電路分析基礎第十章互感10.1含有耦合電感電路的計算10.2耦合電感的功率10.3變壓器原理10.4理想變壓器10.5內容提要10.1互感

耦合電感元件屬于多端元件，在實際電路中，如收音機、電視機中的中周線圈、振蕩線圈，整流電源里使用的變壓器等都是耦合電感元件，熟悉這類多端元件的特性，掌握包含這類多端元件的電路問題的分析方法是非常必要的。10.1.1.互感線圈1中通入電流i1時，在線圈1中產生磁通，同時，有部分磁通穿過臨近線圈2，這部分磁通稱為互感磁通。兩線圈間有磁的耦合。21+–u11+–u21i111N1N2定義：磁鏈，

=N10.1互感空心線圈，與i成正比。當只有一個線圈時：

當兩個線圈都有電流時，每一線圈的磁鏈為自磁鏈與互磁鏈的代數和：M值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質有關，與線圈中的電流無關，滿足M12=M21

L

總為正值，M值有正有負。10.1互感10.1.2.耦合系數

用耦合系數k

表示兩個線圈磁耦合的緊密程度。k=1

稱全耦合:漏磁

Fs1=Fs2=0F11=F21，F22=F12滿足：

耦合系數k與線圈的結構、相互幾何位置、空間磁介質有關。10.1互感當i1為時變電流時，磁通也將隨時間變化，從而在線圈兩端產生感應電壓。當i1、u11、u21方向與

符合右手螺旋時，根據電磁感應定律和楞次定律：自感電壓互感電壓10.1.3.耦合電感上的電壓、電流關系

當兩個線圈同時通以電流時，每個線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓。10.1互感在正弦交流電路中，其相量形式的方程為：10.1互感

兩線圈的自磁鏈和互磁鏈相助，互感電壓取正，否則取負。表明互感電壓的正、負：

（1）與電流的參考方向有關；

（2）與線圈的相對位置和繞向有關。10.1互感10.1.4.互感線圈的同名端對自感電壓，當u,i

取關聯參考方向，u、i與符合右螺旋定則，其表達式為：

上式說明，對于自感電壓由于電壓電流為同一線圈上的，只要參考方向確定了，其數學描述便可容易地寫出，可不用考慮線圈繞向。i1u1110.1互感對互感電壓，因產生該電壓的電流在另一線圈上，因此，要確定其符號，就必須知道兩個線圈的繞向。這在電路分析中顯得很不方便。為解決這個問題引入同名端的概念。

當兩個電流分別從兩個線圈的對應端子同時流入或流出，若所產生的磁通相互加強時，則這兩個對應端子稱為兩互感線圈的同名端。同名端：10.1互感**i1i2i3△△線圈的同名端必須兩兩確定。+–u11+–u21110N1N2+–u31N3s10.1互感確定同名端的方法：(1)當兩個線圈中電流同時由同名端流入(或流出)時，兩個電流產生的磁場相互增強。i11'22'**11'22'3'3**(2)當隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起另一線圈相應同名端的電位升高。10.1互感+–V

同名端的實驗測定：i11'22'**電壓表正偏。如圖電路，當閉合開關S時，i增加，

當兩組線圈裝在黑盒里，只引出四個端線組，要確定其同名端，就可以利用上面的結論來加以判斷。RS+-i10.1互感由同名端及u、i參考方向確定互感線圈的特性方程

有了同名端，表示兩個線圈相互作用時，就不需考慮實際繞向，而只畫出同名端及u、i參考方向即可。i1**u21+–Mi1**u21–+M10.1互感例10-1：寫出圖示電路電壓、電流關系式i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M10.1互感21010i1/At/sMR1R2i1**L1L2+_u+_u210.1互感10.2含有耦合電感電路的計算10.2.1.耦合電感的串聯順接串聯iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–反接串聯iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–10.2含有耦合電感電路的計算順接一次，反接一次，就可以測出互感：全耦合時當

L1=L2

時

,

M=L4M

順接0

反接L=互感的測量方法：10.2含有耦合電感電路的計算在正弦激勵下：**jL1jL2jM+–R1+–+–10.2含有耦合電感電路的計算同側并聯i=i1+i2解得u,i的關系：10.2.2.耦合電感的并聯**Mi2i1L1L2ui+–10.2含有耦合電感電路的計算Lequi+–若：L1L2=M2當

L1L2

，Leq=0

(短路)當L1=L2=L

，Leq=L

(相當于導線加粗，電感不變)

異側并聯i=i1+i2解得u,i的關系：等效電感：**Mi2i1L1L2ui+–10.2含有耦合電感電路的計算10.2.3.耦合電感的T型等效同名端為共端的T型去耦等效**jL1123jL2jM312j(L1-M)j(L2-M)jM10.2含有耦合電感電路的計算異名端為共端的T型去耦等效**jL1123jL2jM12j(L1+M)j(L2+M)-jM310.2含有耦合電感電路的計算**Mi2i1L1L2ui+–(L1－M)M(L2－M)i2i1ui+–**Mi2i1L1L2u1+–u2+–(L1－M)M(L2－M)10.2含有耦合電感電路的計算10.2.4.受控源等效電路**Mi2i1L1L2u1+–u2+–jL1jL2+––++–+–10.2含有耦合電感電路的計算Lab=5HLab=6HM=3H6H2H0.5H4Hab9H7H-3H2H0.5HabM=4H6H2H3H5HabM=1H4H3H2H1Hab3H10.2.5.有互感電路的計算在正弦穩態情況下，相量分析方法仍然適用。互感線圈上的電壓除自感電壓外，還應包含互感電壓。一般采用支路法和回路法計算。列10-4：寫電路的回路電流方程。MuS+C－L1L2R1R2**+－ki1i110.2含有耦合電感電路的計算213MuS+C－L1L2R1R2**+－ki1i110.2含有耦合電感電路的計算例10-5：求圖示電路的開路電壓。M12+_+_**M23M31L1L2L3R110.2含有耦合電感電路的計算解1：作出去耦等效電路，(一對一對消):解2M12**M23M31L1L2L3**M23M31L1–M12L2–M12L3+M12M31L1–M12+M23L2–M12–M23L3+M12–M23L1–M12+M23–M13L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M1310.2含有耦合電感電路的計算L1–M12+M23–M13L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M13+_+_R110.2含有耦合電感電路的計算例10-6：要使i=0，問電源的角頻率為多少？ZRC－L1L2MiuS+L1L2C

R

+–

MZ**L1－M

L2－MMC

R

+–

Z10.2含有耦合電感電路的計算例10-7：圖示互感電路已處于穩態，t=0時開關打開，求t>0+時開路電壓u2(t)。**0.2H0.4HM=0.1H+–1040Vu2+－10510副邊開路，對原邊回路無影響，開路電壓u2(t)中只有互感電壓。先應用三要素法求電流i(t).i10.2含有耦合電感電路的計算**0.2H0.4HM=0.1H10u2+－1010.2含有耦合電感電路的計算10.3耦合電感的功率

當耦合電感中的施感電流變化時，將出現變化的磁場，從而產生電場（互感電壓），耦合電感通過變化的電磁場進行電磁能的轉換和傳輸，電磁能從耦合電感一邊傳輸到另一邊。**jL1jL2jM+–R1R2例10-8：求圖示電路的復功率**jL1jL2jM+–R1R210.3耦合電感的功率線圈1中互感電壓耦合的復功率線圈2中互感電壓耦合的復功率兩個互感電壓耦合的復功率為虛部同號，而實部異號，這一特點是耦合電感本身的電磁特性所決定的；耦合功率中的有功功率相互異號，表明有功功率從一個端口進入，必從另一端口輸出，這是互感M非耗能特性的體現。10.3耦合電感的功率耦合功率中的無功功率同號，表明兩個互感電壓耦合功率中的無功功率對兩個耦合線圈的影響、性質是相同的，即，當M起同向耦合作用時，它的儲能特性與電感相同，將使耦合電感中的磁能增加；當M起反向耦合作用時，它的儲能特性與電容相同，將使耦合電感的儲能減少。10.4變壓器原理

變壓器由兩個具有互感的線圈構成，一個線圈接向電源，另一線圈接向負載，變壓器是利用互感來實現從一個電路向另一個電路傳輸能量或信號的器件。當變壓器線圈的芯子為非鐵磁材料時，稱空心變壓器。10.4.1.變壓器電路（工作在線性段）**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX10.4.2.分析方法方程法分析令

Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)回路方程：**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX10.4變壓器原理等效電路法分析+–Z11+–Z22根據以上表示式得等效電路。10.4變壓器原理副邊對原邊的引入阻抗。引入電阻。恒為正,表示副邊回路吸收的功率是靠原邊供給的。引入電抗。負號反映了引入電抗與付邊電抗的性質相反。+–Z1110.4變壓器原理引入阻抗反映了副邊回路對原邊回路的影響。原副邊雖然沒有電的聯接，但互感的作用使副邊產生電流，這個電流又影響原邊電流電壓。能量分析電源發出有功

P=I12(R1+Rl)其中，I12R1

消耗在原邊；I12Rl

消耗在副邊證明：10.4變壓器原理原邊對副邊的引入阻抗。利用戴維寧定理可以求得變壓器副邊的等效電路。副邊開路時，原邊電流在副邊產生的互感電壓。+–Z22去耦等效法分析

對含互感的電路進行去耦等效，再進行分析。10.4變壓器原理例10-8：已知US=20V,原邊引入阻抗Zl=10–j10.求:ZX

并求負載獲得的有功功率.負載獲得功率：實際是最佳匹配：**j10j10j2+–10ZX10+j10Zl+–10.4變壓器原理

L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,

R2=0.08W,

RL=42W,ω

=314rad/s,應用原邊等效電路例10-9：解1**jL1jL2jM+–R1R2RL+–Z1110.4變壓器原理+–Z1110.4變壓器原理應用副邊等效電路解2+–Z2210.4變壓器原理例10-10：全耦合電路如圖，求初級端ab的等效阻抗。解1解2畫出去耦等效電路**L1aM+–bL2L1－M

L2－M+–

Mab10.4變壓器原理問：R2=？能吸收最大功率,求最大功率。解1jL1jL2jMR1R2**+–1/jC21/jC1例10-11：L1=L2=0.1mH,M=0.02mH，ω=106rad/s,R1=10W,

C1=C2=0.01F

，10.4變壓器原理應用原邊等效電路當R2=40時吸收最大功率10+–10.4變壓器原理解2應用副邊等效電路當時吸收最大功率R2+–10.4變壓器原理例10-13**問Z為何值時其上獲得最大功率，求出最大功率。判定互感線圈的同名端＋－uS(t)Z100CL1L2MjL1R

+–

MZ**jL21/jC

10.4變壓器原理作去耦等效電路+–

Zj100－j20j20100j(L-20)jL1R

+–

MZ**jL21/jC

+–

Zj100100j(L-20)10.4變壓器原理＋－uoc+–

j100100j(L-20)j100100j(L-20)Zeq10.4變壓器原理10.5理想變壓器10.5.1.理想變壓器的三個理想化條件

理想變壓器是實際變壓器的理想化模型，是對互感元件的理想科學抽象，是極限情況下的耦合電感。全耦合無損耗線圈導線無電阻，做芯子的鐵磁材料的磁導率無限大。參數無限大以上三個條件在工程實際中不可能滿足，但在一些實際工程概算中，在誤差允許的范圍內，把實際變壓器當理想變壓器對待，可使計算過程簡化。10.5.2.理想變壓器的主要性能i11'22'N1N2變壓關系理想變壓器模型**n:1+_u1+_u210.5理想變壓器**+_u1+_u2i1L1L2i2M理想變壓器模型**n:1+_u1+_u2i1i2變流關系考慮理想化條件：010.5理想變壓器若i1、i2一個從同名端流入，一個從同名端流出，則有：**n:1+_u1+_u2i1i2變阻抗關系

理