第四章控制系統的頻率特性頻率特性概述典型環節的頻率特性曲線圖

-------極坐標圖（Nyquist圖）

-------伯德圖（Bode圖）控制系統開環頻率特性曲線的繪制根據系統開環對數頻率特性圖求系統開環傳遞函數頻率特性概述頻率特性：頻率特性又稱頻率響應，是系統對不同頻率

正弦輸入信號的穩態響應。設系統的傳遞函數為已知輸入,其拉氏變換為

第四章控制系統的頻率特性R(S)C(S)系統G(S),A為常量.則系統輸出為若系統是穩定的,即G(s)的所有極點都位于復平面的左半平面，則等式兩邊同乘并令

s=j，則有等式兩邊幅值相等，則等式兩邊相位相等，則頻率特性概述系統在正弦信號作用下的穩態輸出是與輸入同頻率的正弦信號，輸出與輸入的幅值之比為|G(jω)|,穩態輸出與輸入間的相位差為∠G(jω)。R(S)C(S)系統G(S)頻率特性:

幅頻特性：

相頻特性：

頻率特性表征了系統輸入輸出之間的關系，故可由頻率特性來分析系統性能。頻率特性概述幾點認識：（1）頻率特性有明確的物理意義，可以用實驗的手段準確地得到系統的頻率響應，當系統傳遞函數未知時，可以通過測量頻率響應來推導系統的傳遞函數；(2)系統頻率特性能間接地揭示系統的動態特性和穩態特性，可簡單迅速地判斷某些環節或參數對系統性能的影響，指出系統改進方向。（3）頻率特性是在系統穩定的條件下分析穩態響應得到的，它與傳遞函數一樣，也表征了系統的運動規律，是系統頻域分析的理論依據，但只適應于線性定常系統。（4）頻率特性正好是線性系統的傅里葉變換。例:求圖所示RC電路的頻率特性，并求該電路正弦信號作用下的穩態輸出響應。頻率特性概述Uc(t)+-Ur(t)+-Ci(t)R解:

傳遞函數為

頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:穩態輸出:

頻率特性曲線之極坐標圖（Nyquist圖，幅相曲線圖）頻率特性曲線在頻域內，可以將頻率特性表示成實部和虛部的形式極坐標圖(幅相曲線)

：以ω為參數，當ω從０變到∞時，在復平面上按實部和虛部的相應變化，繪制出的頻率特性曲線。在極坐標圖上，每個點的模對應于幅頻特性，相角對應于相頻特性。0U(ω)1繪制極坐標圖時，可以計算出實部和虛部，也可以分別算出幅值和相角。V(ω)0U(ω)ω∞V(ω)ωω=0ω=0ω∞頻率特性概述頻率特性曲線之伯德圖(Bode圖,對數頻率特性曲線）Bode圖分別用兩個對數坐標圖即對數幅頻特性和對數相頻特性圖來表示頻率特性。-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.1ω1100.1ω對數幅頻特性十倍頻程縱坐標表示為：橫坐標表示為：dBL(ω)=20lgA(ω)

lgω-101dec為方便只用ω表示單位為dB

斜率對數相頻特性)

(ωφ

對數頻率特性表示法的優點能在很寬廣的頻率范圍表示頻率特性在一張圖上,可畫出頻率特性的低、中、高頻率段,有利于分析和設計系統。簡化繪制系統頻率特性的工作系統通常由許多環節串聯構成。系統的對數頻率特性即為各環節的對數頻率特性疊加。簡明展現各環節對整個系統的影響

給分析和設計控制系統帶來很大方便。典型環節的頻率特性曲線圖1．比例環節傳遞函數：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:0KReImNyquist

圖

Bode圖

對數幅頻特性：對數相頻特性：20lgK010.1ωdBL(ω)010.1ω)

(ωφ典型環節的頻率特性曲線圖2．積分環節傳遞函數：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

Bode圖

對數幅頻特性：對數相頻特性：ReIm0ω=0∞10.1100-9010.110-20dB/decωω)

(ωφdBL(ω)020-20典型環節的頻率特性曲線圖3．微分環節傳遞函數：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

Bode圖

對數幅頻特性：對數相頻特性：ReIm0ω=0∞10.11010.11020dB/decωω)

(ωφdBL(ω)020-20090典型環節的頻率特性曲線圖4．慣性環節傳遞函數：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

ReIm0ω=011ω=T-45ω∞0.707可證:慣性環節Nyquist圖是以(1/2,jo)為圓心,以1/2為半徑的半圓。Bode圖

對數幅頻特性：ω<1/T頻段用0dB漸近線近似替代ω>1/T頻段用-20dB/dec漸近線近似替代兩漸近線相交點的轉折頻率ωT=1/T對數相頻特性：轉折頻率-20dB/decT110TωdBL(ω)-20020漸近線精確曲線ω0-45-90)

(ωφ漸近線最大誤差典型環節的頻率特性曲線圖5．一階微分環節(導前環節)傳遞函數：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

1∞ReIm0ω=0Bode圖

一階微分環節的頻率特性與慣性環節成反比,所以它們的伯德圖對稱于橫軸。對數幅頻特性：對數相頻特性：20dB/decT110TωdBL(ω)-20020ω)

(ωφ漸近線45090漸近線最大誤差典型環節的頻率特性曲線圖6．振蕩環節傳遞函數：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

1ReIm0ω=0ω∞ω=ωnζ=0.4ζ=0.6ζ=0.8Nyquist圖因ζ值的不同而異。諧振峰值諧振頻率ωA(ω)Ar10ωrBode圖

對數幅頻特性：由Nyquist圖分析可知精確曲線與漸近線之間存在的誤差與ζ值有關，ζ較小時幅值出現了峰值。

典型環節的頻率特性曲線圖相頻特性曲線：ζ不同，相頻特性曲線的形狀有所不同ωdBL(ω)ωn-20020-40ωn10ζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5ω0-90-180)

(ωφζ=0.1ζ=0.３ζ=0.５-40dB/decζ=0.7典型環節的頻率特性曲線圖7．延時環節典型環節的頻率特性曲線圖傳遞函數：頻率特性:

幅頻特性:相頻特性:Nyquist

圖

1ω=0ReIm0Bode圖

對數幅頻特性：對數相頻特性：ωdBL(ω)020ω)

(ωφ0-100-200-300環節傳遞函數

斜率dB/dec

特殊點φ(ω)0o1s1Ts+11s2KL(ω)=0ω=1,L(ω)=20lgKT1ω=轉角頻率轉角頻率1ω=τ轉角頻率ω=ωn-90o-180o0o～-90o0o～90o0o～-180o比例積分重積分慣性一階微分振蕩00,-20-20-400,200,-40L(ω)=0ω=1,s2+2ωnζωns+22ωn1+τs常用典型環節伯德圖特征表

典型環節的頻率特性曲線圖最小相位系統和非最小相位系統所有零、極點全部位于s左半平面的傳遞函數稱為最小相位傳遞函數，具有最小相位傳遞函數的系統稱為最小相位系統。顯然對于同階次的基本環節，當頻率ω從0連續變化到+∞時，最小相位的基本環節造成的相移是最小的。對于最小相位系統，知道了系統的幅頻特性，其相頻特性就唯一確定。

有零點位于s右半平面的傳遞函數稱為非最小相位傳遞函數。

最小相位系統和非最小相位系統例：兩個系統的開環傳遞函數分別為（T1>T2）對數幅頻和相頻特性為顯然,兩個系統的幅頻特性一樣，但相頻特性不同.最小相位系統和非最小相位系統例：控制系統開環頻率特性的曲線繪制

頻率特性法的最大特點是可以根據系統的開環頻率特性曲線分析系統的閉環性能。下面介紹開環系統的幅相頻率特性曲線（Nyquist圖）和對數頻率特性曲線（Bode圖）的繪制。系統開環幅相頻率特性曲線系統開環傳遞函數一般是由典型環節串聯而成的：積分環節的個數時間常數系統的階次開環增益幅頻特性:近似繪制系統的Nyquist圖:先把特殊點(ω→0、ω

→∞及頻率特性與虛實軸的交點)找出來，然后在各頻段插入一些點，最后用平滑曲線將它們連接起來。相頻特性:

系統開環幅相頻率特性曲線(1)0型系統υ=0幅頻和相頻特性:

特殊點:

系統起點和終點Kυ=0n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ω=0ω=∞系統開環幅相頻率特性曲線例:例:例:例:KReIm0KTτ

ω=0ω=∞Kω=0KTτ

ω=∞τ<Tτ<T系統開環幅相頻率特性曲線(2)I型系統υ=1幅頻和相頻特性:

特殊點:

系統起點和終點n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ω=0ω=∞υ=1系統開環幅相頻率特性曲線例:ReIm0ω=0ω=∞例:ω-KT系統開環幅相頻率特性曲線(3)II型系統υ=2幅頻和相頻特性:

特殊點:

系統起點和終點n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ω=0ω=∞υ=2控制系統開環頻率特性的曲線繪制系統開環對數頻率特性曲線（Bode圖）系統開環傳遞函數一般是由典型環節串聯而成的：開環系統的頻率特性

對數幅頻特性對數相頻特性

顯然將各環節的對數頻率特性曲線相加，即為開環系統的對數頻率特性曲線。繪制系統開環對數頻率特性曲線的一般步驟：1)將開環傳遞函數化成標準典型環節的乘積。3)將各環節的對數幅頻、相頻曲線相加。2）畫出各典型環節的對數幅頻和對數相頻特性曲線；系統開環對數頻率特性曲線例:已知開環傳遞函數,試畫出系統開環對數頻率特性曲線。解:化成標準典型環節

畫出各環節的對數頻率特性曲線ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2L1L3L2L41100.5-20020400-180-9090-40dB/decωdBL(ω)-20dB/dec)

(ωφ最后各環節曲線相加，即為開環系統的對數頻率特性曲線。顯然低頻段幅頻特性可近似表示為：低頻段曲線的斜率低頻段曲線在ω=1時的高度L(1)=20lgK系統開環對數頻率特性曲線系統開環對數頻率特性曲線例:已知開環傳遞函數,試畫出系統開環對數頻率特性曲線。解:已是標準典型環節，共五個基本環節構成

畫出各環節的對數頻率特性曲線，最后各環節曲線相加，即為開環系統的對數頻率特性曲線。

①②③④⑤2040-20-40121020100①121020100②③⑤④系統開環對數頻率特性曲線例:畫系統開環對數頻率特性曲線解:化成標準典型環節

各轉折頻率為：低頻段曲線：20lgK=20lg10=20dB相頻特性曲線：ω1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/decω0-180-90-40dB/dec-2002040dBL(ω))

(ωφ顯然根據對數幅頻特性曲線的低頻段和各轉折頻率即可確定系統的對數頻率特性曲線。實際的作圖過程可簡化為：1)

將開環傳遞函數標準化；在坐標中標出各環節的轉折頻率；過ω=1，L(ω)=20lgK這點，作斜率為

-20υdB/dec的低頻漸近線；每到某一環節的轉折頻率處，根據該環節的特性改變一次漸近線的斜率。5)畫出對數相頻特性的近似曲線。根據系統開環Bode圖求系統開環傳遞函數

實際中可由實驗確定系統的Bode圖。給系統加不同頻率的正弦信號，測量出系統的對數幅頻特性和相頻特性曲線。用標準斜率的直線近似被測對數幅頻特性曲線，得曲線的漸近線。ωω-20020400-180-90-270dB

L(ω))

(ωφ2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec顯然我們可以根據Bo