第一章計(jì)數(shù)原理排列與組合1.2.1排列第1課時排列的簡單應(yīng)用A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知下列問題：①從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組；②從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)參加一項(xiàng)活動；③從a，b，c，d4個字母中取出2個字母；④從1，2，3，44個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成1個兩位數(shù)．其中是排列問題的有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：①是排列問題，因?yàn)?名同學(xué)參加的活動與順序有關(guān)；②不是排列問題，因?yàn)?名同學(xué)參加的活動與順序無關(guān)；③不是排列問題，因?yàn)槿〕龅?個字母與順序無關(guān)；④是排列問題，因?yàn)槿〕龅?個數(shù)字還需要按順序排成一列．答案：B2．計(jì)算eq\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝()A．12B．24C．30D．36解析：Aeq\o\al(6,7)＝7×6Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6Aeq\o\al(4,5)，所以eq\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝eq\f(36Aeq\o\al(4,5),Aeq\o\al(4,5))＝36.答案：D3．元旦來臨之際，某寢室四位同學(xué)各有一張賀年卡，并且要送給該寢室的其中一位同學(xué)，但每人都必須得到一張，則不同的送法有()A．6種B．9種C．11種D．23種解析：將4張賀卡分別記為A，B，C，D，且按題意進(jìn)行排列，用樹狀圖表示為：由此可知共有9種送法．答案：B4．由0，1，2，3這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字共有()A．238個 B．232個C．174個 D．168個解析：由0，1，2，3可組成的四位數(shù)共有3×43＝192(個)，其中無重復(fù)的數(shù)字的四位數(shù)共有3Aeq\o\al(3,3)＝18(個)，故共有192－18＝174(個)答案：C5．用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有()A．24個B．30個C．40個D．60個解析：將符合條件的偶數(shù)分為兩類：一類是2作個位數(shù)，共有Aeq\o\al(2,4)個，另一類是4作個位數(shù)，也有Aeq\o\al(2,4)個．因此符合條件的偶數(shù)共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,4)＝24(個)．答案：A二、填空題6．若Aeq\o\al(m,10)＝10×9×…×5，則m＝_________________________.解析：由10－(m－1)＝5，得m＝6.答案：67．現(xiàn)有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地上，有________種不同的種法(用數(shù)字作答)．解析：將4塊不同土質(zhì)的地看作4個不同的位置，從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地上，則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題．所以不同的種法共有Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝1680(種)．答案：16808．從2，3，5，7中每次選出兩個不同的數(shù)作為分?jǐn)?shù)的分子、分母，則可產(chǎn)生不同的分?jǐn)?shù)的個數(shù)是______，其中真分?jǐn)?shù)的個數(shù)是____．解析：第一步：選分子，可從4個數(shù)字中任選一個作分子，共有4種不同選法；第二步：選分母，從剩下的3個數(shù)字中任選一個作分母，有3種不同選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同選法共有4×3＝12(種)，其中真分?jǐn)?shù)有eq\f(2,3)，eq\f(2,5)，eq\f(2,7)，eq\f(3,5)，eq\f(3,7)，eq\f(5,7)，共6個．答案：126三、解答題9．求下列各式中n的值：(1)90Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)；(2)Aeq\o\al(4,n)Aeq\o\al(n－4,n－4)＝42Aeq\o\al(n－2,n－2).解：(1)因?yàn)?0Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)，所以90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)．所以n2－5n＋6＝90.所以(n－12)(n＋7)＝0.解得n＝－7(舍去)或n＝12.所以滿足90Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)的n的值為12.(2)由Aeq\o\al(4,n)Aeq\o\al(n－4,n－4)＝42Aeq\o\al(n－2,n－2)，得eq\f(n！,（n－4）！)·(n－4)！＝42(n－2)！.所以n(n－1)＝42.所以n2－n－42＝0.解得n＝－6(舍去)或n＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(1)能被5整除的四位數(shù)有多少個？(2)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個？解：(1)能被5整除的數(shù)個位必須是5，故有Aeq\o\al(3,6)＝120(個)．(2)偶數(shù)的個位數(shù)只能是2，4，6，有Aeq\o\al(1,3)種排法，其他位上有Aeq\o\al(3,6)種排法，由乘法原理知，四位數(shù)中偶數(shù)共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,6)＝360(個)．B級能力提升1．滿足不等式eq\f(Aeq\o\al(7,n),Aeq\o\al(5,n))＞12的n的最小值為()A．12B．10C．9D．8解析：由排列數(shù)公式得eq\f(n！（n－5）！,（n－7）！n！)＞12，即(n－5)(n－6)＞12，解得n＞9或n＜2.又n≥7，所以n＞9.又n∈N*，所以n的最小值為10.答案：B2．從集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的系數(shù)A，B，C，所得直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的有________條．解析：易知過原點(diǎn)的直線方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則C＝0，再從集合中任取兩個非零元素作為系數(shù)A，B，有Aeq\o\al(2,6)種．所以符合條件的直線有Aeq\o\al(2,6)＝30(條)．答案：303．用1，2，3，4四個數(shù)字排成三位數(shù)(允許數(shù)字重復(fù)使用)，并把這些三位數(shù)從小到大排成一個數(shù)列{an}．(1)寫出這個數(shù)列