第一章計數原理排列與組合1.2.1排列第1課時排列的簡單應用A級基礎鞏固一、選擇題1．已知下列問題：①從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別參加數學和物理學習小組；②從甲、乙、丙3名同學中選出2名同學參加一項活動；③從a，b，c，d4個字母中取出2個字母；④從1，2，3，44個數字中取出2個數字組成1個兩位數．其中是排列問題的有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：①是排列問題，因為2名同學參加的活動與順序有關；②不是排列問題，因為2名同學參加的活動與順序無關；③不是排列問題，因為取出的2個字母與順序無關；④是排列問題，因為取出的2個數字還需要按順序排成一列．答案：B2．計算eq\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝()A．12B．24C．30D．36解析：Aeq\o\al(6,7)＝7×6Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6Aeq\o\al(4,5)，所以eq\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝eq\f(36Aeq\o\al(4,5),Aeq\o\al(4,5))＝36.答案：D3．元旦來臨之際，某寢室四位同學各有一張賀年卡，并且要送給該寢室的其中一位同學，但每人都必須得到一張，則不同的送法有()A．6種B．9種C．11種D．23種解析：將4張賀卡分別記為A，B，C，D，且按題意進行排列，用樹狀圖表示為：由此可知共有9種送法．答案：B4．由0，1，2，3這四個數字組成的四位數中，有重復數字的四位數字共有()A．238個 B．232個C．174個 D．168個解析：由0，1，2，3可組成的四位數共有3×43＝192(個)，其中無重復的數字的四位數共有3Aeq\o\al(3,3)＝18(個)，故共有192－18＝174(個)答案：C5．用1，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有()A．24個B．30個C．40個D．60個解析：將符合條件的偶數分為兩類：一類是2作個位數，共有Aeq\o\al(2,4)個，另一類是4作個位數，也有Aeq\o\al(2,4)個．因此符合條件的偶數共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,4)＝24(個)．答案：A二、填空題6．若Aeq\o\al(m,10)＝10×9×…×5，則m＝_________________________.解析：由10－(m－1)＝5，得m＝6.答案：67．現有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質的4塊地上，有________種不同的種法(用數字作答)．解析：將4塊不同土質的地看作4個不同的位置，從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質的地上，則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題．所以不同的種法共有Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝1680(種)．答案：16808．從2，3，5，7中每次選出兩個不同的數作為分數的分子、分母，則可產生不同的分數的個數是______，其中真分數的個數是____．解析：第一步：選分子，可從4個數字中任選一個作分子，共有4種不同選法；第二步：選分母，從剩下的3個數字中任選一個作分母，有3種不同選法．根據分步乘法計數原理，不同選法共有4×3＝12(種)，其中真分數有eq\f(2,3)，eq\f(2,5)，eq\f(2,7)，eq\f(3,5)，eq\f(3,7)，eq\f(5,7)，共6個．答案：126三、解答題9．求下列各式中n的值：(1)90Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)；(2)Aeq\o\al(4,n)Aeq\o\al(n－4,n－4)＝42Aeq\o\al(n－2,n－2).解：(1)因為90Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)，所以90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)．所以n2－5n＋6＝90.所以(n－12)(n＋7)＝0.解得n＝－7(舍去)或n＝12.所以滿足90Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)的n的值為12.(2)由Aeq\o\al(4,n)Aeq\o\al(n－4,n－4)＝42Aeq\o\al(n－2,n－2)，得eq\f(n！,（n－4）！)·(n－4)！＝42(n－2)！.所以n(n－1)＝42.所以n2－n－42＝0.解得n＝－6(舍去)或n＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7這七個數字組成沒有重復數字的四位數．(1)能被5整除的四位數有多少個？(2)這些四位數中偶數有多少個？解：(1)能被5整除的數個位必須是5，故有Aeq\o\al(3,6)＝120(個)．(2)偶數的個位數只能是2，4，6，有Aeq\o\al(1,3)種排法，其他位上有Aeq\o\al(3,6)種排法，由乘法原理知，四位數中偶數共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,6)＝360(個)．B級能力提升1．滿足不等式eq\f(Aeq\o\al(7,n),Aeq\o\al(5,n))＞12的n的最小值為()A．12B．10C．9D．8解析：由排列數公式得eq\f(n?。╪－5）！,（n－7）！n！)＞12，即(n－5)(n－6)＞12，解得n＞9或n＜2.又n≥7，所以n＞9.又n∈N*，所以n的最小值為10.答案：B2．從集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的系數A，B，C，所得直線經過坐標原點的有________條．解析：易知過原點的直線方程的常數項為0，則C＝0，再從集合中任取兩個非零元素作為系數A，B，有Aeq\o\al(2,6)種．所以符合條件的直線有Aeq\o\al(2,6)＝30(條)．答案：303．用1，2，3，4四個數字排成三位數(允許數字重復使用)，并把這些三位數從小到大排成一個數列{an}．(1)寫出這個數列