第十章相似性原理和因次分析

概述

1.模型試驗的意義：1.流體運動具有復雜性，有些問題的機理尚不清楚，需探討。2.對于工程，有一定的理論及設計經驗，對于大型、重要工程，也需用模型試驗驗證。2.簡史年

第一個河流水力學實驗室建成（H.Engels

恩格斯)1901年雷白克（T.Rehbock)建成河流水力學實驗室。1904年普蘭特在哥廷根大學建立流體力學實驗室。---------之后相繼建成水力學、流體機械實驗室，水力模擬被公認為是解決工程問題的標準方法。(風洞）1946年北洋大學與華北局建成水力學實驗室（第一水工所）1953年第一水工所解體，一部分去北京建立水科院，而后建南京水科院（南試處）一部分留天津大學（水利館）現在：科研機構眾多（各省市、大設計院、大學）,都建有水工試驗廳（室）。模型試驗的理論與方法是工程師必備知識！研究、解決、發現、發明

概述

本章簡單闡述和實驗有關的一些理論性的基本知識。其中，包括作為模型實驗理論根據的相似性原理，闡述原型和模型相互關系的模型律，以及有助于選擇實驗參數的因次分析法。相似的概念：如果兩個同一類的物理現象，在對應的時空點，各標量物理量的大小成比例，各物理量除大小成比例外，且方向相同，則稱兩個現象是相似的。流體流動相似條件：流動幾何相似，運動相似，動力相似，以及流動的邊界條件和起始條件相似。

一、幾何相似幾何相似：指流動空間幾何相似。即形成此空間任意相應兩線段夾角相同，任意相應線段長度保持一定的比例。第一節力學相似性原理相應線段夾角相同：例如：相應的線性長度保持一定的比例：這個比例常數為長度比例常數幾何相似，是力學相似的前提。

二、運動相似運動相似：兩流動運動相似，相應點的流速大小成比例，方向相同。v為速度比例常數由于t=l/v，所以時間比例常數t，加速度比例常數是速度比例常數除以時間比例常數：只要速度相似，加速度也必然相似。反之亦然。由于流速場的研究是流體力學的首要任務，運動相似通常是模型實驗的目的。系統1：系統2：三、動力相似流動的動力相似：要求同名力作用，相應的同名力成比例。同名力：同一物理性質的力。例如：重力、粘性力、壓力、慣性力、彈性力。同名力作用：指原型流動中，如果作用著粘性力、壓力、重力、慣性力、彈件力，則模型流動中也同樣的作用著粘性力、壓力、重力、慣性力牌性力。相應的同名力成比例：指原型流動和模型流動的同名力成比例。式中：ν、P、G、I、E表示粘性力、壓力、重力、慣性力、彈性力。含義：兩個相似流動，在對應點上，不同的同名力的比例相等；同一同名力在任一組對應點上的比例相等，且比例常數與前者的比例常數相等。動力相似在力學相似中起著什么作用呢？兩慣性力相似是其他合力作用相似的結果動力相似是運動相似的保證。總結：幾何相似是力學相似的前提，運動相似是模型實驗的目的，動力相似是運動相似的保證。第二節相似準數取兩個相似質點原型n和模型m，質點是邊長為ln、lm的立方體。研究兩質點受力：粘性力、壓力、重力、慣性力一、由動力相似的定義推導相似準則

思路：設想在兩相似水流中．則動力相似：（1）作用于此兩立方體的慣性力為：作用于此兩立方體的壓力為：將以上兩力帶入（1）中的Eu稱為歐拉數：表示壓差與慣性力之比，則：同理：Fr稱為弗諾得數：表示慣性力與重力之比Re為雷諾數：表示慣性力與粘性力之比二、由運動微分方程式推導相似準數：P274三、相似三定理相似第一定理：彼此相似的現象，其單值條件相似，對應部位上同名相似準數必定相等．即相同名稱的相似準數分別相等。單值性條件：指把某一現象從無數個同類現象中區分開來的條件，其包括幾何條件（形狀與大小），邊界條件（進口與出口的速度分布，壁面上流速大小等）和初始條件（初始的速度分布特點）。相似第三定理：各現象的單值性條件相似，且對應部位上同名的相似準數相等，則這些現象相似。(相似第一定理的逆定理）相似第二定理：描寫現象的方程式可以改用相似準數的單值函數關系表示。或由定性物理量組成的相似準數，相互間存在著函數關系。被決定的準數（非定性準數）例如：準則數1=（準則數1，準則數2，準則數3············）決定性準數（定性準數）作業：P289思考題10-1第三節模型律10.3.1模型律的確定1.滿足粘滯力相似（雷諾模型律）同一介質,,,模型流速放大…..。雷諾數相等，表示黏性力相似，原型和模型流動雷諾數相等這個相似條件，稱為雷諾模型律。第三節模型律10.3.1模型律的確定2.滿足重力相似（弗勞德準數）

弗諾得數相等，表示重力相似，原型和模型流動弗諾得數相等這個相似條件，稱為弗諾得模型律。3.同時滿足重力、粘滯力相似（同一介質）

只有（原型），失去模型意義。用不同介質做實驗，滿足弗勞德準則（原型與模型弗勞德數相等）滿足雷諾準則（原型與模型雷諾數相等）

結論：模型律不能同時滿足所有準則。怎么辦？抓主要矛盾。如重力流?船舶航行？在模型設計時，應抓住對流動起決定性作用的力，保持原型和模型的該力相應的準則數相等。這種只滿足主要相似準則數相等的相似稱為局部（或部分）相似。在幾何相似的前提下，所有的相似準數都相同的相似稱為完全相似。我們僅把考慮某一種外力的運動相似條件稱為相似準則或特種模型定律。水在管中受兩端水頭差的作用而流動：水的平均流速只受斷面大小及其沿程變化的制約；斷面流速分布和沿程水頭損失與管道本身是否傾斜及傾斜大小無關，重力不起作用，影響流速分布的因素是黏性力，因此采用雷諾模型律。自動模型區：當某一相似準數在一定的數值范圍內，流動的相似性和該準則數無關，也就是即使原型和模型的該準則數值不相等，流動仍然保持相似，準則數的這一范圍就稱為自動模型區。管壁絕對粗糙度K也應保持同樣的長度比例常數：常見流動的模型律：原型相對粗糙度和模型相對粗糙度相等。（氣體）淹沒出流，空氣與射流氣體溫度相同，不考慮重力與浮力，流速大不考慮粘性，實質是壓力為主，所以——歐拉準則

無限空間紊流射流1.等溫射流，流速大時，不受模型律的限制。2.非等溫射流，要考慮重力與浮力，有效重力為重力與浮力之差，即密度之差，

氣體狀態方程弗勞德數阿基米德數例題10-1某車間長30m，寬15m，高10m，用直徑為0.6m的風口送風。風口風速為8m/s。如長度比例常數取為5，確定模型的尺寸及出口風速。解：（1）模型尺寸由于λl=5，模型長為6m，模型寬為3m，模型高為2m，風口直徑為0.12m。（2）模型出口風速原型雷諾數，用空氣黏度ν=0.0000157m2/s氣流處于阻力平方區（自動模型區），阻力平方區的最低雷諾數為50000，與此相應的模型氣流出口流速υm為：流速比例尺：（3）假定在模型空間內所測得的流速為4m/s，則原型相應點的流速為：6.4模型設計10.3.2實驗場地和模型制作①確定長度比尺。②根據模型率確定流速比尺。按相似準則確定流量比尺，校核實驗室的供水能力。④按模型率選擇模型材料，盡量滿足糙率相似。雷諾準則弗勞德準則流速比尺流量比尺時間比尺力的比尺同一介質情況下

10.3.3

模型設計應注意的問題

1.自動模型區（自模區）雷諾數要足夠大

2.縮尺影響

3.超音速與亞音速氣流，在性質上有明顯差異。

4.高速挾氣水流與低速水流，在性質上有明顯差異。

5.表面張力限制條件：we數達到一定值，克服表面張力；水深〉5cm。

6.試驗研究液體攪拌想象，粘滯力起主要作用，在實際工程中，流速大，尺度也大，出現的凹渦，重力作用就不可忽視。

例如：大多數流體流動：Eu=（Fr,Re）

一、因次分析的概念和原理因次（量綱）：物理量的性質和類別。例如：長度---[L]

質量---[M]與單位區別：單位除表示物理量的性質外，還包含著物理量的大小．基本因次：質量[m]=M長度[l]=L．時間[t]=T溫度[T]＝Θ因次分析法：就是通過對現象中物理量的因次以及因次之間相互聯系的各種性質的分析來研究現象相似性的方法。它是以方程式的因次和諧性為基礎的。第四節因次分析法完整的物理方程式中各項的因次應相同的性質。例如：壓強P單位：N/m2,

因次：MLT-2/L2=ML-1T-2

γh單位:N/m3·m,因次:MLT-2/L3·L=ML-1T-2常用物理量因次：P281

表10-1二、因次分析法因次分析π定理：當某現象由n個物理量所描述（根本不能組成無因次綜合量的物理量不計在內），而這些物理量中有m個基本因次，則可得到n—m個獨立的無因次綜合量，即相似準數書上[例10-3]有壓管流中的壓強損失。分析思路：描述該現象的物理量有：壓強損失ΔP、管長l，管徑d，管壁粗糙度K、黏度ν、密度ρ、平均流速v-----（共7個物理量）在這7個物理量中，基本因次數為3個，因而可得到4個無因次綜合量，即4個相似準則數。選擇3個基本因次量作