高等數學基礎作業1第１章函數第2章極限與連續單項選擇題⒈下列各函數對中,(C)中的兩個函數相等．A．，Ｂ．,C.,D.，分析：判斷函數相等的兩個條件(1）相應法則相同（２）定義域相同A、，定義域;,定義域為R定義域不同,所以函數不相等;Ｂ、，相應法則不同，所以函數不相等；C、,定義域為，,定義域為所以兩個函數相等D、，定義域為R;，定義域為定義域不同，所以兩函數不等。故選C⒉設函數的定義域為,則函數的圖形關于(C)對稱.A．坐標原點Ｂ.軸C．軸D.分析:奇函數,,關于原點對稱偶函數，,關于y軸對稱與它的反函數關于對稱,奇函數與偶函數的前提是定義域關于原點對稱設,則所認為偶函數，即圖形關于y軸對稱故選C⒊下列函數中為奇函數是(B）．A．B.Ｃ.D．分析:A、,為偶函數B、,為奇函數或者x為奇函數，cosx為偶函數,奇偶函數乘積仍為奇函數C、,所認為偶函數D、,非奇非偶函數故選B⒋下列函數中為基本初等函數是(C).A.Ｂ.C．Ｄ.分析:六種基本初等函數（常值)———常值函數為常數——冪函數———指數函數———對數函數——三角函數——反三角函數分段函數不是基本初等函數,故D選項不對對照比較選C⒌下列極限存計算不對的的是(Ｄ).A.Ｂ．C．D．分析:A、已知Ｂ、初等函數在期定義域內是連續的Ｃ、時，是無窮小量，是有界函數，無窮小量×有界函數仍是無窮小量D、,令，則原式故選D⒍當時，變量（C）是無窮小量．A.B.C.D．分析;，則稱為時的無窮小量A、,重要極限B、,無窮大量C、,無窮小量×有界函數仍為無窮小量D、故選C⒎若函數在點滿足（A)，則在點連續。A.B.在點的某個鄰域內有定義Ｃ.D.分析：連續的定義:極限存在且等于此點的函數值,則在此點連續即連續的充足必要條件故選A(二)填空題⒈函數的定義域是．分析：求定義域一般遵循的原則偶次根號下的量分母的值不等于0對數符號下量（真值）為正反三角中反正弦、反余弦符號內的量,絕對值小于等于1正切符號內的量不能取然后求滿足上述條件的集合的交集，即為定義域規定得求交集定義域為⒉已知函數,則ｘ2-x．分析:法一,令得則則法二,所以⒊.分析:重要極限,等價式推廣則則⒋若函數，在處連續，則ｅ.分析:分段函數在分段點處連續所以⒌函數的間斷點是.分析:間斷點即定義域不存在的點或不連續的點初等函數在其定義域范圍內都是連續的分段函數重要考慮分段點的連續性(運用連續的充足必要條件）不等,所認為其間斷點⒍若,則當時，稱為時的無窮小量.分析:所認為時的無窮小量計算題⒈設函數求：．解：,，⒉求函數的定義域.解:故意義,規定解得則定義域為⒊在半徑為的半圓內內接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上,試將梯形的面積表達成其高的函數.解：AROｈＥＢC設梯形ABCD即為題中規定的梯形,設高為h，即OＥ＝h,下底CＤ＝2Ｒ直角三角形AOE中，運用勾股定理得則上底=故⒋求．解:＝⒌求．解：⒍求.解:⒎求．解：⒏求.解：⒐求．解:⒑設函數討論的連續性,并寫出其連續區間．解：分別對分段點處討論連續性(1）所以,即在處不連續(2)所以即在處連續由（1）(2）得在除點外均連續故的連續區間為《高等數學基礎》第二次作業第3章導數與微分（一）單項選擇題⒈設且極限存在,則（C).A.B．C.D.cｖｘ⒉設在可導,則(D).A．B.C.D.⒊設,則(A）.Ａ．B.Ｃ.Ｄ．⒋設，則（D).A．B.Ｃ.D.⒌下列結論中對的的是(C)．A.若在點有極限，則在點可導.B.若在點連續，則在點可導.Ｃ．若在點可導，則在點有極限．D.若在點有極限,則在點連續.（二）填空題⒈設函數，則0．⒉設，則．⒊曲線在處的切線斜率是⒋曲線在處的切線方程是⒌設,則⒍設,則(三）計算題⒈求下列函數的導數:⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⒉求下列函數的導數:⑴⑵⑶⑷?⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⒊在下列方程中,是由方程擬定的函數,求:⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⒋求下列函數的微分：⑴⑵⑶⑷兩邊對數得:⑸⑹⒌求下列函數的二階導數:⑴⑵⑶⑷(四）證明題設是可導的奇函數，試證是偶函數.證：由于f(x）是奇函數所以兩邊導數得：所以是偶函數。《高等數學基礎》第三次作業第4章導數的應用（一)單項選擇題⒈若函數滿足條件（Ｄ),則存在,使得.Ａ．在內連續B.在內可導C.在內連續且可導D.在內連續,在內可導⒉函數的單調增長區間是(D）.A.B.Ｃ.D.⒊函數在區間內滿足(A)．A.先單調下降再單調上升B.單調下降C.先單調上升再單調下降D.單調上升⒋函數滿足的點，一定是的(Ｃ）．A.間斷點B.極值點C.駐點D.拐點⒌設在內有連續的二階導數，，若滿足(C),則在取到極小值.A.B.C.D.⒍設在內有連續的二階導數，且,則在此區間內是(A）．A.單調減少且是凸的B.單調減少且是凹的C.單調增長且是凸的D.單調增長且是凹的(二）填空題⒈設在內可導，,且當時，當時，則是的極小值點.⒉若函數在點可導,且是的極值點,則0.⒊函數的單調減少區間是.⒋函數的單調增長區間是⒌若函數在內恒有，則在上的最大值是.⒍函數的拐點是ｘ=0．（三）計算題⒈求函數的單調區間和極值．令Ｘ2(２,5)5+極大-極小＋y上升２7下降0上升列表:極大值:極小值：⒉求函數在區間內的極值點,并求最大值和最小值.令:

⒊試擬定函數中的,使函數圖形過點和點,且是駐點，是拐點.解：⒋求曲線上的點，使其到點的距離最短.解：，d為p到Ａ點的距離,則:⒌圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為，問當底半徑與高分別為多少時，圓柱體的體積最大？設園柱體半徑為R，高為h，則體積⒍一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最小?設園柱體半徑為Ｒ,高為h，則體積答：當時表面積最大。⒎欲做一個底為正方形,容積為62．5立方米的長方體開口容器,如何做法用料最省？解:設底連長為x,高為h。則：側面積為：令答：當底連長為5米，高為２.5米時用料最省。(四）證明題⒈當時，證明不等式．證:由中值定理得:⒉當時，證明不等式．《高等數學基礎》第四次作業第5章不定積分第6章定積分及其應用（一)單項選擇題⒈若的一個原函數是,則(D)．A．B.C．D.⒉下列等式成立的是（Ｄ）．AB.C.D．⒊若，則（B)．A.Ｂ.C.Ｄ.⒋(B).A.B.C.D.⒌若,則（B）.A.B．C.D.⒍由區間上的兩條光滑曲線和以及兩條直線和所圍成的平面區域的面積是(C）.A.B．C．D.（二)填空題⒈函數的不定積分是.⒉若函數與是同一函數的原函數,則與之間有關系式．⒊⒋