第第頁中考數學試題分類匯總《等腰三角形與直角三角形》練習題（含答案）等腰三角形的判定與性質1．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則底角的度數為69°或21°．【分析】分兩種情況討論：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出頂角∠BAC，再利用三角形內角和定理即可求出底角的度數．【解答】解：分兩種情況討論：①若∠A＜90°，如圖1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ABD＝48°，∴∠A＝90°﹣48°＝42°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣42°）＝69°；②若∠A＞90°，如圖2所示：同①可得：∠DAB＝90°﹣48°＝42°，∴∠BAC＝180°﹣42°＝138°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣138°）＝21°；綜上所述：等腰三角形底角的度數為69°或21°．2．已知a，b，4是等腰三角形的三邊長，且a，b是關于x的方程x2﹣6x+m+6＝0的兩個實數根，則m的值是（）A．m＝2 B．m＝9 C．m＝3或m＝9 D．m＝2或m＝3【分析】①當腰長為4時，直接把x＝4代入原方程即可求出m的值；②當底邊為4時，那么x的方程x2﹣20x+m＝0的兩根是相等的，利用判別式為0即可求出m的值．【解答】解：①當腰長為4時，把x＝4代入原方程得16﹣24+m+6＝0，∴m＝2，∴原方程變為：x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，∵4+2＞4∴能構成三角形；②當底邊為4時，那么x的方程x2﹣6x+m+6＝0的兩根是相等的，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+6）＝0，∴m＝3，∴方程變為x2﹣6x+9＝0，∴方程的兩根相等為x1＝x2＝3，∵3+3＞4∴能構成三角形；綜上，m的值是2或3，3．將一根橡皮筋兩端固定在點A，B處，拉展成線段AB，拉動橡皮筋上的一點P，當△APB是頂角為120°的等腰三角形時，已知AB＝6cm，則橡皮筋被拉長了（）A．2cm B．4cm C． D．【分析】過點P作PC⊥AB于點C，先根據等腰三角形的性質得到∠APC，AC，再在Rt△APC中，利用銳角三角函數求出AP長，進而可求出橡皮筋被拉長的長度．【解答】解：如圖，過點P作PC⊥AB于點C，∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝120°，∴∠APC＝120°÷2＝60°，AC＝6÷2＝3cm，AP＝BP，∴在Rt△APC中，AP＝＝＝2cm，∴橡皮筋被拉長了：2×2﹣6＝（4﹣6）cm．故選：C．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分線，BE是中線，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵AB＝AC＝8，AD是角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵BE是中線，∴AE＝CE，∴DE＝AC＝×8＝4，等邊三角形的性質5．如圖，等邊△OAB的邊長為4，則點A的坐標為（2，2）．【解答】解：過A點作AC⊥OB于C，如圖∵△OAB為等邊三角形，且邊長為4，∴OC＝BC＝OA＝2，∠BOA＝60°，在Rt△OBC中，BC＝OC＝2，∴A點坐標為（2，2）．6．將兩個直角三角板如圖放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果點A是DE的中點，CE與AB交于點F，則∠BFC的度數為120°．【分析】先根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AC＝AD＝AE，由∠D＝60°，得到△ACD是等邊三角形，那么∠ACD＝60°，∠ACF＝30°，再根據三角形外角的性質可得出答案．【解答】解；∵∠DCE＝90°，點A是DE的中點，∴AC＝AD＝AE，∵∠D＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACF＝∠DCE﹣∠ACD＝30°，∵∠FAC＝90°，∴∠BFC＝∠FAC+∠ACF＝90°+30°＝120°，7．如圖，將△ABC繞A順時針旋轉60°到△ADE的位置，D在BC邊上，則∠B＝60度．【解答】解：由旋轉的性質可知，AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴∠B＝60°，直角三角形的性質8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE⊥AC，垂足為點E，若BD＝3，則DE的長為（）A．3 B． C．2 D．6【解答】解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝BD＝3，故選：A．9．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AB的中點，CD＝3，則AC＝．【分析】根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得AB，根據含30°角的直角三角形的性質可得BC，根據勾股定理，即可求出AC．【解答】解：∵∠C＝90°，D是AB的中點，CD＝3，∴AB＝2CD＝6，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝3，在Rt△ABC中，根據勾股定理，得AC＝．10．如圖，將正方形ABCD剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分），得到邊長為c的四邊形EFGH．下列等式成立的是（）A．a+b＝c B．c2＝（a+b）2﹣4ab C．c2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+b2＝c2【分析】用兩種方法表示剩下正方形的面積，列出等式，化簡即可得到答案．【解答】解：由圖可得剩下正方形面積為：（a+b）2﹣4×ab，根據正方形面積公式，剩下正方形面積也可以表示為：c2，∴（a+b）2﹣4×ab＝c2，化簡得a2+b2＝c2，故選：D．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝12，AD平分∠CAB，點F是AC的中點，點E是AD上的動點，則CE+EF的最小值為．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，線段AB的垂直平分線ED分別交AC、AB于點D、E，連接BD．若CD＝，則AD的長為2．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝15°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，∵∠C＝90°，CD＝，∴BC＝1，∴BD＝2BC＝2，∴AD＝BD＝2．13．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝30°，CD＝15，現將△ABC折疊，使點B與點A重合，則BC的長為45．【解答】解：∵將△ABC折疊，使點B與點A重合，∴∠DAE＝∠B＝30°，∠DEA＝∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAE＝30°，在Rt△ACD中，AD＝2CD＝2×15＝30，∴BD＝AD＝30，∴BC＝CD+BD＝15+30＝45，等腰三角形、直角三角形的綜合14．如圖，在△ABC中，AB＝CB＝9，∠B＝90°，點O是△ABC內一點，過點O分別作邊AB、BC的垂線，垂足分別為點D、E，且OD2+OE2＝36，連接OA、OC，則△AOC面積的最小值為．【分析】由OD2+OE2＝36可得出DE＝6，由矩形的性質得出OB＝6，當點O在△ABC的AC邊上的高上時，△AOC面積的最小，則可求出答案．【解答】解：連接OB，DE，∵OD2+OE2＝36，∴DE＝6，∵四邊形ODBE是矩形，∴OB＝DE＝6，當點O在△ABC的AC邊上的高上時，△AOC面積的最小，∴△AOC面積的最小值＝＝．15．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若將△ADC繞點D逆時針方向旋轉得到△FDE，當點E恰好落在AC上，連接AF．則AF的長為（）A． B． C． D．2【解答】解：過點D作DH⊥AF于點H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∵tan∠ACB＝＝3，設CD＝x，∴