大興區2022～2023學年度第一學期期末檢測試卷2022.12高三數學學校__________ 姓名__________ 班級__________ 考號__________考生須知1.本試卷共4頁，共兩部分，21道小題。滿分150分。考試時間120分鐘。2.在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和準考證號。3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.下列函數中，既是奇函數又在定義域上是增函數的是（）A. B. C. D.3.在展開式中，的系數為A.10 B.5 C. D.4.設為等差數列的前項和.已知，，則（）A.為遞減數列 B. C.有最大值 D.5.已知拋物線上一點與其焦點的距離為5，則點到軸的距離等于（）A.3 B.4 C.5 D.6.“”是“直線與圓相切”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.某圓錐曲線是橢圓或雙曲線，若其中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過和兩點，則曲線的離心率等于（）A. B. C. D.8.已知數列中，，，，則下列結論錯誤的是（）A. B.C.是等比數列 D.9.“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小平行四邊形構成如下圖形，其中，，，，分別是，，，的中點，若，則等于（）A. B. C.1 D.210.已知函數，給出下列結論：①是周期函數；②的最小值是；③的最大值是；④曲線是軸對稱圖形，則正確結論的序號是（）A.①③1 B.②④ C.①②③ D.②③④第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知復數滿足，則______.12.一個袋子中裝有5個大小相同的球，其中2個紅球，3個白球，從中依次摸出2個球，則在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到白球的概率是______.13.在中，，.若，則______；若滿足條件的三角形有兩個，則的一個值可以是______.14.已知函數若，則函數的值域為______；若函數恰有三個零點，則實數的取值范圍是______.15.在正方體中，為正方形的中心.動點沿著線段從點向點移動，有下列四個結論：①存在點，使得；②三棱雉的體積保持不變；③的面積越來越小；④線段上存在點，使得，且.其中所有正確結論的序號是__________.三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16.（本小題14分）函數（，，）部分圖象如圖所示，已知.再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知.（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）求的單調減區間.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件組合分別解答，則按第一個解答計分.17.（本小題14分）如圖，在四棱雉中，底面是直角梯形，，，為等邊三角形，且平面底面，，，，分別為，的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.18.（本小題14分）猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有，，三類歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三類歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應的獎勵基金.假設甲猜對每類歌曲的歌名相互獨立，猜對三類歌曲的概率及猜對時獲得相應的獎勵基金如下表：歌曲類別猜對的概率0.80.5獲得的獎勵基金額/元100020003000（Ⅰ）求甲按“，，”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；（Ⅱ）若，設甲按“，，”的順序猜歌名獲得的獎勵基金總額為，求的分布列與數學期望；（Ⅲ）寫出的一個值，使得甲按“，，”的順序猜歌名比按“，，”的順序猜歌名所得獎勵基金的期望高.（結論不要求證明）19.（本小題14分）已知橢圓：經過直線：與坐標軸的兩個交點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）為橢圓的右頂點，過點的直線交橢圓于點，，過點作軸的垂線分別與直線，交于點，，求證：為線段的中點.20.（本小題15分）已知函數.（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求的值；（Ⅱ）判斷函數單調性并說明理由；（Ⅲ）證明：對，都有成立.21.（本小題14分）已知數列，為從1到2022互不相同的整數的一個排列，設集合，中元素的最大值記為，最小值記為.（Ⅰ）若為：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且，寫出，的值；（Ⅱ）若，求的最大值及最小值；（Ⅲ）若，求的最小值.大興區2022～2023學年度第一學期期末檢測高三數學參考答案與評分標準一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）12345678910ACCBBADDDB二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11. 12. 13.2；之間的任意一個角都可以14.； 15.①②③（只寫對一個2分，只寫對二個3分）三、解答題（共6小題，共85分）16.（本小題14分）解：由圖可知，所以.又知.所以.（Ⅰ）若選擇條件①②，即，.因為.由圖可知，，即因為，所以當時，.所以.又因為.所以.所以.若選擇條件①③，即，.因為.由圖可知，，即.因為，所以當時，.所以.又因為，所以.所以.若選擇條件②③，即，.因為，由圖可知，當時取得最大值，即，由得，，因為，所以.又，所以.所以.（Ⅱ）因為函數的單調遞減區間為，，由，，2分得，.所以單調遞減區間為，.17.（本小題14分）解：（Ⅰ）連結，，與交于點，因為底面是直角梯形，，為的中點.所以且，即為平行四邊形，所以點是中點，連結，所以.又因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因為為等邊三角形，為的中點，所以.又面面，面面，所以面，又因為，，所以.如圖建立空間直角坐標，可知，，，，易知，設面的法向量為，且，，即所以，設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.18.（本小題14分）解：（Ⅰ）設“甲按“，，”的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件，則.所以，甲按“，，”的順序猜歌名至少猜對兩首歌名的概率為0.4.（Ⅱ）的所有可能取值為0，1000，3000，6000，，，，.所以隨機變量的分布列為01000300060000.20.40.30.1所以.（Ⅲ）均可.19.（本小題14分）解：（Ⅰ）直線：與坐標軸的兩個交點為，，由于，所以，，所以橢圓的方程為.（Ⅱ）設過點的直線為，由題意直線斜率存在，設方程為，即.由，消元得，整理得由，可得.設，，則，.由題意，將，代入：得，直線的方程為，令得，所以所以，點是線段的中點.20.（本小題15分）解：（Ⅰ），所以，由，得，所以.（Ⅱ）函數在單調遞增.因為，所以函數定義域為.，因為，所以.因為，所以.因此函數在區間上單調遞增.（Ⅲ）證明：當時，顯然有，不等式成立；當時，不妨設，由于函數在區間上單調遞增，所以，則.因為，所以，所以，所以.綜上，對任意的，成立.21.（本小題14分）解：（Ⅰ），.（Ⅱ）最小值為6，的最大值6063.證明：對于1，2，…，2021，2022的一個排列，若，則中的每一個元素為，，由題意，，那么，對于