2022-2023學年上海市長寧區高一上學期期末數學試題一、填空題1．用符號“”“”或“”填空：_____________．【答案】【分析】由集合間的關系即可求.【詳解】a為集合的其中一個元素，故.故答案為：.2．已知方程的兩根為，則____________．【答案】【分析】結合韋達定理求解即可.【詳解】故答案為：3．若，則_____【答案】；【解析】根據對數運算與指數運算的關系可直接求得結果.【詳解】，.故答案為：.4．已知，用表示____________．【答案】【分析】根據對數的運算法則求解即可.【詳解】，故答案為:.5．若關于的不等式的解集是，則實數的取值范圍是____________．【答案】【分析】由題意，轉化為在上恒成立，利用判別式求解.【詳解】因為不等式的解集是，在上恒成立，，即．故答案為:.6．已知直角三角形的斜邊長為，則該直角三角形面積的最大值是____________．【答案】100【分析】設兩直角邊為，則，進而根據基本不等式求解即可.【詳解】解：設兩直角邊為，∵直角三角形的斜邊長為∴，，，即．故答案為：7．已知冪函數在區間是嚴格減函數，且圖像關于軸對稱，寫出一個滿足條件的____________．【答案】（答案不唯一）【分析】根據題意且為偶數即可.【詳解】解：冪函數在區間上是嚴格減函數，，又圖像關于y軸對稱，可以為偶數，故滿足條件a的值可以為．故答案為：-28．指數函數在上最大值與最小值之差為6，則__________.【答案】3【分析】分為和兩種情況，結合函數的增減性求解即可【詳解】當時，函數為減函數，，，則，方程無解；當時，函數為增函數，，，則，解得，舍去故答案為3【點睛】本題考查指數函數根據函數最值在給定區間求解參數問題，屬于基礎題9．已知函數在區間上是嚴格增函數，則實數的范圍是____________．【答案】【分析】先求解的根，判斷兩根的大小以及嚴格遞增區間，再判斷m的范圍.【詳解】令，解得或，∴當時，在上是嚴格增函數；若時，函數在上單調遞增，又函數在區間上是單調遞增，故；若時，函數在上單調遞增，則函數在區間上是單調遞增恒成立，綜上m的范圍是．故答案為：10．關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是____________．【答案】【分析】由絕對值三角不等式得，進而結合題意得.【詳解】解：由絕對值三角不等式得：，當且僅當時等號成立，即時等號成立，關于x的不等式的解集為，，即實數a的取值范圍是．故答案為：11．已知函數是定義在實數集上的偶函數，當時，的圖像如圖所示，則關于的不等式的解集為____________．【答案】【分析】由偶函數的定義作出在上的圖像，根據圖像討論即可.【詳解】因為函數是上的偶函數，圖像關于軸對稱，所以在上的圖像如圖所示：的定義域為，由圖像可知在上，，，所以，在上，，，所以，在上，，，所以，在上，，，，綜上不等式的解集為，故答案為：12．設，若存在唯一的使得關于的不等式組有解，則的范圍是____________．【答案】【分析】將不等式拆解后分別計算，得到，結合且m是存在且唯一及其范圍得到不等式，求解即可.【詳解】解：，，，，，，且且m是存在且唯一，，故答案為：二、單選題13．如圖，點、分別為的邊、上的兩點，若，則是的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】若，根據平行線分線段成比例定理可推出，而反向通過作圖不一定成立.【詳解】由平行線分線段成比例定理得，當，；當時，不一定成立，如圖所示：則是的充分非必要條件．故選：A．14．用反證法證明命題:“若，則或”時，應假設（

）A．或 B．若或，則C．且 D．若且，則【答案】C【分析】取命題的反面即可.【詳解】用反證法證明命題，應先假設它的反面成立，即且，故選:C．15．如果，那么下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】取特殊值得到反例即可證明不成立.【詳解】，，故A正確；，故B正確；，故C正確；取，但，故時，不成立，故D錯誤；故選：D．16．已知函數，下列命題中:①若函數在區間上是單調函數，則函數在區間上是嚴格增（減）函數;②若函數在區間上單調函數，則是函數在在區間上的最大（或最小）值；③若函數的圖像是一段連續曲線，如果，則函數在上沒有零點；真命題的個數為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】①③可舉出反例；②可分函數在上單調遞增和單調遞減兩種情況，推理出是在上的最大值或最小值.【詳解】若，則在R上是單調的，但不是嚴格單調增的，故①為假命題；若函數在上單調遞增，有，若函數在上單調遞減，有，，故是在上的最大值或最小值，故②為真命題；若，，但，在上有零點，故③為假命題.故選：B．三、解答題17．已知集合，集合，且集合，求實數、的值以及．【答案】【分析】根據交集的定義和一元二次方程的根求解.【詳解】將兩個方程中都代入，得：，解得：或3，或3，所以.18．解下列不等式:(1);(2)．【答案】(1)；(2)或【分析】(1)將分式不等式轉化為一元二次不等式求解；(2)根據絕對值的幾何意義解不等式.【詳解】（1），所以不等式的解為.（2），或，或,所以不等式的解為或.19．科學家用死亡生物的體內殘余碳成分束推斷它的存在年齡．生物在生存的時候，由于需要呼吸，其體內的碳含量大致不變．生物死去后會停止呼吸，此時體內原有的碳含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），且大約每經過年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”，設某一剛死亡生物體內碳含量為．(1)按上述變化規律，此死亡生物體內碳含量與死亡年數之間有怎樣的關系?(2)當死亡生物體內碳的含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到碳了，請問該生物死亡年后，用一般的放射性探測器能測到它體內的碳嗎?【答案】(1)(2)能測到【分析】（1）根據半衰期的定義可直接得到函數關系式；（2）將代入函數關系式中可求得碳的含量大于死亡前的千分之一，由此可得結論.【詳解】（1）體內原有的碳，每經過年衰減為原來的一半，年后體內的碳應為原來的，.（2）由（1）得：該生物死亡年后，體內的碳的含量為，碳的含量大于死亡前的千分之一，用一般的放射性探測器能測到它體內的碳．20．設．(1)判斷函數的奇偶性，并說明理由;(2)判斷函數在其定義域上的單調性，并說明理山;(3)若，求的取值范圍．【答案】(1)奇函數(2)單調遞增，證明見解析(3)【分析】（1）根據奇函數的定義判斷即可；（2）根據在上單調遞增判斷單調性，并結合函數的單調性的定義證明；（3）根據函數單調性與奇偶性解不等式即可.【詳解】（1）解：，由，得，，為奇函數（2）解：∵，函數在上單調遞增，∴可以判斷在其定義域上單調遞增，證明如下：令，∵，∴，，∴，∴，∴在上為單調遞增函數（3）解：∵為奇函數∴，∵在上為單調遞增函數，∴，解得∴的取值范圍為．21．若兩個函數和對任意都有，則稱函數和在上是“密切”的．(1)已知命題“函數和在上是“密切”的”，判斷該命題的真假．若該命題為真命題，請給予證明;若為假命題，請說明理由;(2)若函數和在上是“密切”的，求實數的取值范圍；(3)已知常數，若函數與在上是“密切”的，求實數的取值范圍．【答案】(1)假命題，理由見解析；(2)(3)【分析】（1）由題意可知，由一元二次函數的圖像結合函數“密切”的定義判斷即可；（2）由解出的取值范圍，根據集合間的關系求解即可；（3）由函數“密切”的定義結合對勾函數的單調性求解即可.【詳解