機械CAD/CAM基礎課程作業姓名曾子敬專業 機械電子工程學號 0042日期 2011-12-21武漢科技大學拉格朗日插值法的理解與運用引言在機械設計與制造領域會因為通過大量試驗而得來很多測試數據資料，如數表、線圖、標準、規范、實驗數據等。我們常常需要對這些繁多而復雜的試驗數據進行系統的分析和處理，從而得到希望的演算結果，所以如何有效的處理一系列數據是在機械工程設計中是十分關鍵的一步。在傳統的設計過程中，這些數據都是通過人工查詢手冊來獲取，但在現代CAD/CAM系統中，這些數據需要由計算機進行處理，這就需要我們將試驗數據以數表和線圖的形式輸入計算機才能被計算機有效的識別、存儲和應用。在CAD/CAM中，有兩類數表需要進行處理。一類是彼此之間沒有函數關系的數表，如材料的機械性能、物理性能等；另一類是彼此之間存在函數關系，而為了使用方便以表格形式給出的列表函數，如三角函數、對數函數等。對于數據之間存在某種函數關系而被離散化的數表，雖然離散化后的自變量值和因變量值存在一一對應關系，但是對于這類數表所需完成的查詢通常并非恰好是給定的離散值，而是介于離散量之間的自變量和因變量，這就需要解析的方法處理。常用數表解析法有函數插值法和數據擬合法。下面以函數插值法中常用的拉格朗日插值法來討論其理解與運用。函數插值一一拉格朗日插值法理解函數插值的含義在科學研究和實際的機械工程設計中，幾乎所有的問題都可以用函數y=f(x)來表示其中某些內在的數量關系，但是理想化的函數關系又很難在實際的工程測試結果中得到，對于那些沒有明顯方程式的函數關系表達式則只能通過求出與原關系式近似的又能反應其原函數特性的一種便于計算的簡單函數，即構造一個近似函數來替代原函數。插值的基本方法插值的基本方法是在插值點附件選取幾個合適的節點，利用這些節點構造一個函數g(x)，使g(x)經過所選取的所有節點，在插值點確定的區間上近似用g(x)代替原來的函數f(x)，那么，插值點的函數值可以用構造函數值來代替。而想要正確理解拉格朗日的含義就必須首先理解線性插值和拋物線插值。1)線性插值線性插值是用通過所選取兩個節點構造一個線性函數g(x)來代替原來的函數f(x)。設有一個用數表表示的函數，插值點為(x,y)。插值步驟如下：從數表中在插值點的附近的自變量x，x(對應的函數值分別為y,y)，并滿足條i i+1 ii+1

用過(X,X)和(y,y)兩點的直線g(x)代替原來的函數f(x),則插值點的函i i+1 ii+1數值為y= —(X_X)+yX-Xii2)拋物線插值拋物線插值是用通過3個節點的拋物線g(x)來代替原來的函數f(x)。在數表中，如何選擇TOC\o"1-5"\h\z合適的3個節點(x,y),(x,y),(x,y)，是保證拋物線插值精度的關鍵所在。1 1 2 2 3 3設插值點為(x，y)，拋物線插值步驟如下：從已知數表中，在插值點x的左右選取兩點(x，X)和(y,y)，分別記為i i+1 ii+1(X,y),(x,y)。它們滿足條件11 22XVXVX比較(X-x.)和(氣+1-X)的大小，取差值較小者作為取點的延伸方向，從數表中選取第3點。我們設(X-X)<(X-x)，則取點延伸方向，即取(x,y)作為第3點(x,y)。i i+1 i-1i-1 33將3個點的坐標代入拋物線方程，得到插值點的函數值：_(X-X)(X-X) (X-X)(X-X) (X-X)(X-X)y2、/ 3~Ty. T _\"y、 T ~\"y.(X-X)(X-X)1(X-X)(X-X)2(X-X)(X-X)31 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2色)圖1

（a）線性插值圖；（b）拋物線插值圖實際在做出的圖表中查看插值的幾何意義如圖1所示，發現用g（x）代替原有曲線f（x）存在一定的誤差，且誤差的大小與插值區間有關，區間越小，誤差越小，當自變量間隔足夠小時，線性插值的精度可以滿足使用要求，所以為了提高精度，就要利用多點插值，而拉格朗日就是多點插值法。（3）拉格朗日插值法的概述拉格朗日插值用來求n個節點的（n-1）次插值多項式，它就是線性插值和拋物線插值的推廣和延伸。我們設有n個節點，則拉格朗日插值的表達式表示為：,、V M一工）3一工）…3一x）（X一X）…（X一X） \nx-xg（x）二乙 匕 k=^k^d /—y=乙（11 j-）y（x一x）（x一x）…（x一x）（x一x）…（x一x）k x一xkk=1k1k2 k k-1 k k+1 kn k=1j=1,j」kkj拉格朗日插值的運用（1）利用拉格朗日插值法手算函數f（x）=-^，（-2<x<2）4x2+11）我們設有3個節點，分別為x=-2,x=0,x=1，則對應的值為y=0.118,y=2,y=0.4，1 2 3 1 2 3根據定義構造一個二次多項式:y*=ax(x-1)+a(x-1)優+2)+ax(x+2)由于二次多項式函數須通過已知的三個結點，因此在節點x,x,x處應滿足以下條件:123y*(x)=y,p(x)=y,p(x)=y，艮口1 1 2 2 2 3 3 30.11=〈(A—OW—D^%(0—1)((+2),0.傘03(1+2)0-0)則求的方程組得a1=0.197,a2=一1,03=0.1333則3節點的二次拉格朗日插值多項式為：y=0?19Xx—1Hx—1)X+2)+0?13Xx+2)2）利用matable繪制函數圖形對比函數圖像①利用matable中的畫圖函數plot畫出原函數f（x）=-^的函數圖像和畫出手4x2+1算出的拉格朗日插值多項式函數圖像，并進行圖像對比，matable中的編程程序為：x=-2::2;y2=*x.”*x;%簡化后的二次拉格朗日插值函數plot（x,y2,'r--'）;%插值圖形虛線標識holdony1=2./(1+4*x."2);plot(x,y1,'g-');%繪制原函數圖形綠色標識從圖像對比中我們可以看出其3個節點構造出的函數存在很大的誤差，只有縮小區間，即增加取的節點個數，使自變量間隔足夠小時，得到的插值函數精度才可以滿足使用要求。下面我們利用matable中的關于拉格朗日插值多項式函數來驗證當節點數n取多時，構造函數越精確。(2)利用matable編程求解拉格朗日插值多項式即圖形對比我們設取節點的個數為n，以下編程是指在取不同的節點數n的情況下，n-1次拉格朗日插值多項式在matable下所畫出的圖形與原函數圖像的對比，當取的n越大時，我們會發現我們采用拉格朗日插值法得到的構造函數越接近原函數圖形。所使用的matable函數編程如下：%求已知數據點的拉格朗日插值多項式和原函數并畫出其圖形進行對比%設已知數據點的x坐標為x0%對應函數值的坐標為y0x0=linspace(-2,2,n);%n為取的節點數y0=2./(1+4*x0."2);symsxl;if(length(xO)==length(yO))n=length(xO);elsedisp('x0和yO的坐標范圍不一樣！’)；return;endp=sym(0);for(i=1:n)l=sym(y0(i));for(k=1:i-1)l=l*(x-x0(k))/(x0(i)-x0(k));end;

for(k=i+1:n)

l=l*(x-x0(k))/(x0(i)-x0(k));end;p=p+l；endf=simplify(p);%簡化多項式得其簡式函數x=-2::2;y1=2./(1+4*x.”2);plot(x,y1,，g-，);holdonf1=subs(f,，x，,x);plot(x,f1,，r--，);xlabel(，x的范圍取值，)，ylabel(，對應y的值，);title(，拉格朗日插值多項式圖像，用紅色虛線標識，)；①n取5時，liltRdH. Jpseri.dIsQesktiip心①n取5時，liltRdH. Jpseri.dIsQesktiip心ndcrrHelp %2]d.j后..舞園夏威-胡口二1 0拉格朗日插值多功式圖像，用紅色柄詛②n取7式，用matable得出的原函數圖像和得出的拉格朗日插值函數圖形對比:Fil.EililABA*I^TiXBT4Tn-aLx 姻VatL^DHK*Ljl-31b」，｛-：，國土K-0UIC■巨扯格朗日插值森更式圖伊用泣芭標詛-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x的范圍取值n取12時用matable得出的原函數圖像和得出的拉格朗日插值函數圖形對比:FilflEdiFilflEditYiflvIdeartToolsDacktopWinderHelp□75j＞七，咎⑤土■，巍□wf四地宅?P.從三組函數圖形對比中可以看出，用計算機計算出的得到拉格朗日插值函數精確更高，而且隨著n值不斷增大，即所取節點數的不斷增多，所得出的拉格朗日插值函數與原函數更加漸進和吻合，這就充分的證明了當節點數取的適當多時，所構造的函數越漸進于原函數圖形。四.總結從上面的試驗結果中