應用隨機過程講義一第一頁，共八十二頁，2022年，8月28日學習要求不僅是掌握知識，更重要的是掌握思想學會把抽象的概率和實際模型結合起來第二頁，共八十二頁，2022年，8月28日學習重點用隨機變量表示事件及其分解——基本理論全概率公式——基本技巧數學期望和條件數學期望——基本概念第三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第一講

第四頁，共八十二頁，2022年，8月28日隨機事件與概率

隨機試驗第五頁，共八十二頁，2022年，8月28日要點：在相同條件下，試驗可重復進行；試驗的一切結果是預先可以明確的，但每次試驗前無法預先斷言究竟會出現哪個結果。第六頁，共八十二頁，2022年，8月28日樣本點

對于隨機試驗E，以ω表示它的一個可能出現的試驗結果，稱ω為E的一個樣本點。

樣本空間

樣本點的全體稱為樣本空間，用Ω表示。Ω＝{ω}第七頁，共八十二頁，2022年，8月28日隨機事件粗略地說，樣本空間Ω的子集就是隨機事件，用大寫英文字母A、B、C等來表示。

事件的關系與運算

第八頁，共八十二頁，2022年，8月28日第九頁，共八十二頁，2022年，8月28日第十頁，共八十二頁，2022年，8月28日示性函數是最簡單的隨機變量用隨機變量來表示事件第十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日用示性函數的關系及運算來表示相關事件的關系及運算第十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日公理化定義集類第十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日概率第十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日第十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日第十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日概率是滿足非負性；歸一性；可列可加性；的集函數。可測集粗略地說，可以定義長度（面積、體積）的點集即為可測集；反之稱為不可測集。第十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日概率的性質1.

2.3.有限可加性

第十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日4.

5.6.

第二十頁，共八十二頁，2022年，8月28日7.8.可列次可加性9.概率連續性第二十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日這部分的詳細討論可以參見

《隨機數學引論》

林元烈，清華大學出版社第二十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日Buffon試驗：最早用隨機試驗的方法求某個未知的數。測度：滿足非負性、可列可加性的集函數。第二十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第二十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日實際上，設集類以上集類和A生成相同的σ-代數,都是上面提到的一維Borelσ-代數，即第二十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日直觀地說，中包含一切開區間，閉區間，半開半閉區間，半閉半開區間，單個實數，以及由它們經可列次并交運算而得出的集類。第二十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日第二十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日

第二十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日第二十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日第三十頁，共八十二頁，2022年，8月28日事件的獨立性第三十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日

幾個事件的獨立性第三十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日第三十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第三十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日第三十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日比較甲乙兩人的結果，從以上結果可以得到什么結論？第三十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日機遇偏愛有心人！第三十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日

一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件；但重復次數足夠多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！

第三十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日只要功夫深，鐵杵磨成針！第三十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日隨機變量定義解釋第四十頁，共八十二頁，2022年，8月28日離散型隨機變量的示性函數表示法

這說明對于任一.，總可以分解為互不交的事件的示性函數的迭加。第四十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日隨機變量等價定義分布函數第四十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日連續型隨機變量的概率密度函數微元法求概率密度函數第四十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日二維隨機變量的分布函數二維Borel-σ代數由平面上矩形的全體生成的σ－代數第四十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日聯合密度函數亦可用微元法求第四十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日常用隨機變量的分布（列出,期望方差）兩點分布正態分布二項分布指數分布Poisson分布均勻分布幾何分布二維正態分布第四十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日兩點分布若只取1和0兩個值，且則稱服從參數為p的兩點分布。簡記為：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)第四十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p2第四十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12第四十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ2第五十頁，共八十二頁，2022年，8月28日二維正態分布的優良性質

X,Y相互獨立X,Y不相關第五十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日隨機變量的數字特征及條件數學期望第五十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日數學期望（復習）

“加權平均”為了引出一般隨機變量的定義，我們先介紹R-S積分的概念。第五十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日黎曼－斯蒂爾吉斯積分第五十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日任分任取求和取極限第五十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日第五十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日在定義了R-S積分之后，我們可以將所有隨機變量的數學期望形式進行統一。第五十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日第五十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日數學期望的性質（E|Xi|<∞）第五十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日

交換求和順序第六十頁，共八十二頁，2022年，8月28日同理，對連續型隨機變量有相似的結論成立第六十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日Chebyshev不等式第六十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日

條件數學期望第六十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十八頁，共八十二頁，2022年，8月28日第六十九頁，共八十二頁，2022年，8月28日用示性函數的線性組合表示離散型隨機變量（見前面“隨機變量”部分）第七十頁，共八十二頁，2022年，8月28日例：將概率運算納入求期望運算的范疇第七十一頁，共八十二頁，2022年，8月28日理解E(X|Y)是ω的函數，也是Y(ω)的函數，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相應的值；當Y是離散型隨機變量時，E(X|Y)也是離散型隨機變量。第七十二頁，共八十二頁，2022年，8月28日第七十三頁，共八十二頁，2022年，8月28日推廣至一般隨機變量第七十四頁，共八十二頁，2022年，8月28日將x替換成X第七十五頁，共八十二頁，2022年，8月28日求條件數學期望的一般步驟先寫出固定條件(如Y=yj)的情況下X的條件分布律或條件密度函數；根據條件數學期望的定義，通過求和或積分得到條件下的數學期望；將條件(Y=yj)替換成一般情況下的隨機變量(Y)第七十六頁，共八十二頁，2022年，8月28日條件數學期望的性質設E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，則(重要!)全期望公式第七十七頁，共八十二頁，2022年，8月28日第七十八頁，共八十