精品資料精品資料華師大版八年級下冊第17章反比例函數與三角形綜合題專訓（含答案）、反比例函數與等腰三角形結合試題1、（2015常州）如圖，反比例函數y=堊的圖象與一次函數y=x的圖象交于點A、X 4B,點B的橫坐標是4.點P是第一象限內反比例函數圖象上的動點，且在直線 AB的上方.（1）若點P的坐標是（1,4）,直接寫出k的值和4PAB的面積；（2）設直線PA、PB與x軸分別交于點M、N,求證：4PMN是等腰三角形；（3）設點Q是反比例函數圖象上位于P、B之間的動點（與點P、B不重合），連接AQ、BQ,比較/PAQ與/PBQ的大小，并說明理由.【解答】解：（1）k=4,SApab=15.提示：過點A作AR，y軸于R,過點P作PS，y軸于S,連接PO設AP與y軸交于點C,如圖1,把x=4代入y=^x,得到點B的坐標為（4,1）,k得到點A的坐標為（-把點B（理由如下：,1）代入%，得k=4-4,T)得到點A的坐標為（-理由如下：則點A與點B關于原點對稱,，OA=OB,saaop=Sabop，

sapab=2Saaop-設直線AP的解析式為y=mx+n,把點A(-4,-1)、P(1,4)代入y=mx+n,求得直線AP的解析式為y=x+3,則點C的坐標(0,3),00=3,-1?Saaop=Saaoc+Sapoc=-00AR+-;0CPS115=方>3>4+->^>1=—,-1?/PAQ=/PBQ.*過點Q/PAQ=/PBQ.過點Q作QT^x軸于T,設AQ交x軸于D,QB的延長線交x軸于E,如圖3.(2)過點P作PH^x軸于H,如圖2.4B(4,1),則反比例函數解析式為 y=-,4設P(m,—),直線PA的方程為y=ax+b,直線PB的方程為y=px+q,聯立=nia+b,解得直線PA的方程為聯立聯立=nia+b,解得直線PA的方程為聯立一二ipp+q,解得直線PB的方程為y=［注+0=1.M(m-4,0),N(m+4,0),?H(m,0),MH=m—(m—4)=4,NH=m+4—m=4,.?.MH=NH,??PH垂直平分MN,.PM=PN,?.△PMN是等腰三角形；可設點Q為（c,名），直線AQ的解析式為y=px+q,則有???直線AQ的解析式為1 4當y=0時，—x+--1=0,CC解得：x=c-4,.D(c-4,0).同理可得E(c+4,0),DT=c-(c—4)=4,ET=c+4-c=4,DT=ET,??QT垂直平分DE,.QD=QE,/QDE=/QED.??/MDA=ZQDE,?./MDA=/QED.,.PM=PN,../PMN=/PNM.??/PAQ=/PMN-/MDA,/PBQ=/NBE=/PNM-/QED,?./PAQ=/PBQ.A的坐A的坐試題2、（2016黃岡校級自主招生）如圖，直線 OB是一次函數y=2x的圖象，點標是（0,2）,點C在直線OB上且△ACO為等腰三角形，求C點坐標.【解答】解：若此等腰三角形以OA為一腰，且以A為頂點，則AO=AC1=2.設Ci(x,2x),則得x2+(2x-2)2=22,解得蟾'得C1卷評若此等腰三角形以OA為一腰，且以O為頂點，則OC2=OC3=OA=2,x2+(2x)2=2x2+(2x)2=22,解得又由點C3與點C2關于原點對稱，得"的、—和）,若此等腰三角形以OA為底邊，則C4的縱坐標為1,從而其橫坐標為-1,得C4S.1）,所以，滿足題意的點C有4個，坐標分別為：（春普，,「卷信-三后），C44.1）.

試題3、(2011廣西來賓，23,10分)已知反比例函數的圖像與一次函數圖像交于點A(1,4)和B(m,-2).(1)求這兩個函數的關系式.(2)如果點C與點A關于x軸對稱，求》BC的面積。(3)點P是X軸上的動點，^AOP是等腰三角形，求點P的坐標。、反比例函數與等邊三角形結合試題1、如圖，直線y=2x+4與x,y軸分別交于A,B兩點，以OB為邊在y軸右側作等邊三角形OBC,將點C向左平移，使其對應點C恰好落在直線AB上，則點C'的坐標為BB點,?x=0時，得y=4,B(0,4).???以OB為邊在y軸右側作等邊三角形OBC,?.C在線段OB的垂直平分線上，?.C點縱坐標為2.將y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,解得x=-1.故答案為：(-1,2)B、D【解答】解：???△AOB和B、D【解答】解：???△AOB和4ACD均為正三角形,SAOBP=( )4V34試題2、（2015黃岡校級自主招生）如圖，4AOB和4ACD均為正三角形，且頂點/AOB=/CAD=60°,??.AD//OB,SAABP=SAAOP,Saobp=Saaob，過點B作BELOA于點E,貝USAobe=Saabe4saaob，4丁點B在反比仞^函數y=一的圖象上，覽1---SaOBE=叵^4=2,??SAOBP=SAAOB=2SAOBE=4.故選D.故選D.PP2在函）試題3、（2013黃岡模擬）如圖，APiOAi、4P2A1A2是等腰直角三角形，點Pl、數廠一（K>0）的圖象上，斜邊OAi、A1A2都在x軸上，則點A2的坐標是（O jlijbA.（次值-2,0）B.（2^2+2,0） C.（W2,0） D.（2收0）【解答】解：（1）根據等腰直角三角形的性質，可設點 Pi（a,a）,又y二=，則a2=4,a=i2（負值舍去），再根據等腰三角形的三線合一，得 Ai的坐標是（4,0）,|4設點P2的坐標是（4+b,b）,又'嗔則b（4+b）=4,即b2+4b—4=0,又..b>0, b=2-Jl-2,再根據等腰三角形的三線合一，?-4+2b=4+472-4=4/2,??點A2的坐標是（4厄0）.故選C.三、反比例函數與直角三角形結合試題1、（2015大連模擬）如圖，以RtAAOB的直角頂點O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系， C為AB的中點，將一個足夠大的三角板的直角頂點與 C重合，并繞點C旋轉，直角邊CM、CN與邊OB、OA相交于E、F.（1）如圖1,當ZABO=45。時，請直接寫出線段CE與CF的數量關系： CE=CF.FC=.：-；EC（2）如圖2,當/ABO=30。時，請直接寫出CEFC=.：-；EC（3）當ZABO="時，猜想CE與CF的數量關系（用含有a的式子表示），并結合圖2證明你的猜想.（4）若OA=6,OB=8,D為4AOB的內心，結合圖3,判斷D是否在雙曲線y=^±,說明理由.

./AOB=90°,/MCN=90°,，四邊形OFCE共圓,??/ABO=45:C為AB的中點,/EOC=/FOC=45°,.-.CE=CF,故答案為：CE=CF.(2)如圖2,連接OC,?./AOB=90°,ZMCN=90°,，四邊形OFCE共圓，此圓為OG,設半徑為r,作GP^FC,連接GF,???/ABO=30°,C為AB的中點,

/BOC=30°,/FOC=60°,可得/FGP=60°,FC=2FP=q才，同理可得EC=r,.,.fc=-73ec.故答案為：fc=73EO.(3))如圖2,連接OC,./AOB=90°,ZMCN=90°,??四邊形OFCE共圓，此圓為OG,設半徑為r,作GP^FC,連接GF,ABO=&C為AB的中點,/BOC=a,./FOC=90°-a,可得/FGP=90°-a,FC=2FP=2rsin(90-a),同理可得EC=2rsin%??.FC：EC=sin(90-a):sina,FC=sin(90s-Q)FC=sin(90s-Q)EC(4)如圖3,圖二?.OA=6,OB=8,??AB=而居石聲/屋+芯匕?.OA=6,OB=8,??AB=而居石聲/屋+芯匕。,設OC為x,AC=6x,.D為^AOB的內心，.OE=x,BE=8-x,.8-x+6-x=10,..x=2,3??點D(2,2).代入雙曲線y=7不成立,，D，D不在雙曲線y=^上,

工四、反比例函數與等腰直角三角形結合試題1、如圖，在平面直角坐標系中，點 Ai,A2,A3??都在x軸上，點B1,B2,B3??都在直線y=x上，△OAiBi,△B1A1A2,△B2B1A2,AB2A2A3,4BsB2A3??都是等腰直角三角解：???OAi=1,.?.點Ai的坐標為(1,0),.△OAlBl是等腰直角三角形，.AlBl=1,/.Bi(1,1),??△B1A1A2是等腰直角三角形，?.A1A2=1,B1A2=近，△B2B1A2為等腰直角三角形，..A2A3=2,..B2(2,2),同理可得，B3(22,22),B4(23,23),-Bn(2nM,2n-1),???點B2015的坐標是(22014,22014).故選：A.4試題2、（2015儀征市一模）如圖，點A是雙曲線y=-在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B,以AB為斜邊作等腰RtAABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，但始終在一函數圖象上運動，則這個函數的解析式為4【解答】解：連結OC,作CD，x軸于D,AE，x軸于E,如圖,設A點坐標為（a,厘），a4???A點、B點是正比例函數圖象與雙曲線 yJ的交點，??點A與點B關于原點對稱，.?.OA=OB.△ABC為等腰直角三角形，，OC=OA,OCXOA,??/DOC+/AOE=90°,??/DOC+/DCO=90°,/DCO=/AOE,??在ACOD和4OAE中[ZCD0=Z0EAZDCO=ZEOACD=OA.,.△COD^AOAE(AAS),4.?.OD=AE=CD=OE=a,一4，C點坐標為(-一，a),a..4-3a二一4)4「?點C在反比仞^函數y=-一圖象上.4故答案為y=—-.

試題2、(2015潮陽區一模)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，矩形OABC的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，D是BC的中點，過點D的反比例函數圖象交AB于E點，連接DE.若OD=5,tan/COD=(1)求過點D的反比例函數的解析式；(2)求4DBE的面積；x軸上是否存在點P使4OPD為直角三角形？若存在，請直接寫出 P點的坐標；若不存在，請說明理由.【解答】解：(1)存在，請說明理由.【解答】解：(1).?.四邊形OABC是矩形,?.BC=OA,AB=OC,4tan/COD=—,J,?設OC=3x,CD=4x,/.OD=5x=5,..x=1,.?.OC=3,CD=4,??D(4,3),k設過點D的反比例函數的解析式為： y二二，..k=12, 反比例函數的解析式為：y);(2)???點D是BC的中點,?B(8,3),BC=8,AB=3,???E點在過點D的反比例函數圖象上,3?E(8,E)，?Sz\dbe=：BDBE=(3)存在,??△OPD為直角三角形，當/OPD=90°時，PD^x軸于P,.OP=4,?P(4,0),當/ODP=90°時,如圖，過D作DH^x軸于H,?.OD2=OHOP,.20D225…OP= =_TT.0H。25??P(胃，0)，，存在點P使4OPD為直角三角形,25?P(4,0),(彳，0).試題3、(2015歷下區模擬)如圖，在平面直角坐標系中有 RtAABC,/A=90。，AB=AC,A(-2,0)、B(0,d)、C(-3,2).(1)求d的值；(2)將^ABC沿x軸的正方向平移a個單位，在第一象限內 B、C兩點的對應點BC'正好落在某反比例函數圖象上.請求出這個反比例函數和此時直線 BC'的解析式；(3)在(2)的條件下，直線BC交y軸于點G,作CM，x軸于M.P是線段BC'上的一點，若4PMC和一點，若4PMC和4PBB面積相等，求點P坐標.【解答】解：(1)作CN，x軸于點N.[3a+b=2

l6a+b=l解得:[3a+b=2

l6a+b=l解得:在RtACNA和RtAAOB中，[MC=0A1(AC=AB'???RtACNA^RtAAOB(HL),貝UBO=AN=3—2=1,d=1;(2)設反比例函數為y=e，點C和B在該比例函數圖象上,工設C'(a,2),則B'(a+3,1)把點C和B'的坐標分另代入y=-,得k=2a；k=a+3,/.2a=a+3,a=3,則k=6,反比例函數解析式為y=4得點C'(3,2);B'(6,1);設直線C'B'的解析式為y=ax+b,把ClB兩點坐標代入得???直線C'B'的解析式為：y=-2工十(3)連結BB'-B(0,1),B'(6,1),??.BB7/x軸，

設P(m,一日時$），作PQ^CM,PHXBB???Sapcm=1>PQ>CM=^x(m-3)設P(m,一日時$），作PQ^CM,PHXBB???Sapcm=1>PQ>CM=^x(m-3)>2=m—3，」△PBB-..XPHXBB金>6=—m+6?"m_3=—m+64試題4、（2015泰州校級一模）已知點A（m、n）是反比例函數y=-（x>0）的圖象上一點，過A作AB，x軸于點B,P是y軸上一點，（1）求4PAB的面積；（2）當4PAB為等腰直角三角形時，求點A的坐標；（3）若/APB=90°,求m的取值范圍.【解答】解：（1）【解答】解：（1）連接。人，.AB，x軸，?.AB//y軸,Sapab=Sapqb，4.RA（m、n）是反比例函數產：（x>0）的圖象上一點,sapab=Sapob=2；(2)若ZABP=90°,貝UAB=OB,貝Um=n,m=-,-x>0,m=2,，點A(2,2)；若/PAB=90。，則PA=AB,同理可得點A(2,2)；若/APB=90°,貝UAP=BP,過點P作PCXAB于點C,貝UAC=BC=PC,則點A(m,2m),.fl，,.x>0,?-m=，點A陋，2厄；綜上，點A的坐標為：(2,2)或(①，2/2)；(3)../APB=90°,.??點P是以AB為直徑的圓與y軸的交點，由（2）可知當x=時，以AB為直徑的圓與y軸相切，當x>6時，以AB為直徑的圓與y軸相離，，m的取值范圍為：0Vm氣歷.五、反比例函數與全等三角形結合試題1、2015韶關模擬)如圖，點A(2,2)在雙曲線yi上(x>0)上，點C在雙曲線：x9y2=--(x<0)上，分別過A、C向x軸作垂線，垂足分別為F、E,以A、C為頂點作正方形ABCD,且使點B在x軸上，點D在y軸的正半軸上.(1)求k的值；(2)求證：△BCE^^ABF；(3)求直線BD的解析式.【解答】⑴解：把點A(2,2)代入yi4得：2=當/.k=4；(2)證明：???四邊形ABCD是正方形，BC=AB,/ABC=90°,BD=AC,???/EBC+/ABF=90°,.「CE^x軸,AF^x軸,/CEB=/BFA=90°,???/BCE+/EBC=90°,/BCE=/ABF,在^BCE^AABF中，rZBCE=ZABF?ZCEB=ZBFA,.,.△BCE^AABF(AAS);(3)解：連接AC,作AG^CE于G,如圖所示:貝U/AGC=90°,AG=EF,GE=AF=2,

由(2)得：△BCE^^ABF,BE=AF=2,CE=BF,設OB=x,貝UOE=x+2,CE=BF=x+2,.?.OE=CE,，點C的坐標為：(-x-2,x+2),代入雙曲線丫2=-g(x<0)得：-(x+2)2=-9,解得：x=1,或x=-5(不合題意，舍去)，.OB=1,BF=3,CE=OE=3,.?.EF=2+3=5,CG=1=OB,B(-1,0),AG=5,在RtABOD和RtACGA中，fBD=ACHciB=CG'??RtABOD^RtACGA(HL),.OD=AG=5,?.D(0,5),設直線BD的解析式為：y=kx+b,f-k+b=0把B(-1,0),D(0,5)代入得： ，b二5解得：k=5,b=5.???直線???直線BD的解析式為：y=5x+5.yy”的圖象交于A(1,4),試題2、(2015歷城區二模)如圖，一條直線與反比例函數B(4,n)兩點，與x軸交于點D,AC^x軸，垂足為C.(1)求反比例函數的解析式及D點的坐標；(2)點P是線段AD的中點，點E,F分別從C,D兩點同時出發，以每秒1個單位的速度沿CA,DC運動，到點A,C時停止運動，設運動的時間為 t(s).①求證：PE=PF.②若4PEF的面積為S,求S的最小值.【解答】(1)解：把點A(1,4)代入y*得：k=4,直|4??反比例函數的解析式為： y?；|x把點B(4,n)代入得：n=1,?B(4,1)設直線AB的解析式為y=kx+b,%斗卜一4把A(1,4),B(4,1)代入y=kx+b得：」 ,L4k+b=l解得：k=-1,b=5,??直線AB的解析式為：y=-x+5,當y=0時，x=5,?.D點坐標為：(5,0);(2)①證明：/A(1,4),C(1,0),D(5,0),AC^x軸于C,.?.AC=CD=4,?.△ACD為等腰直角三角形，/ADC=45°,?.P為AD中點，/ACP=/DCP=45°,CP=PD,CP±AD,/ADC=/ACP,???點E,F分別從C,D兩點同時出發，以每秒1個單位的速度沿CA,DC運動,EC=DF,rCP=PD在4ECP和4FDP中，,/ECP=/PDF ，LEC=DF.,.△ECP^AFDP(SAS),?.PE=PF；②解：???AECP^AFDP,/EPC=ZFPD,/EPF=ZCPD=90°,??.△PEF為等腰直角三角形，???△PEF的面積S=^PE2,ba△PEF的面積最小時，EP最小，???當PE^A