2022-2023學年上海市青浦高級中學高一上學期期末數學試題一、填空題1．函數的定義域為__________.【答案】【分析】解不等式即可得出函數的定義域.【詳解】對于函數，有，解得.因此，函數的定義域為.故答案為：.2．設，寫出“”的一個充分條件：______．【答案】（答案不唯一）．【分析】根據充分條件的定義求解．【詳解】只要是集合的子集即可，如．故答案為：（答案不唯一）．3．已知a、，用反證法證明命題：“若，則a、b全為零”時的假設是______．【答案】“若，a不為零或b不為零”.【解析】由反證法思路，條件成立時否定原結論，然后證明與條件矛盾的結果，說明原結論成立，即可知命題的假設.【詳解】命題“若，則a、b全為零”，應用反證法時，假設的命題為“若，則a不為零或b不為零”，故答案為：a不為零或b不為零.【點睛】本題考查了反證法的思路，條件不變否定結論，屬于簡單題.4．集合，，且，則的值是__．【答案】0或1或【分析】解一元二次方程，可得集合，再由且得到，最后分析集合的元素，可得的值是或或．【詳解】

①當時，，滿足題意；②當時，

或，解得：或綜上所述：的值為或或故答案為：或或【點睛】本題考查了集合包含關系的判斷及應用，屬于基礎題；在解決一個集合是另一個集合子集的問題時，應注意不能忽略空集這一特殊情況而致錯．5．已知且，函數的圖像恒經過一個定點，此定點的坐標為______．【答案】【分析】根據指數函數的圖象與性質求解.【詳解】令得，此時，所以圖象過定點．故答案為：．6．已知，則______（用m表示）．【答案】【分析】由對數的換底公式及運算法則求解．【詳解】由題意．故答案為：．7．已知函數的圖像關于點中心對稱，則點的坐標是__________．【答案】；【分析】由題意，對函數進行簡化，可得，即可求得點的坐標.【詳解】，函數的圖像關于點中心對稱，點的坐標是.故答案為：【點睛】本題主要考查函數的中心對稱點，對于分式形式可采用分離參數法求解，屬于基礎題.8．已知是定義在上的奇函數，當時，，則當時，__________．【答案】；【分析】首先，根據當時，，令，則，然后結合函數為奇函數，求解相對應的解析式.【詳解】令，則，，函數是定義在上的奇函數，，，故答案為：【點睛】本題主要考查利用函數的奇偶性求解析式，需掌握函數奇偶性的定義，屬于基礎題.9．在不考慮空氣阻力的情況下火箭的最大速度v（單位：m/s）和燃料的質量M（單位：kg），火箭（除燃料外）的質量m（單位：kg）滿足（e為自然對數的底）．當燃料質量M為火箭（除燃料外）質量m的______倍時，火箭的最大速度可以達到8000m/s（結果精確到0.1）．【答案】53.6【分析】由已知函數式解方程可得．【詳解】由得，，，，故答案為：53.6.10．方程的解集是______．【答案】##.【分析】利用零點分區間法去絕對值符號，分段解方程.【詳解】當時，原方程化為：，即，故此時；當時，原方程化為：，即，故此時.當時，原方程化為：，即，當時，原方程化為：，即，舍去.綜上所述：方程的解集為：.故答案為：.11．已知函數的值域是，則實數m的取值范圍是______．【答案】．【分析】分別求出和時的取值范圍，然后由值域可得集合的關系，從而得參數范圍．【詳解】時，且，即，因此時，的取值范圍應包含，又時，，所以．故答案為：．12．設，若存在唯一的m使得關于x的不等式組有解，則a的取值范圍是______.【答案】【分析】根據給定條件，確定m的最小值，再由函數不等式有解得當時不等式組有解，當時不等式組無解，求出a的范圍作答.【詳解】依題意，，由不等式有解知，，而，因此，因存在唯一的m使得關于x的不等式組有解，則當且僅當時，不等式組有解，且當時不等式組無解，由有解得有解，于是得，解得，由無解得無解，于是得，解得，因此，所以a的取值范圍是.故答案為：【點睛】結論點睛：函數的定義區間為，若，使得成立，則；若，使得成立，則.二、單選題13．下列函數中，既是偶函數，又是在區間上單調遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷函數為奇函數，從而判斷A錯誤，根據指數函數和二次函數的單調性即可判斷B、D選項的函數在區間上單調遞增，從而判斷B、D都錯誤，而根據偶函數定義、減函數定義，以及對數函數單調性即可判斷選項C正確.【詳解】對于A，為奇函數，該選項錯誤；對于B，時，單調遞增，該選項錯誤；對于C，為偶函數，當時，單調遞減，該選項正確；對于D，在區間上單調遞增，該選項錯誤；故選：C【點睛】本題考查了函數的奇偶性和單調性，需掌握常見函數的性質，屬于基礎題.14．，且使代數式有意義，則下列代數式中最小值為2的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據基本不等式判斷．【詳解】選項A中，時，，不合題意；選項B中，，當且僅當時等號成立，滿足題意；選項C中，，當且僅當時等號成立，不滿足題意；選項D中，，當且僅當時等號成立，但此方程無實解，不合題意．故選：B．15．設函數則其零點所在的區間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別計算，，，，，根據零點存在定理結合函數的單調性，得到答案.【詳解】函數，所以，，，，，又，因為函數在上為單調遞增，函數在上單調遞減，所以函數在上單調遞增，結合零點存在定理，可知的零點所在區間為.故選：B.16．函數是定義域為的奇函數，且對于任意的，都有成立.如果，則實數的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得在定義域上單調遞減，由，則等價于，根據函數的單調性即可得解；【詳解】解：因為對于任意的，都有，當時，即，當時，即，即在定義域上單調遞減，又是定義域為的奇函數，所以，所以，則，即，即，所以，即不等式的解集為；故選：C三、解答題17．設關于x的不等式的解集為M，不等式的解集為N．求集合．【答案】【分析】解指數不等式得集合，解分式不等式得集合，然后由交集定義計算．【詳解】，，，，∴．18．已知冪函數，寫出函數定義域，奇偶性，單調區間，值域，零點，并做出大致圖像．【答案】答案見解析．【分析】描點法作出函數圖象，根據圖象得出函數的性質．【詳解】列表：01232.081.591011.592.08描點，用光滑曲線連接各點，得函數圖象，如圖，函數定義域是R，函數為偶函數（因為圖象關于軸對稱），增區間是，減區間是，值域是，零點是．19．設函數，a為常數．(1)若為偶函數，求a的值；(2)設，，為嚴格減函數，先將表達式化簡（去掉絕對值），再利用函數單調性的定義求實數a的取值范圍．【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）由偶函數的定義求解；（2）根據絕對值的定義去掉絕對值符號，由嚴格減函數的定義求參數范圍．【詳解】（1）由題意，即，，平方得恒成立，所以；（2）時，，時，，即，時，為嚴格減函數，設，恒成立，∵，∴，即，又，則，所以，而，故解得．∴的范圍是．20．環保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇．某型號的電動汽車在國道上進行測試，國道限速80km/h．經多次測試得到該汽車每小時耗電量M（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的數據如下表所示：v0104060M0132544007200為了描述國道上該汽車每小時耗電量M與速度v的關系，現有以下三種函數模型供選擇：①；②；③．(1)當時，請選出你認為最符合表格中所列數據的函數模型（需說明理由），并求出相應的函數解析式；(2)現有一輛同型號電動汽車從A地行駛到B地，其中高速上行駛200km，國道上行駛30km，若高速路上該汽車每小時耗電量N（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的關系滿足，則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？【答案】(1)符合，(2)當高速路上速度為80km/h，國道上速度為40km/h時，總耗電量最少，為33500Wh【分析】（1）根據函數的單調性排除②，根據定義域排除③即可；（2）根據題意可得高速路上的耗電量，再分析的單調性求得告訴上的耗電量，再根據（1）中求得的，可得國道上的耗電量，根據二次函數的最值分析最小值即可【詳解】（1）因為函數是定義域上的減函數，又無意義，所以函數與不可能是符合表格中所列數據的函數模型，故是可能符合表格中所列數據的函數模型.由，得：，所以（2）由題意，高速路上的耗電量任取，當時，所以函數在區間上是增函數，所以Wh

國道上的耗電量所以Wh

所以當高速路上速度為80km/h，國道上速度為40km/h時，總耗電量最少，為33500Wh21．已知函數．(1)求函數的值域；(2)若不等式在時恒成立，求實數k的最大值；(3)設（，，），若函數的值域為，求實數t的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）化簡函數得，由，可求出，從而可求得函數的值域，（2）等式在時恒成立，轉化為在時恒成立，令，可得在上單調遞減，從而可求出其最小值，進而可求得實數k的最大值，（3）由題意得，從而可得是方程的兩個