i)這100天中有10天的日利潤為55元，20天的日利潤為65元，16天的日利潤為75元