1平面波與傅里葉變換（一）一、一維情況下的平面波《大學物理》振動與波一維平面波

ψ

=Acos(xk-ωt)A－振幅，k－波矢，ω－頻率平面波用指數形式表示ψ=Aexp[i(xk-ωt)]=Aexp(ixk)exp(-iωt)只考慮空間：ψ=Aexp(ixk)只考慮時間：ψ=Aexp(-iωt)2平面波與傅里葉變換（二）二、平面波的速度V平面波

ψ

=Acos(xk-ωt)，(xk-ωt)－相位平面波的速度V,指的是相速，即相位為常數時對應的速度(xk-ωt)=c,V=dx/dt=ω/k因ω=2πv,k=2π/λ,所以，V=vλ對于平面波，頻率v和波長λ為常數結論：平面波的速度為常數3平面波與傅里葉變換（三）三、三維情況下的平面波一維情況下，平面波

ψ

=Acos(xk-ωt)三維情況下，x－k－平面波因

代表波傳播的方向，故平面波的必須為常量。反過來，速度v和波矢為常量的波必為平面波4平面波與傅里葉變換（四）四、傅里葉變換exp(ixk)是周期函數，函數f(x)可表示為（1）其中，F(k)稱為f(x)的傅里葉變換。因為ψ=exp(ixk)代表平面波，故(1)式可看作將f(x)用平面波展開，F(k)為其展開系數5量子力學第二講不確定度關系波函數及其統計詮釋6第2講目錄一、不確定度關系（Theuncertaintyprinciple）二、量子力學討論的對象：波函數

三、自由粒子的波函數四、一般粒子的波函數及其物理意義五、波函數的統計詮釋及其性質六、動量分布概率七、再論不確定度關系7一、不確定度關系（1）

在經典力學中，宏觀粒子在任何時刻都有完全確定的位置、動量、能量等。然而，對于微觀粒子，其波動性遠遠大于宏觀粒子，以致于它的某些成對的物理量（如位置坐標和動量、時間和能量等）不可能同時具有確定的量值。這就叫不確定度關系或測不準原理。下面以電子單縫衍射為例討論這個問題湯姆遜（1927）：電子圓孔衍射實驗多晶鋁箔8一、不確定度關系（2）

電子可在縫寬范圍的任意一點通過狹縫，電子坐標不確定量就是縫寬，電子在x方向的動量不確定量:x入射電子束狹縫照相底版PPx9嚴格的理論給出的不確定性關系為：首先由海森堡給出(1927)海森堡不確定性關系(海森堡測不準關系)它的物理意義是，微觀粒子不可能同時具有確定的位置和動量。粒子位置的不確定量越小，動量的不確定量就越大，反之亦然。因此在某一時刻微觀粒子的位置和動量不可能同時完全確定。軌道的概念已失去意義，經典力學規律也不再適用。----------微觀粒子的“波粒二象性”的具體體現一、不確定度關系（3）Heinsenberg（1901-1976）10二、量子力學討論的對象：波函數（1）牛頓力學：質點（經典粒子）1、經典物理討論對象：討論對象：質點的坐標、動量、能量等11二、量子力學討論的對象：波函數（2）電動力學：電磁場（經典波動）討論對象：電磁場的波幅、波矢、能量等Maxwell方程組12二、量子力學討論的對象：波函數（3）

根據deBroglie的“波粒二象性”假設：一切實物粒子具有波粒二象性，即具有確定動量和確定能量E

的實物粒子相當于頻率為和波長為的波。滿足deBroglie關系：量子力學：引入一個物理量——波函數：

波函數表征了粒子所具有的波粒二象性，完全描述了微觀體系的狀態。（量子力學基本假設之一）量子力學討論的對象是什么？13三、自由粒子的波函數（1）平面波與傅里葉變換的回顧只考慮一維空間情況下，平面波為：任意函數均可用展開：為的Fourier變換特別地，若，有14三、自由粒子的波函數（2）自由粒子：指的是不受外力作用，靜止或勻速運動的質點。因此，其能量

和動量都是常量。根據deBroglie關系：可得與自由粒子對應的物質波的頻率和波長為：和波矢定義為：所以看出自由粒子的頻率和波矢均為常量。改寫deBroglie關系為15三、自由粒子的波函數（3）和

都為常量的波應該是平面波，可用以下函數描述或代入deBroglie關系得到：即：自由粒子的波函數，它將粒子的波動同其能量和動量聯系了起來。它是時間和空間的函數。16三、自由粒子的波函數（4）

總結：由于自由粒子的能量和動量為常量，根據deBroglie關系，其對應物質波的角頻率和波矢也為常量，根據經典波動理論，角頻率和波矢為常量的波為平面波，即：自由粒子的波函數為平面波：我和他怎么會是雙胞胎呢！17四、一般粒子的波函數及其物理意義（1）

當粒子受到外力的作用時，其能量和動量不再是常量，因此波函數無法用平面波表示。用一般函數來表示問題是：該如何理解波函數所代表的物理意義呢？經典物理：質點動量的物理意義：

電場強度的物理意義：18四、一般粒子的波函數及其物理意義（2）波粒二象性一切實物粒子都具有波粒二象性！如何理解一個實物粒子具有波動性？歷史上對粒子波動性的認識有兩種誤解：(1)波包說：認為粒子波就是粒子的某種實際結構，即將粒子看成是三維空間中連續分布的一種物質波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的運動速度。粒子的干涉和衍射等波動性都源于這種波包結構。(2)群體說：認為體現粒子波動性的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產生的結果。19四、一般粒子的波函數及其物理意義（3）1、波包說：波動的強度空間分布只在有限區域內不為零波包說：認為粒子波就是粒子的某種實際結構，即將粒子看成是三維空間中連續分布的一種物質波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的運動速度。20四、一般粒子的波函數及其物理意義（4）一維自由粒子的波函數為：：自由粒子尺寸難道無限大？兩種選擇：1、自由粒子波函數是錯的？！2、波包說是錯的？！21四、一般粒子的波函數及其物理意義（5）一般粒子的波函數為：根據Fourier變換物理意義：波包可以看做各種波長的平面波的疊加。定義群速，表示波包中心的移動速度；

即，整個波包的移動速度。若，即：則整個波包在運動過程中會發生擴散。22四、一般粒子的波函數及其物理意義（6）對于deBroglie波，有關系：根據波包說：粒子為三維空間中連續分布的一種物質波包，波包的大小即粒子的大小。由于，則波包會隨著運動發生擴散，即：粒子的大小隨時間會變大。

難道電子會隨著時間“變胖”？23四、一般粒子的波函數及其物理意義（7）波包說的錯誤之處在于：物質波包的觀點夸大了波動性的一面，抹殺了粒子性的一面，與實際不符。24四、一般粒子的波函數及其物理意義（8）2、群體說：認為體現粒子波動性的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產生的結果。然而，電子衍射實驗表明，就衍射效果而言：弱電子密度＋長時間＝強電子密度＋短時間群體說夸大了粒子性的一面，抹殺了波動性的一面，與電子衍射實驗不符。多晶鋁箔25四、一般粒子的波函數及其物理意義（9）3、再論波粒二象性經典粒子：哲學上是一個客體，強調了顆粒性或者是原子性！其運動時總是有一個確切的軌道。經典波動：強調了某種實在物理量的空間分布做周期性變化。26四、一般粒子的波函數及其物理意義（10）

對于deBroglie物質波（波函數），絕不能用經典的概念生搬硬套來解釋。要想解釋deBroglie物質波，我們必須重新認識什么是“粒子性”和“波動性”！deBroglie物質波“粒子性”一個客體，強調得是顆粒性或者是原子性，但運動時確切的軌道必須拋棄?！安▌有浴睆娬{得是波的相干疊加性，而不是某種實在物理量的空間分布做周期性變化27四、一般粒子的波函數及其物理意義（11）28四、一般粒子的波函數及其物理意義（12）4、統計詮釋：粒子的波粒二象性可以用波函數來表示：1926年，M.Born提出：波函數為刻畫粒子在空間的概率分布的概率波，表征了粒子出現在點附近的概率大小的一個量。M.Born（1882-1970）NobelPrizeinPhysics(1954)29五、波函數的統計詮釋及其性質（1）1、統計詮釋的詳細表述：表示粒子出現在點附近的概率。

表示點處的體積元中找到粒子的概率。

表示在體積微元中找到粒子的概率。多晶鋁箔30五、波函數的統計詮釋及其性質（2）2、統計詮釋下波函數的性質：（1）歸一性：在全空間中找到粒子的概率為1（2）相對概率：對于概率分布，重要的是相對概率分布。和所描述的相對概率分布是完全相同的。例：在空間任意兩點和處，描述的相對概率為：31五、波函數的統計詮釋及其性質（3）和（4）相位不定性:若，則：

對粒子在點附近出現概率的描述是相同的。這是因為:（3）波函數的常數因子不定性：設是一個常數，則：和對粒子在點附近出現概率的描述是相同的。32五、波函數的統計詮釋及其性質（4）2、統計詮釋下對波函數的要求(1)、可積性(2)、歸一化(3)、單值性，要求

(4)、連續性33量子力學的基本假定之一基本假定Ⅰ：波函數假定微觀粒子的狀態可以被一個波函數完全描述，從這個波函數可以得出體系的所有性質。波函數一般滿足連續性、有限性和單值性三個條件。說明：波函數一般是粒子坐標和時間的復函數，波函數的模方代表粒子空間分布的概率密度。34六、動量分布概率（1）設，則表示粒子出現在點附近的概率。設，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數為：任意粒子的波函數可以按此平面波做Fourier展開：35六、動量分布概率（2）可見，代表中含有平面波的成分，因此，應該代表粒子具有動量的概率。36七、再論不確定度關系（1）經典粒子：可以同時具有確定的動量和空間位置，即和可以同時成立。微觀粒子：和不能同時成立。例1：設一維自由粒子具有確定的動量，即，其相應的波函數為平面波已證明平面波故且37七、再論不確定度關系（2）例2：設一維粒子具有確定的位置，即，則其波函數為相應的傅立葉變換為:38七、再論不確定度關系（3）例3：有限長波列3