第二講第二節一、選擇題(每小題5分，共20分)1．以下各種說法中，正確的是()A．任意三角形可能有1個外接圓，也可能有2個B．在圓內部的四邊形叫做圓內接四邊形C．菱形一定有外接圓D．圓內接平行四邊形一定是矩形解析：A．三角形的外心只有一個，因此三角的外接圓只有1個B．只有頂點在圓上的四邊形才叫圓內接四邊形．C．只有當對角互補時，菱形才有外接圓又菱形的對角相等，故該菱形是正方形，也就是說只有當菱形是正方形時，才有外接圓．D．圓內接平行四邊形對角互補且相等，故對角均為90°，所以為矩形．故D正確．答案：D2．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，已知∠BOD＝100°，則∠BAD和∠BCD的度數分別為()A．50°，130° B．30°，130°C．100°，130° D．100°，50°解析：由圓周角定理，得∠BAD＝eq\f(1,2)∠BOD＝50°.根據圓內接四邊形的性質定理，得∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝130°，故選A．答案：A3．已知Rt△ABC的斜邊BC的兩個端點分別在x軸、y軸的正半軸上移動，頂點A與原點分別在BC的兩側，則點A的軌跡是()A．圓 B．線段C．射線 D．一段圓弧解析：如右圖，∵∠CAB＝∠COB＝90°，∴四邊形ABOC是圓內接四邊形，∴∠COA＝∠CBA，并且是定值，∴不管怎樣移動Rt△ABC，直線OA的斜率不變．又由題意，可得動點A的軌跡是線段．故選B．答案：B4.如圖，圓內接四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線相交于點P，對角線AC和BD相交于點Q，則圖中共有相似三角形的對數為()A．4 B．3C．2 D．1解析：利用圓周角和圓內接四邊形的性質定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD．因此共4對．答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．若圓內接四邊形中3個相鄰的內角比是5∶6∶4，則這個四邊形中最大的內角為________，最小的內角為________.解析：不妨設該四邊形的四個內角分別為∠A＝5α，∠B＝6α，∠C＝4α，∠D＝β，根據圓內接四邊形的性質定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＋∠C＝180°，,∠B＋∠D＝180°，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5α＋4α＝180°，,6α＋β＝180°.))解得β＝60°，∴該四邊形的最大的內角是∠B＝120°，最小的內角是∠D＝60°.答案：120°60°6．如圖，以AB＝4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E、F兩點，∠ACB＝60°，則EF＝________.解析：連接AE.∵AB為圓的直徑，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝eq\f(1,2)AC．∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B，∴△CFE∽△CBA．∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(CE,AC)，∵AB＝4，CE＝eq\f(1,2)AC，∴EF＝2.答案：2三、解答題(每小題10分，共20分)7.如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)證明：B、D、H、E四點共圓；(2)證明：CE平分∠DEF.證明：(1)在△ABC中，因為∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因為AD、CE是角平分線，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°，所以∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四點共圓．(2)連接BH，則BH為∠ABC的平分線，得∠HBD＝30°，由(1)知B、D、H、E四點共圓，所以∠CED＝∠HBD＝30°，又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，所以∠CEF＝30°，故∠CEF＝∠CED＝30°，所以CE平分∠DEF.8．如圖，當△ABC內角都小于120°時(使∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的點P被稱為△ABC的費馬點)，由△ABC的一邊BC向外作正三角形BCD，然后作這個正三角形的外接圓，連接AD交該圓于點Q，求證：點Q是△ABC的費馬點．證明：由于△BCD是正三角形，且B、D、C、Q四點共圓，所以∠BQD＝∠BCD＝60°，則∠AQB＝180°－∠BQD＝120°，同理得∠CQA＝120°，又Q點在△ABC的內部，∴點Q就是△ABC的費馬點．eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O，AB是直徑，AD＝DC，分別延長BA、CD交于點E，BF⊥EC，交EC的延長線于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的長．解析：連接OD、BD．∵AD＝DC，∴eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(DC,\s\up10(︵))，∠ABC＝eq\f(1,2)eq\o\ac(AC,\s\up10(︵))的度數＝eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))的度數＝∠AOD．∴OD∥BC，有eq\f(OD,BC)＝eq\f(EO,EB)，∵EA＝AO＝BO，BC＝12，∴eq\f(OD,12)＝eq\f(2,3)，OD＝8，AB＝16，EB＝24.∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠EDA＝∠EBC，又∠DEA＝∠BEC，∴△EDA∽△EBC，∴eq\f(AD,BC)＝eq\f(EA,EC)＝eq\f(ED,EB).設AD＝DC＝x，ED＝y，則有：eq\f(x,12)＝eq\f(8,x＋y)＝eq\f(y,24).解得：x＝4eq\r(2)，∴AD＝4eq\r(2).∵