2022-2023學年北京市順義區高二上學期期末質量監測數學試題一、單選題1．下列直線中，斜率為1的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由斜率的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，直線的斜率為；對于B，直線的傾斜角為，斜率不存在；對于C，直線的斜率為；對于D，直線的斜率為.故選：C.2．已知甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶概率為0.8，乙中靶概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立．若甲、乙各射擊一次，則兩人都中靶的概率為（

）A．0.56 B．0.14 C．0.24 D．0.94【答案】A【分析】根據相互獨立事件的乘法公式求解即可.【詳解】因為甲中靶概率為0.8，乙中靶概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立，所以甲、乙各射擊一次，則兩人都中靶的概率為.故選:A.3．若直線與直線的交點為，則實數a的值為（

）A．-1 B． C．1 D．2【答案】A【分析】由題意可列方程，解方程即可得出答案.【詳解】直線與直線的交點為，所以.故選：A.4．已知圓C：，則圓C的圓心和半徑為（

）A．圓心，半徑 B．圓心，半徑C．圓心，半徑 D．圓心，半徑【答案】A【分析】將圓的方程化為標準方程，從而可得圓心與半徑.【詳解】由化為標準方程可得，故圓心，半徑.故選:A.5．農科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況，從種植有甲、乙兩種麥苗的兩塊試驗田中各抽取6株麥苗測量株高，得到的數據如下（單位：）：甲：9，10，10，11，12，20；乙：8，10，12，13，14，21．根據上述數據，下面四個結論中，正確的結論是（

）A．甲種麥苗樣本株高的極差大于乙種麥苗樣本株高的極差B．甲種麥苗樣本株高的平均值大于乙種麥苗樣本株高的平均值C．甲種麥苗樣本株高的中位數大于乙種麥苗樣本株高的中位數D．甲種麥苗樣本株高的方差小于乙種麥苗樣本株高的方差【答案】D【分析】分別求出甲乙的極差、平均值、中位數與方差，逐項判斷即可.【詳解】甲種麥苗樣本株高的極差為，乙種麥苗樣本株高的極差為，故A錯誤；甲種麥苗樣本株高的平均值為，乙種麥苗樣本株高的平均值為，故B錯誤；甲種麥苗樣本株高的中位數為，乙種麥苗樣本株高的中位數為，故C錯誤；甲種麥苗樣本株高的方差為；乙種麥苗樣本株高的方差為，故D正確.故選:D.6．拋擲兩顆質地均勻的正方體骰子，記下骰子朝上面的點數．設“兩個點數之和等于8”，“至少有一顆骰子的點數為5”，則事件的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據和事件的概率的求法求得正確答案.【詳解】事件表示“兩個點數之和等于或至少有一個骰子的點數為”.基本事件的總數為，事件包含的基本事件為：，，共種，所以事件的概率是.故選：C7．若雙曲線（，）的一條漸近線為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據漸近線求得，進而求得離心率.【詳解】雙曲線的漸近線為，所以，所以.故選：D8．空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標為A． B． C． D．【答案】B【詳解】點關于平面對稱的點的坐標為,選B9．已知橢圓C的焦點為，．過點的直線與C交于A，B兩點．若的周長為12，則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據已知條件求得，由此求得橢圓的標準方程.【詳解】依題意，解得，由于橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的標準方程為.故選：B10．如圖，正方體的棱長為2，E，F分別為，的中點，P是底面上一點．若∥平面，下列說法正確的是（

）A．線段長度最大值為，無最小值B．線段長度最小值為，無最大值C．線段長度最大值為，最小值為D．線段長度無最大值，無最小值【答案】C【分析】分別取的中點,根據面面平行的判定定理可得平面平面，故點的軌跡為線段.當與點或重合時，線段長度最大，當為線段的中點時，線段長度最小，求解即可.【詳解】分別取的中點,因為，平面，平面，所以平面,同理可得平面.因為平面,所以平面平面.因為P是底面上一點．且∥平面，所以點的軌跡為線段.因為正方體的棱長為2，所以,,當與點或重合時，；當為線段的中點時，.所以線段長度最大值為，最小值為.故選:C.二、填空題11．某校高中三個年級共有學生2400人，其中高一年級有學生800人，高二年級有學生700人．為了了解學生參加整本書閱讀活動的情況，現采用分層抽樣的方法從中抽取容量為240的樣本進行調查，那么在高三年級的學生中應抽取的人數為_____________．【答案】90【分析】先求出高三年級的學生人數，再根據分層抽樣的定義即可求解.【詳解】由題意可得高三年級有學生人，抽取容量為240的樣本進行調查，那么在高三年級的學生中應抽取的人數為人.故答案為:.12．若圓和圓外切，則______.【答案】4【分析】根據兩圓外切則圓心距等于半徑之和即可求解.【詳解】圓圓心為，半徑為1，圓圓心為，所以圓心距，因為兩圓外切，所以,所以.故答案為：4.13．如圖，在四面體中，，，，D為的中點，E為的中點，若，其中x，y，，則___________，___________，___________．【答案】

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##

##【分析】根據空間向量的線性運算可得，從而可求解.【詳解】因為D為的中點，E為的中點，所以.因為，所以.故答案為:.三、雙空題14．已知點M在拋物線上，F是拋物線的焦點，直線交x軸于點N，若M為線段的中點，則焦點F坐標是___________，___________．【答案】

【分析】根據拋物線方程直接求出焦點坐標；設，根據中點坐標公式可得，根據點M在拋物線上可求得，再根據兩點間的距離公式即可求解.【詳解】由，可得焦點在軸上，且焦點坐標為.設，則.因為點M在拋物線上，所以,解得.所以.故答案為:;.15．現代幾何學用曲率概念描述幾何體的彎曲程度．約定：多面體在每個頂點處的曲率等于減去該點處所有面角之和（多面體每個側面的內角叫做多面體的面角），一個多面體的總曲率等于該多面體各頂點處的曲率之和．例如：正方體在每個頂點處有3個面角，每個面角的大小是，所以正方體在各頂點處的曲率為．按照以上約定，四棱錐的總曲率為__________；若正十二面體（圖1）和正二十面體（圖2）的總曲率分別為和，則__________0（填“>”，“<”或者“=”）．【答案】

【分析】根據曲率、總曲率的知識求得正確答案.【詳解】（1）四棱錐有個三角形、一個四邊形，個頂點，四棱錐的總曲率為：.（2）正十二面體有個正邊形，個頂點，每個面的內角和為，所以.正二十面體有個正三角形，個頂點，每個面的內角和為，所以.所以.故答案為：；四、解答題16．從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數據，整理得到數據分組及頻數分布表和頻率分布直方圖．組號分組頻數1c28317422525612768292合計100(1)求頻數分布表中c的值及頻率分布直方圖中a，b的值；(2)從一周閱讀時間不低于14小時的學生中抽出2人做訪談，求2人恰好在同一個數據分組的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據頻數和求得，通過計算小長方形的高求得.（2）根據古典概型概率計算公式求得所求概率.【詳解】（1）由，解得.，.（2）不低于14小時，有的人，記為；的人，記為，從中任取人，基本事件為，共種，其中2人恰好在同一個數據分組的情況為：，共種，所以2人恰好在同一個數據分組的概率為.17．如圖，在三棱柱中，，且，底面，E為中點．(1)求證：；(2)求證：平面【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，，再由線面垂直的性質定理即可證明線線垂直；（2）利用面面平行的判定定理先證明平面平面，再由面面平行的性質定理即可證明線面平行.【詳解】（1）底面且平面，，又且，平面，平面，又平面，（2）取的中點，連接，因為分別為的中點可知，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因為，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面18．已知直線l：與x軸的交點為A，圓O：經過點A．(1)求r的值；(2)若點B為圓O上一點，且直線垂直于直線l，求弦長．【答案】(1)2；(2).【分析】（1）求出，代入圓的方程即可求解；（2）根據直線垂直于直線l，可求直線的斜率，根據點斜式可求直線的方程，再利用垂徑定理即可求解.【詳解】（1）在中，令，得，故.因為圓O：經過點A，所以，解得.（2）直線l的斜率為2，因為直線垂直于直線l，所以直線的斜率為.所以直線的方程為，即.圓心到直線的距離為，所以.19．如圖，在長方體，，，點E在上，且．(1)求直線與直線所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點A到平面的距離【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與直線所成角的余弦值.（2）利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.（3）利用向量法求得點A到平面的距離【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標系，，設直線與直線所成角為，則.（2），設平面的法向量為，則，故可設，設直線與平面所成角為，則.（3），所以到平面的距離為.20．已知橢圓C：的焦點在x軸上，且經過點，左頂點為D，右焦點為F．(1)求橢圓C的離心率和的面積；(2)已知直線與橢圓C交于A，B兩點．過點B作直線的垂線，垂足為G．判斷直線是否與y軸交于定點？請說明理由．【答案】(1)離心率為，的面積為；(2)見解析.【分析】（1）根據橢圓經過點可求出，從而可求離心率，求出的坐標，從而可求的面積；（2）設，則,聯立，可得，的方程為，令，得，代入化簡即可求解.【詳解】（1）因為經過點，所以，解得.所以橢圓C：，，所以.因為,,所以.（2）設，則,則的方程為，令，則①.聯立，可得，因為過定點，在橢圓內，所以與橢圓恒有兩個交點，故，.所以.代入①，可得，故直線是否與y軸交于定點.【點睛】定點定值點睛：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．對于正整數集合（，），如果去掉其中任意一個元素（，2，…，n）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合A為平衡集．(1)判斷集合是否為平衡集，并說明理由；(2)若集合A是平衡集，并且為奇數，求證：集合A中元素個數n為奇數；(3)若集合A是平衡集，并且為奇數，求證：集合A中元素個數．【答案】(1)不是，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由平衡集的定義即可判斷；（2）根據集合中元素總和與單個元素的奇偶性討論后證明；（3）由（2）知為奇數，根據的取值討論后求解.【詳解】（1）不是，理由如下，對于集合，去掉3后，中的元素分成兩個集合后，不滿足兩個集合的所有元素之和相等，故集合B不是平衡集.