2021-2022學年廣東省深圳市龍華區高一上學期期末數學試題一、單選題1．設集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解出集合B中的不等式，求與集合A的交集即可.【詳解】集合，因為，所以.故選：C.2．的終邊落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】找到與終邊相同的角，即可看出在第幾象限.【詳解】因為，所以的終邊與終邊相同，故落在第一象限.故選:A3．“”是“一元二次方程有實數根”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據一元二次方程根的個數結合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】一元二次方程有實數根，則，解得或，即“”是“一元二次方程有實數根”的充分不必要條件.故選：A4．下列函數中與函數是同一個函數的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別從函數的定義域，對應法則和值域進行判斷即可求解.【詳解】函數定義域為，值域也為.對于，函數的定義域為，值域為，對應法則也不相同，故選項不滿足題意；對于，函數的定義域為，值域也為，對應法則相同，故選項滿足題意；對于，函數定義域為，值域為，故選項不滿足題意；對于，函數定義域為，值域為，故選項不滿足題意，故選：.5．如圖，四邊形是直角梯形，，，，．若，分別在，上，，且把直角梯形分成面積相等的兩部分，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】過點作交于，交于，由相似三角形和面積相等建立等量關系求解即可.【詳解】如圖所示，過點作交于，交于，設，，，因為，所以即，解得，因為，，且，所以，解得，故選：D6．當時，函數的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】化簡的解析式，根據正切函數的單調性求得正確答案.【詳解】由于，而在區間上單調遞增，所以的最大值是.故選：C7．如圖為某質點簡諧運動的部分圖像，它符合函數（，，）的形式，則（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【分析】由題知，，進而得，再代入點即可得，進而得答案.【詳解】解：由題知，，所以，解得，所以，，再將代入得，即，解得，因為，所以，所以，，，故選：D8．已知，，（e是自然對數的底數），則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用對數函數的單調性判斷.【詳解】解：因為，，，所以，故選：A二、多選題9．在同一坐標系中，對于函數與的圖象，下列說法正確的是（

）A．與有兩個交點B．，當時，恒在的上方C．與有三個交點D．，當時，恒在的上方【答案】CD【分析】通過試值找到兩函數在時兩個關鍵的交點坐標，從而在同一坐標系中作出兩函數圖像，通過圖像即可判斷選項.【詳解】，，，，，則可在同一坐標系內作出兩函數圖像如下圖所示：顯然兩函數有三個交點，故A錯誤，C正確，由圖易得當時，恒在的上方，故B錯誤，D正確，故選：CD.10．將函數的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），再把它向右平移個單位，得到函數的圖像，則下列是對稱軸的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由圖像變換求解函數解析式，整體代入法求對稱軸方程.【詳解】函數的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖像，再把它向右平移個單位，得到函數的圖像，令，解得對稱軸方程為，當時，對稱軸為；當時，對稱軸為；當時，對稱軸為.故選：ABD11．已知的定義域是，既是奇函數又是減函數．若，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據定義域為，且其既是奇函數又是減函數，可知，結合即可判斷A,C選項，,則，結合其單調性和奇偶性得到，即可判斷B,D選項.【詳解】的定義域為，且既是奇函數又是減函數，則，，，故A正確，C錯誤，,則,又是在上單調遞減的奇函數,,即,，故D正確，B錯誤.故選：AD.12．提鞋（斜）公式，也叫李善蘭輔助角公式，是我國19世紀著名數學家李善蘭先生提出的一種高等三角函數公式，其正弦型如下：，其中．若，，則下列判斷正確的是（

）A．當，時，B．當，時，C．當，時，D．當，時，【答案】AC【分析】根據兩角和正弦公式求出的表達式后根據的正負分類討論可得．【詳解】，設，，，則，，若，則，此時，，，A正確；若，則，，，，B錯；若，則，，，，C正確；若，則，，，，D錯誤．故選：AC．三、填空題13．已知，計算：_____________．【答案】【分析】利用冪的運算性質直接求得.【詳解】.故答案為：14．已知為第二象限的角，且，則_____________．【答案】【分析】由同角三角函數關系及誘導公式可得答案.【詳解】因為第二象限的角，則，又，，則.又由誘導公式，得.故答案為：15．已知函數是增函數，則實數的取值范圍是_____________．【答案】【分析】根據函數的單調性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于在上遞增，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：16．煤油在作為噴氣發動機的燃料之前需通過黏土除去其中的污染物．某種煤油中污染物的含量為，測得這種煤油通過的圓形黏土管道后污染物的含量如下表：m若要使這種煤油中污染物的含量不超過原來的％，則至少需要_______m的圓形黏土管道．（參考數據：）【答案】【分析】根據表格得到，解不等式，可得結果.【詳解】由表可知，，由，得，兩邊取常用對數得，得.所以若要使這種煤油中污染物的含量不超過原來的％，則至少需要的圓形黏土管道．故答案為：四、解答題17．立德中學高一年級某學生社團開展了“使用移動支付平臺——支付寶與微信支付的對比分析”的課題研究．隨機調查了名市民，結果顯示：使用支付寶的有人，使用微信支付的有人，兩種都使用的有人．(1)只使用支付寶不使用微信支付的有多少人？(2)兩種移動支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的說明過程）【答案】(1)158人(2)59人【分析】（1）由題意“使用支付寶”的去掉“兩種支付方式都使用”的即為“只使用支付寶不使用微信支付”的人.（2）由題意分別得出“只使用微信支付不使用支付寶”，“只使用支付寶不使用微信支付”“兩種支付方式都使用”，由總人數減去“至少使用一種移動支付方式”即可的結果.【詳解】（1）因為“使用支付寶”的有人，“兩種支付方式都使用”的有人，所以“只使用支付寶不使用微信支付”的有（人）.（2）同理，“只使用微信支付不使用支付寶”的有（人），所以，“至少使用一種移動支付方式”的有（人），故“兩種移動支付方式都不使用”有（人）.18．已知函數（，），且．(1)求實數的值；(2)解關于的不等式：．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，代入函數解析式解方程；（2）換元法先解二次不等式，再求解對數不等式.【詳解】（1）由得，所以，即，因為，所以.（2）令，不等式轉化為，即，解之得，即，而，，所以故該不等式的解集為.

.19．如圖，以為圓心，半徑為的圓與軸正半軸相交于點，質點在圓周上逆時針運動，其初始位置為，角速度為．(1)求點的縱坐標關于時間（單位：）的函數解析式；(2)求在內（即），質點經過點的次數．【答案】(1)(2)20【分析】(1)先求出時刻后，經過的角度為，然后再根據三角函數求解.(2)根據函數的周期計算.【詳解】（1）由得，因為質點運動的角速度為，所以時刻后，經過的角度為，故的縱坐標（2）由（1）知周期，而所以質點至少經過點達次，因為質點從到達至少需要，而，即第個周期可以到達點，所以質點經過點的次數為.20．已知函數．(1)判斷的奇偶性，并說明理由；(2)判斷的單調性，并用定義法給予證明．【答案】(1)奇函數，理由見解析(2)是上的增函數.，證明見解析【分析】（1）利用奇偶性的定義進行證明；（2）結合指數函數單調性及復合函數單調性法則判斷，再利用單調性的定義進行證明.【詳解】（1）因為的定義域是，且當時，，故是奇函數；（2）變形得，令，則，因為在上是增函數，，又在上是單調遞增，所以是增函數，下面用定義法證明：任取兩個實數，，且，則，因為，所以，所以，又，所以，即，故是上的增函數.21．已知函數．(1)求的單調遞減區間；(2)若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)（）(2)【分析】（1）利用誘導公式以及三角恒等變換公式化簡函數的解析式，根據正弦函數的遞減區間列式可得結果；（2）根據函數在上的單調性求出函數在上的值域，將不等式在上恒成立，化為在上恒成立，再利用的最值列式可求出結果.【詳解】（1）因為，所以，令，，解得，，即的單調遞減區間為（）.（2）當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減；因為，，，所以的值域是，又由在上恒成立，得在上恒成立，得，解得.所以實數的取值范圍是.22．已知，．(1)分別畫出、的圖象（不必寫出畫法，請先用鉛筆畫，確定后再用黑色水筆描黑）；(2)用二分法求函數的零點（精確度為）；(3)，用表示，中的較大者，記為，當方程有三個不同的實數根時，求實數的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)可取中的任一個值(3).【分析】（1）根據對數函數和二次函數的性質和圖象即可得出答案；（2）因為可以等價于與的交點問題，由圖知，因為，，所以，再由二分法的定義即可求出函數