初中數學中的規律佛山市教育局教學研究室

孫治中

2012年12月一、規律概念(百度百科)1.什么叫規律？基本解釋：事物之間的內在的必然聯系，決定著事物發展的必然趨向。詳細解釋：規章律令；整齊而有規則；事物之間的內在的必然聯系，決定著事物發展的必然趨向。哲學解釋：規律亦稱法則，是客觀事物發展過程中的本質聯系，具有普遍性的形式。

規律和本質是同等程度的概念，都是指事物本身所固有的、深藏于現象背后并決定或支配現象的方面。然而本質是指事物的內部聯系，由事物的內部矛盾所構成，而規律則是就事物的發展過程而言，指同一類現象的本質關系或本質之間的穩定聯系，它是千變萬化的現象世界的相對靜止的內容。

規律是反復起作用的，只要具備必要的條件，合乎規律的現象就必然重復出現。世界上的事物、現象千差萬別，它們都有各自的互不相同的規律，但就其根本內容來說可分為自然規律、社會規律和思維規律。一個客觀事物，有其內在本質屬性，也有外顯的表現形式。其中內在本質屬性關系可以理解為規律，外顯部分中同一類現象的(本質關系的)描述亦可稱為規律的描述。比如，一元二次函數的本質，你很難有完整的、全面的認識，我們只知道教材中一元二次函數的顯性規律(從數的角度看，左右的取值是全體實數，上下的取值一邊有界而一邊無限；從形的角度看，圖形成軸對稱，在對稱軸的兩邊有增減變化)，但難以知道隨著自變量每變化一個單位時因變量的變化情況(這反映了離對稱軸遠近圖形的變化的緩急)。2.規律的特點客觀性：規律是客觀的，既不能創造，也不能消滅；不管人們承認不承認，規律總是以其鐵的必然性起著作用。普遍性：主要指對于同一本質的事物和現象具有普遍的支配作用(不含規律的普遍存在性)，如新陳代謝、四季更替，它適用于所有的階段、社會、領域、層次等。

必然性：指規律的存在、作用及規律作用的后果的不可避免性。

規律也是永恒的。規律與規則不同，規律是不變的客觀存在，規則是人為制定的且可修改、補充或廢除。二、初中數學中的規律這里主要說明數學現象的規律，而不說明研究數學現象的規律。

(3)數的規律三，研究數的集中或變化的趨勢(如統計中大量數據所反映的規律)。描述自然現象的大量隨機數據呈現的規律，如頻率估計概率、數據分布形態(正態分布、二項分布、超幾何分布等)。

(5)圖形中的數值規律圖形中的數值規律主要是指圖形的構成要素中所蘊含的數量關系，主要有如下幾類：平面直線型圖形中的邊、頂點、對角線、圖形構造的三角形、直線的交點等數量及其關系，如“平面上10條直線每兩條相交最多有多少個交點”的問題；圖形變化時的不變量，即保數變換，如圖形變化時角的大小、面積大小等不變；正多面體中的歐拉公式；我們把數獨、九宮、幻方等也歸為這一類。

(6)圖形規律圖形規律主要是指圖形構成中所蘊含的圖類、關系、特征性質等。對稱變換、旋轉變換、相似變換等；保形變換、不動點問題等；玩撲克牌、棋盤上的構圖、堆積木、魔方等；等腰三角形、平行四邊形等類圖形的性質(可歸在下一類)。(7)法則、公式、定理等根據對規律的解釋，這些無疑都是規律。某些概念亦可歸結為此類。(8)方法古指量度方形的法則，現指為達到某種目的而采取的途徑、步驟、手段等。技術性的定義為“在人們若干做事過程的動作集合中，若這些過程的動作邏輯具有共同的特征集A，就說這些過程采取了方法A”【互動百科】。這里主要指程序性的解決問題的方法，如解各類方程(組)的方法。(9)模型如方程、函數、不等式、概率等模型，顯然是各類對象或現象的規律反映。(10)*學習與研究的一般規律(這是補充的研究數學現象(對象)的規律)分類的方法(生活與科學，學科門類與門內等)、分析的方法(因素分析，多元分析等)、發現的方法、推理的方法、思考的方法、調查的方法等；比如在學習幾何時，圖形從簡單到復雜的構造的規律。比如在學習四邊形時，如何認識與研究四邊形，如何認識與研究平行四邊形、矩形等的特征與判定。案例摘自本人教材分析《平行線的特征尋根》我們知道，在幾何知識的學習中，通常會根據一個(或一類)圖形的部分必要的特征給出這個(或這類)圖形的定義概念，然后會研究除了定義所給出的特征外的其它特征。在知道平行線的概念之后，給出兩條平行直線

、

，那么這兩條直線除了在同一平面內沒有公共點這些特征外，還有其它的特征嗎？課本里給出的特征是“兩直線平行，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補”，這是很奇怪的事情，我們研究兩條平行直線的特征，怎么會產生角的問題呢？那么這個關于角的結論的“根”是什么呢？平行直線的特征還有哪些呢？

l1l2BADCFEHGIJNM如果我們可以進一步思考，把這個圖形固有的、但是隱含的特征作為研究的對象，則有以下兩個主要問題可以提出來。最可能出現的問題之一是觀察到作平行線的垂線段AB和CD，則AB=CD(反映兩條平行線之間遠近的問題)。最可能出現的問題之二是觀察到作平行線的傾斜程度相同的線段EF、GH和IJ，則EF=GH=IJ。這兩個問題的說明，近似的是根據測量的結果，較為嚴格的需要四邊形的知識。如果把線段兩端延長成MN的部分(這是可行的)，就可能有課本里角的問題。關于角的問題的說明，近似的亦是根據測量的結果，較為嚴格的是用反證的方法。

以上三個問題都不是平行直線的圖形中的顯性問題，而是在圖形改變后所產生的拓展的問題。

*如果說關于角的結論是判定直線平行的條件，那么關于線段的結論也是判定直線平行的條件。這里先研究角的問題，原因可能是線段的問題可以歸結到四邊形中去。

案例結束。2.如何認識規律主要是歸納，要結合觀察、分析、運算、抽象概括，也要對各種現實問題和數學問題有好的理解，有較為豐富的數學知識和數學方法。

3.認識規律有什么用一般來說，人的所有行為都有其用意。規律的抽象性使得它比單純的行為更有用。無需多解釋，教師們都懂！三、初中階段應關注的規律性問題初中階段應關注的規律應該是簡單的、基礎的、核心的部分，而且容易理解和掌握，通過規律性問題的學習，形成一些在這個階段應有的認識、觀點、方法、思想和能力。數的規律中，無疑應關注自然數及其分類，它是一切與數有關的規律的基石。自然數的運算，自然是一切運算的基礎，但有理數的運算是恰當的學習內容，因此有理數的運算規律是必須掌握的。代數是數的抽象形式，是描述和表達數的規律的(有效的和好的)手段和工具。初中階段學習的各種代數式及其運算都是要重視的。圖形構造規律和圖形特征認識是重要的，初中要求的圖形變換也是重要的，但圖形中蘊含的數量規律只需要研究簡單的。數學事實、法則、公式、定理等是必須要學好的。具體的數學方法、數學的模型方法也是必須要學好的。*認識數學與研究數學的一般原理、方法等，是在初中階段進行奠基。今后學生學習或者離開學校環境的生活好壞，主要是看現階段是否奠定了扎實的基礎。注：前面規律分類中的內容，紅色的要求應小心或者控制，藍色的要求可選擇，黑色的要求應必會！四、初中階段學習規律應注意的問題1.規律學習要循序漸近比如北師大版初中數學教材七年級(上)第一章中，關于探究棱柱有多少個頂點、多少個面等的問題，有人設計為如下問題：有些資料會把題目中的表格出成下表：

三棱柱四棱柱五棱柱…n棱柱頂點數

邊數

這是非常不合適的，主要是表的最后一列的

棱柱的問題：一是“n”是用一個抽象的字母代表數，學生雖然在小學可能接觸到，但初中還沒有具體學習字母代數；二是n棱柱是一個抽象的圖形，只存在于思維中而沒有現實表現；三是由

棱柱所得的問題結果是一個代數式，這又是一個后續的知識，大多數學生不能理解。不考慮學生學習的階段性，超越了學生的認知基礎，而根據老師的經驗來出題，是老師經驗起了副作用．然而在教學實踐中，這樣的例子經常出現，很不好！！！

本題如果要出的話，可以放在七年級(上)第三章“代數式”中《探索與表達規律》的學習之后，或者放在學期結束或復習備考時。2.要注意似易可能會實難的問題比如二次型的規律，若發現的規律為n(n+2)還是較容易的，若發現的規律為n2+2n則是不容易的。若把規律n(n+2))改寫為n2+2n，僅從式子變形的角度看可能是容易理解的，而要學生認同這兩個式子代表相同的規律可能并不那么簡單！3.要注意