教學目的：掌握利用根軌跡分析系統的性能教學重點：根軌跡的繪制和利用根軌跡分析系統性能教學難點：根軌跡的繪制本章授課學時：8第4章根軌跡法4.1根軌跡法的基本概念4.2根軌跡的繪制法則4.3用根軌跡法分析系統的動態特性仿真實現????本章研究內容第4章根軌跡法返回本章小節?第4章根軌跡法根軌跡概念:系統開環傳遞函數中某一參數從零變到無窮大時，閉環系統特征根在s平面上變化的軌跡。穩態性能暫態性能閉環特征根(極點)的位置穩定性閉環系統的零點、極點的位置輸入信號根軌跡法：利用根軌跡分析系統性能的方法。（圖解法）

已知:一單位反饋二階系統的開環傳遞函數為：閉環傳遞函數為：閉環系統特征方程為：閉環系統特征根（即閉環極點）為：，研究開環放大系數K與閉環特征根s1、s2之間的關系Xr(s)Xc(s)

第4章根軌跡法Ks1s200-20.5-1-1-1+j1-1-j12∞-1+j∞-1-j∞▼▼▼▼▼K=1K=1K=2K=2K=0K=0K=0.5-1j-20j1-j1第4章根軌跡法開環放大系數K改變改變閉環特征根的位置改變系統性能閉環反饋系統的一般結構：開環傳遞函數:閉環系統特征方程為：Xr(s)Xc(s)-zi——開環有限零點-pj——開環極點Kg——根軌跡放大系數考察閉環特征方程與開環傳遞函數的關系根軌跡的作用：

1、根據Kg確定閉環特征根的位置，判定系統穩定性；

2、再考慮系統的閉環零點，確定系統的暫態性能；

3、根據對系統規定的性能指標的要求，合理安排零、極點的位置，設計或校正控制系統。繪制根軌跡時，實質上就是當某一參數（如Kg）變化時，尋求閉環特征方程式解s的變化軌跡。第4章根軌跡法幅角條件幅值條件本章返回4.1根軌跡法的基本概念閉環系統的特征方程為：令s=+j復數本節返回本章返回4.1根軌跡法的基本概念（=0，1，2，…）式中i——開環有限零點-zi到s的矢量輻角

j

——開環極點-pj到s的矢量輻角本節返回本章返回注意：測量幅角時，規定以逆時針方向為正

幅值：幅值條件：幅角：幅角條件：j1232sL1

L3

L2

l2

-p3-p2-p1-z1l1

1▼滿足幅值條件和幅角條件的s值，就是閉環特征方程的根，這些根所描述的曲線就是根軌跡幅值條件求Kg例4-1已知：系統開環傳遞函數為：求：閉環特征根s=s0時的放大系數Kk0。本節返回本章返回4.1根軌跡法的基本概念Kk——開環放大系數；-z1=-1/1——開環有限零點；-p0=0，-p1=-1/T1

-p2=-1/T2

其中——根軌跡放大系數；兩者區別兩者區別解：

開環極點本節返回本章返回4.1根軌跡法的基本概念1132L3

L1

L2

l1

-p2-p1-p0-z1j▼s0幅角條件：1-(1+2+3)=180(1+2)幅值條件：由于，所以開環放大系數為：同時滿足本節返回本章返回s點必滿足幅值條件和幅角條件：4.1根軌跡法的基本概念自動控制系統的根軌跡繪制根軌跡的一般法則4.2根軌跡的繪制方法零度根軌跡廣義根軌跡本章返回4.2.1繪制根軌跡的一般法則繪制根軌跡應確定以下幾個方面的內容：(9項)

起點、終點、根軌跡數、實軸上的根軌跡、分離點和匯合定、根軌跡的漸近線、根軌跡的出射角和入射角、根軌跡和虛軸的交點、根軌跡的走向。本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法注意：實際繪制根軌跡時應根據具體情況有選擇性地考慮以上9項內容。當

Kg=0時，有根軌跡的始點——系統的開環極點閉環特征方程：——開環極點本節返回本章返回1、起點4.2根軌跡的繪制方法（Kg=0）系統的開環極點數——根軌跡數2、終點當

Kg=∞時，有根軌跡的終點——系統的開環有限零點——開環零點4.2根軌跡的繪制方法（Kg=∞）有m條根軌跡終止于開環有限零點；另外(n-m)條根軌跡終止于無限遠處(無限零點)3、根軌跡數和它的對稱性4、實軸上的根軌跡設Nz——實軸上根軌跡右側開環有限零點的數目Np——實軸上根軌跡右側開環極點的數目

實軸上某段有根軌跡的條件：

右側，開環零、極點數目的總和為奇數根軌跡數開環極點數n根軌跡對稱于實軸本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法Nz+Np=1+2(=1,2,3…)ABCNz+Np=3Nz+Np=5Nz+Np=1本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法j5、分離點和會合點分離點會合點

b

a

s2-z1-p1

s1-p2▼▼分離點、會合點的位置：注意：分離點、會合點一定在實軸上式中，Kg>0,z1>p1>p2>0，求分離點和會合點。例4-2已知開環傳遞函數為本節返回本章返回解：N(s)=s+z1，D(s)=(s+p1)(s+p2)-z1-p1–p2j分離點會合點得：本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法▼s1

▼s26、根軌跡的漸近線漸近線的傾角漸近線的交點⑴漸近線的傾角設在無窮遠處有特征根sk，則s平面上所有開環有限零點-zi和極點-pj到sk的矢量輻角都相等，即：i=j=

代入幅角條件，得：漸近線的傾角為：(=0,1,2,…)漸近線包括兩方面內容本節返回本章返回——有獨立的(n-m)條⑵漸近線的交點設無限遠處有特征根sk，則s平面上所有開環有限零點-zi和極點-pj到sk的矢量長度都相等。可認為對于sk來說，所有開環零點和極點都匯集在一起，設位置為-k此即為漸近線交點。求此交點坐標-k：由幅值條件：本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法令上式中sn-m-1項的系數相等，即：漸近線交點為：當s=sk=∞，則zi=pj=k，上式化簡為：本節返回本章返回試計算漸近線傾角和交點，即確定漸近線的位置。解：漸近線交點為：180о

60о

-60о

j漸近線-k=-5/3

漸近線漸近線例4-3設開環傳遞函數為：本節返回漸近線傾角為：本章返回m=0，n=3，故有3條漸近線入射角：i——除被測終點外，其他開環有限零點到該點的矢量輻角j——開環極點到被測終點的矢量輻角i——開環有限零點到被測起點的矢量輻角；j

——除被測起點外，其他所有開環極點到該點的矢量輻角出射角：7、根軌跡的出射角和入射角

復數極點——根軌跡的出射角復數零點——根軌跡的入射角p3=-1-j11231求極點p4處的出射角：本節返回例4-4已知開環傳遞函數為：試確定根軌跡的出射角。解：該系統的開環零點和開環極點分別為：-z=-2，-p1=0，-p2=-3，-p3,4=-1j對于極點p3和p4有出射角。本章返回-p2=-3-z=-2-p1=0p4=-1+j1scp3處的出射角為：8、根軌跡和虛軸的交點

應確定根軌跡與虛軸例4-5已知系統開環傳遞函數為：試確定根軌跡與虛軸的交點，并計算臨界放大系數Kl。交點坐標值臨界放大系數Kl

值。系統閉環特征方程為：F(s)=1+Wk(s)=0F(s)=s3+3s2+2s+2Kk=0

方法一：當根軌跡與虛軸相交時，令s=j，Kk=KlF(j)=2Kl-32+j(2-3)=0

即：2Kl-32=0

2-3=0根軌跡與虛軸的交點坐標為：臨界放大系數為：Kl=3解得：=0，解：Kg方法二：利用勞斯判據計算交點和臨界放大系數臨界放大系數Kl：

令s1行為零，即2-2Kk/3=0，得：Kk=Kl=3根軌跡與虛軸的交點：由s2行的輔助方程求得，即令3s2+2Kk=0，得：本節返回由特征方程：F(s)=s3+3s2+2s+2Kk=0

勞斯行列表：s31

2s232Kks1

2-2Kk/30s02Kk

本章返回9、根軌跡的走向若特征方程的階次n-m≥2j本節返回-2-10本章返回4.2根軌跡的繪制方法一些根軌跡右行時

另一些根軌跡必左行特征方程：改寫為：本節返回本章返回——各特征根之積4.2根軌跡的繪制方法閉環特征根與特征方程系數的關系：——各特征根之和線性系統特征根之和等于特征方程中sn-1項系數特征根之積等于特征方程中常數項繪制根軌跡的法則：1、起點(Kg=0)

開環傳遞函數Wk(s)的極點即為根軌跡的起點。2、終點(Kg=∞)開環傳遞函數Wk(s)的零點(包括無限零點)即為根軌跡的終點。3、根軌跡數目及對稱性

根軌跡數目與開環極點數n相同;根軌跡對稱于實軸.4、實軸上的根軌跡

實軸上根軌跡右側的零、極點數目之和應為奇數本節返回本章返回5、分離點與會合點注意：求出s=-d后，應把它代入特征方程計算Kd，只有Kd為正值，s=-d才是分離點或會合點。漸近線的交點：6、根軌跡的漸近線(有n-m條漸近線)漸近線的傾角：本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法7、根軌跡的出射角和入射角。出射角：入射角：8、根軌跡與虛軸的交點。（按勞斯判據計算）9、根軌跡走向

一些根軌跡向右行時，另一些根軌跡必向左行復數極點復數零點本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法4.2.2自動控制系統的根軌跡1、二階系統Xr(s)Xc(s)解：開環傳遞函數為：其中本節返回本章返回試繪制根軌跡。4.2根軌跡的繪制方法繪制根軌跡：⑴起點：-p0=0,-p1=-1/T⑵終點：兩個開環無限零點⑶根軌跡數：有兩條根軌跡⑷實軸上根軌跡：在0~-1/T之間必有根軌跡⑸分離點:令本節返回本章返回則：4.2根軌跡的繪制方法漸近線的交點：漸近線j(=0)本節返回⑹漸近線：有n-m=2條獨立的漸近線。

-1/T-1/2T0

漸近線的傾角：本章返回Kg=K⑴起點：起始于兩個開環極點-p0=0,-p1=-0.2。⑵終點：終止于一個開環有限零點-z1=-a和一個無限零點⑶實軸上根軌跡：在0~-0.2之間和-a~-∞之間有根軌跡2、開環具有零點的二階系統

Xr(s)Xc(s)a>0.24.2根軌跡的繪制方法分離點和會合點：⑷根軌跡上的分離點和會合點：⑸復平面上根軌跡本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法設s=+j，代入上式:復平面上各點均滿足幅角條件：利用反正切公式:兩邊取正切整理得:圓:圓心為（-a,0)，半徑為本節返回本章返回

s1-a-0.20

s2會合點分離點開環系統中加入一個零點隨著Kg的增大，根軌跡向左偏移遠離虛軸，使系統動態性能改善本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法其中Kg=4Kk

⑴起點：三個開環極點-p0=0,-p1=-1，-p2=-4⑵終點：終止于三個開環無限零點，無限遠⑶根軌跡數：三條本節返回3、三階系統Xr(s)Xc(s)本章返回⑷實軸上根軌跡：在0-1和-4

-∞之間有根軌跡。⑸分離點：s=-0.467，s=-2.87（省略）⑹漸近線：有n-m=3條漸近線。漸近線傾角：4.2根軌跡的繪制方法漸近線交點：⑹根軌跡與虛軸交點：特征方程：勞斯行列表：s314s2

5Kgs1(20-Kg)/50s0

Kg=0Kg=20，Kk=Kg/4=55s2+Kg=5s2+20=0得：s=2j二階系統中加入一個極點，隨著Kg的增大，根軌跡向右偏移并穿過虛軸，使系統趨于不穩定j2-j260

-60

-5/3-0.467-180

漸近線漸近線漸近線4、開環具有零點的三階系統Xr(s)Xc(s)其中Kg=K/TiT，-z1=-1/d，-p1=-1/T。(d=4T)本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法⑴起點：有三個開環極點-p0=-p1=0，-p2=-1/T；三條⑵終點：有一個有限零點-z1=-1/d，兩個無限零點。⑶實軸上根軌跡：在實軸上-1/T~-1/d之間有根軌跡。⑷漸近線：有2條漸近線繪制根軌跡做=1/2的阻尼線，求此時特征根(3個)設d=4T漸近線

-1/T-1/4T0j60

-R1

▼▼-R2

▼-R3L1=L2L3l1求第3個特征根R3：由閉環特征方程：線性系統特征根之和等于特征方程中sn-1項系數特征根之積等于特征方程中常數項第二節根軌跡的繪制方法本節返回本章返回此時根軌跡放大系數Kg

系統開環放大系數K：本節返回本章返回由幅值條件：4.2根軌跡的繪制方法5、具有復數極點的四階系統Xr(s)Xc(s)本節返回本章返回

Kg=3Kk

4.2根軌跡的繪制方法⑴起點：四個開環極點0，-3，-1j1；有4條根軌跡⑵終點：一個開環有限零點-2，3個無限零點。⑶實軸上根軌跡：在0~-2和-3~-∞之間有根軌跡。⑷漸近線：有3條漸近線4.2根軌跡的繪制方法⑸出射角：sc1=-26.6，sc2=26.6

本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法⑹根軌跡與虛軸的交點：閉環特征方程：s4+5s3+8s2+(6+Kg)s+2Kg=0s4182Kgs35（6+Kg）s28-(6+Kg)/52Kgs1(6+Kg)-10Kg/[8-(6+Kg)/5]0s02Kg

=0Kg=7，Kk=Kg/3=2.33[8-(6+Kg)/5]s2+2Kg=0得：s=j1.61

-3-2-10

▼▼-R4

-R3▼▼-R1-R260

-60

sc1=-26.6sc2=26.6-1.58-3.42=j1.61=-j1.61本節返回本章返回Kg=74.2根軌跡的繪制方法求根軌跡與虛軸相交時，另外兩個根R3、R4。即：R3=1.58，R4=3.42本節返回s4+5s3+8s2+(6+Kg)s+2Kg=0特征方程：本章返回R1+R2+R3+R4=(+j1.61)+(-j1.61)+R3+R4=5R1R2R3R4=(+j1.61)(-j1.61)R3R4=2Kg4.2.3零度根軌跡零度根軌跡：根軌跡的幅角條件滿足：

（=0，1，2，…）本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法常見于非最小相位系統正反饋系統參數根軌跡的根軌跡Xr(s)Xc(s)其中：閉環特征方程：D(s)-KgN(s)=s(s+p1)-Kg(s-z1)=0即：本節返回本章返回非最小相位系統幅值條件：同前述相同幅角條件：（=0，1，2，…）本節返回本章返回一般情況：4.2根軌跡的繪制方法零度根軌跡繪制方法：⑴起點和終點（相同）：起點p0=0,-p1=-1/T1，終點z1=1/Ta和無限零點。⑵根軌跡數（相同）：有兩條。⑶實軸上根軌跡（不同）：存在的條件：它右側的零、極點數目之和為偶數即在0~-1/T1和1/Ta~∞之間存在根軌跡4.2根軌跡的繪制方法⑷分離點與匯合點（相同）——分離點——會合點復平面上的根軌跡是一個圓，圓心(1/Ta,0)，半徑4.2根軌跡的繪制方法⑸根軌跡與虛軸的交點（相同）特征方程：s(s+p1)-Kg(s-z1)=0s2+(p1-Kg)s+Kgz1=0勞斯表：s21Kgz1s1p1-Kg0s0Kgz1Kg=p1=1/T1

=0s2+Kgz1=0s2+p1z1=0本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法

-p1s1p0z1s2

j本節返回本章返回結論：Kg<1/T1，系統穩定Kg=1/T1，臨界穩定Kg>1/T1，不穩定4.2根軌跡的繪制方法Kg=1/T1

Xr(s)Xc(s)s系統開環傳遞函數=內環閉環傳遞函數本節返回本章返回4.2.4參數根軌跡（廣義根軌跡）

常義根軌跡：以Kg作為變量的根軌跡。

廣義根軌跡：以Kg以外的參數作為變量的根軌跡。例4-7已知系統的結構圖，試以為變量繪制根軌跡。Xr(s)Xc(s)s系統閉環傳遞函數：閉環特征方程：等效開環傳遞函數：本節返回本章返回繪制以k為等效開環放大系數的根軌跡4.2根軌跡的繪制方法⑴起點和終點根軌跡始于開環極點:，本節返回本章返回根軌跡終止于有限零點s=0和一個無限零點。有兩條根軌跡。⑵實軸上根軌跡：在-∞~0之間有根軌跡。⑶匯合點4.2根軌跡的繪制方法（省略）根軌跡是一段圓弧，圓心為坐標原點，半徑為-p1-p2本節返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法問題：取何值時，系統工作在欠阻尼狀態？求根軌跡會合時的值若使系統工作在欠阻尼狀態，的取值為：繪制廣義根軌跡，只要整理出系統的等效開環傳遞函數Weq，找到含有所研究參數的等效開環放大系數，即可把其轉換為常規根軌跡的繪制問題得：本節返回本章返回例4-9已知試：繪制以為參數的根軌跡，并利用根軌跡分析取何值時閉環系統穩定。

解：閉環特征方程等效開環傳遞函數：零度根軌跡4.2根軌跡的繪制方法本節返回本章返回⑴起點和終點根軌跡始于開環極點：s=0，s=-1/2根軌跡終止于有限零點s=1，無限遠⑵實軸上根軌跡：在[-1/2，0]，[1~∞]⑶會合點和分離點分離點：會合點：4.2根軌跡的繪制方法本節返回本章返回閉環特征方程：(4)根軌跡與虛軸的交點>>><系統處于臨界穩定狀態系統處于穩定狀態系統處于不穩定狀態4.2根軌跡的繪制方法本節返回本章返回利用根軌跡分析系統穩定性在根軌跡上確定特征根4.3用根軌跡法分析系統的性能本章返回利用根軌跡分析系統動態性能控制系統的穩態性能分析開環零點對系統根軌跡的影響開環極點對系統根軌跡的影響開環傳遞函數繪制閉環系統根軌跡4.3.1在根軌跡上確定特征根已知Kg在根軌跡上確定特征根的位置分析系統的性能——穩定性、穩態性能、暫態性能本節返回本章返回考慮閉環零點的作用4.3用根軌跡法分析系統的性能⑴在根軌跡上取一試點s0。⑵畫出s0與系統開環零、極點的連線，量出各連線的長度li,Lj。⑶把li,Lj代入幅值條件，求得Kg值。本節返回本章返回1、試探法（n-m>3）4.3用根軌跡法分析系統的性能有兩種方法試探法先確定實軸上的特征根，再確定復數根——幅值條件▼L2s0L4L3l1L1-p4–p3-z1-p2-p12、先確定實軸上的特征根（即選擇試點）再確定復數根（n-m≤3）若滿足——找到不滿足——重試（根據代數方程中根與系數的關系）Xr(s)

Xc(s)解：⑴確定根軌跡起點、終點和根軌跡數：

起始于開環極點0、-1、-4終止于開環無限零點，有三條實軸上根軌跡：在0~-1和-4~-∞之間有根軌跡試確定Kg=10的特征根。本節返回例4-8系統結構圖為：本章返回

與虛軸的交點：

閉環特征方程為：

s3+5s2+4s

+Kg=0

勞斯行列表：

s314

s2

5Kgs1

(20-Kg)/50s0

Kg本節返回分離點：

s1=-0.467，s2=-2.869(忽略)本章返回令5s2+Kg=5s2+20=0得：s=2jKg=20jKg=f(-)Kg10-1=-4.6=-0.2+j1.46=-0.2-j1.46-2+j-2-j▼▼-4-102j-2j▼本節返回本章返回4.3用根軌跡法分析系統的性能（Kg=20）（Kg=20）⑵確定Kg=10時實軸上特征根-1由作圖法確定Kg=10時，實軸上特征根-1

s=-=-4，Kg=0s=-=-4.5，Kg=7.875s=-=-4.7，Kg

=12.173s=-

=-5，Kg

=20

s=-

=-5.5，Kg

=37.125本節返回特征方程：s3+5s2+4s+Kg=0本章返回近似繪出Kg=f(-)曲線：

在-4~-∞之間取不同的試點s=-，代入特征方程中，求出對應的Kg值。⑶確定復根根據代數方程中根與系數的關系：得：1+(2+j)+(2-j)=5,

1(2+j)(2-j)=10得：2

=0.2，

=1.46兩個復根分別為：-0.2+j1.46,-0.2-j1.46本節返回本章返回s3+5s2+4s+Kg=04.3用根軌跡法分析系統的性能本章返回本節返回K*<48——穩定K*=48——臨界穩定K*>48——不穩定條件穩定系統

（

用根軌跡法分析系統的穩定性）穩定條件：本節返回本章返回典型二階系統：

特征方程繪制參數變化時的參數根軌跡：等效開環傳遞函數：起點（=0）：s1=+jn,s2=-jn，2條終點（）：s=0，負無窮遠分離點：4.3.2用根軌跡法分析系統的動態特性本節返回本章返回<<▼▼-n

阻尼線阻尼角強強弱弱n無阻尼振蕩角頻率本節返回本章返回暫態過程主要取決于離虛軸近的極點當R2≥6R1時，可忽略R2的影響-R2-R1▼▼單位階躍響應為單指數上升1、閉環系統有兩個負實極點2、閉環系統有一對復極點單位階躍響應為衰減振蕩特性離虛軸越近——震蕩越強-R1

-R2

▼▼本節返回本章返回討論：⑴n不變——系統的振蕩角頻率不變

↑→↓→特征根沿圓弧向虛軸靠近→振蕩加強

當=90о，=0，特征根到達虛軸，等幅振蕩

↓→↑→特征根沿圓弧向實軸靠近→振蕩減弱當=0о，=1，特征根會合于實軸，單指數遞增

本節返回本章返回▼▼4.3用根軌跡法分析系統的性能強弱1

2

等阻尼比線等阻尼比線▼n▼n(慢)(快)-1n-1n本節返回本章返回同一條阻尼比線上的復極點具有相同的超調量，但響應速度不同⑵不變——系統的振蕩強弱不變-2-1等衰減系數線等衰減系數線小——振蕩強大——振蕩弱本節返回▼▼本章返回4.3用根軌跡法分析系統的性能（3）n——衰減系數，有相同衰減系數的系統，將有相同的衰減速度和大致相同的調節時間3、閉環系統附加一個零點4、閉環系統附加一個實極點▼▼附加極點的作用：使系統相位滯后，相當于增加阻尼比，超調量減小，但調節時間增長-R-n-z-n▼▼附加零點的作用：使系統相位超前，相當于減小阻尼比，超調量增加當開環放大系數Kg≥Kl時，系統將變成不穩定Kl

=6-2-1漸近線4.3.3開環零點對系統根軌跡的影響舉例說明：系統增加一個開環零點：s=-z⑴z>p2>p1

設z=3.6

-3.6-2-10漸近線-0.46Kl=10討論：0.3系統根軌跡向左偏移，臨界開環放大系數Kl有所增大，但性能改善不明顯，當開環放大系數：Kg

≥

Kl時，系統不穩定。本節返回本章返回⑵p2>z>p1設z=1.6-0.8-0.54根軌跡繼續向左偏移，如果設計得當，閉環系統有三個極點，一個實極點，兩個共軛復數極點，且共軛復數極點離虛軸較近，為主導極點，系統近似為二階欠阻尼系統性能

-2-1.6-10漸近線本節返回本章返回⑶p2>p1>z

設z=0.6-1.42-1.2根軌跡繼續向左偏離，當設計得當，系統可有一個實極點和兩個復數極點，而且實極點離虛軸較近，系統近似為一階系統的特性，表現為單調變化的趨勢。

-2-1-0.6