數(shù)學(xué)模型概述2.1數(shù)學(xué)模型的定義和分類2.2數(shù)學(xué)模型的建立2.2.1建立數(shù)學(xué)模型的過程2.2.2對模型的基本要求2.2.3數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證和誤差分析2.3Excel在建立數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用2.3.1污水處理的線性回歸分析2.3.2結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合2.3.3用Excel進(jìn)行參數(shù)估計(jì)/e/1數(shù)學(xué)模型的定義和分類定義:如果一個(gè)事物M與另一個(gè)事物S之間，滿足兩個(gè)條件：M中包含有一些元素(分量)，每個(gè)元素(分量)分別對應(yīng)和代表S中的一個(gè)元素(分量)；M中的上述分量之間應(yīng)存在一定的關(guān)系，這種個(gè)關(guān)系可以用于與S的分量間關(guān)系進(jìn)行類比。我們則將事物M稱為事物S的模型。滿足上述模型條件的具體數(shù)學(xué)表達(dá)式和算法叫做數(shù)學(xué)模型。模型的形式模型抽象模型具體模型數(shù)學(xué)模型:方程式,函數(shù),邏輯式圖象模型:流程圖,方向圖,框圖；計(jì)算機(jī)程序:計(jì)算程序,模擬程序相似模型:(實(shí)物放大縮小)建筑模型，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ湍M模型:電模擬模型討論題用建立數(shù)學(xué)模型的方法討論，用一盆水清洗衣服和將該盆水分成兩個(gè)半盆水來洗衣服，哪個(gè)效果好。

定義：M中包含有一些元素(分量)，每個(gè)元素(分量)分別對應(yīng)和代表S中的一個(gè)元素(分量)；M中的上述分量之間應(yīng)存在一定的關(guān)系，這種個(gè)關(guān)系可以用于與S的分量間關(guān)系進(jìn)行類比。設(shè)，一盆水水量L，衣服中污染物質(zhì)量M，余水量L1，殘余物比較；物理簡化法；數(shù)學(xué)簡化法。2.2數(shù)學(xué)模型的建立2.2.1建立數(shù)學(xué)模型的過程2.2.2對模型的基本要求2.2.3數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證和誤差分析建立數(shù)學(xué)模型的步驟觀測數(shù)據(jù)組Ⅰ模型結(jié)構(gòu)選擇模型應(yīng)用觀測數(shù)據(jù)組Ⅱ參數(shù)估計(jì)檢驗(yàn)與驗(yàn)證圖2-2模型的結(jié)構(gòu)選擇(1)白箱模型根據(jù)對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的了解,以客觀事物變化遵循的物理化學(xué)定律為基礎(chǔ)，經(jīng)邏輯演繹而建立起的模型是機(jī)理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。機(jī)理模型具有唯一性。(2)灰箱模型即半機(jī)理模型。在建立環(huán)境數(shù)學(xué)模型的過程中,幾乎每個(gè)模型都包含一個(gè)或多個(gè)待定參數(shù),這些待定參數(shù)一般無法由過程機(jī)理來確定。通常要借助于觀測數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)結(jié)果。(3)黑箱模型即輸入-輸出模型。需要大量的輸入,輸出數(shù)據(jù)以獲得經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｋ鼈兛稍谌粘＠杏^察中積累,也可由專門實(shí)驗(yàn)獲得。根據(jù)對系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀測,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上建立起經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆椒ㄓ纸袣w納法。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒痪哂形ㄒ恍浴?.3Excel在建立數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用2.3.1污水處理的線性回歸分析2.3.2結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合2.3.3用Excel進(jìn)行參數(shù)估計(jì)污水處理的線性回歸分析例2-2某污水處理廠提供的3、4月份的日常監(jiān)測臺(tái)帳如表2-4所示，試根據(jù)3月份的數(shù)據(jù)建立其出水COD對應(yīng)入水COD的線性回歸模型，然后用4月份的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

表2-5出水COD對應(yīng)入水COD回歸統(tǒng)計(jì)結(jié)果結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合例2-3十二胺降解實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2-7所示，使用Excel工作表進(jìn)行曲線擬合。

表2-7十二胺降解實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)解：在趨勢線命令中分別選擇模型結(jié)構(gòu)形式為線性和指數(shù)模型，擬合結(jié)果如圖2-8所示。指數(shù)模型又分別指定和不指定是否必須通過初始濃度2.3mg/L。注意在圖2-7中有個(gè)選項(xiàng)頁，如果需要在圖中顯示出模型的表達(dá)式、R2，或者需要限制趨勢線必須通過初始濃度標(biāo)記的函數(shù)點(diǎn)，均在選項(xiàng)頁進(jìn)行操作。2.3.3用Excel進(jìn)行參數(shù)估計(jì)用Copy計(jì)算式結(jié)合多元線性回歸進(jìn)行復(fù)雜模型參數(shù)估值

例2-4根據(jù)對某一種反應(yīng)的分析，獲得灰箱模型為：試根據(jù)表2-8所示的一組實(shí)驗(yàn)觀測值，進(jìn)行灰箱模型的參數(shù)估值，并討論其是否可信。解：首先建立Excel的工作表，輸入已知的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在新的兩列中分別通過輸入計(jì)算式和用Copy命令求得對應(yīng)的x10.5和ln(x2)，該反應(yīng)測定的原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和兩列中間計(jì)算結(jié)果均列入表2-8。

用最優(yōu)化方法進(jìn)行復(fù)雜模型的參數(shù)估值使用Excel電子表格，對于因變量y相應(yīng)于自變量X（可以是包含多個(gè)元素的向量）的試驗(yàn)或觀測數(shù)據(jù)，由經(jīng)驗(yàn)給定參數(shù)的初值開始，計(jì)算計(jì)算值與觀測值之間的誤差，用最優(yōu)化方法進(jìn)行參數(shù)估值，使該參數(shù)取值條件下誤差的平方和最小。

例2-5已知河流平均流速為4.0km／h，飽和溶解氧(DO)為lO.Omg／L，河流起點(diǎn)的BOD(L0)濃度為20mg／L，沿程的溶解氧(ＤＯ)的測定數(shù)據(jù)如下：第二章數(shù)學(xué)模型概述學(xué)習(xí)難點(diǎn)的闡述通過例題例2-2學(xué)習(xí)，進(jìn)一步闡述該學(xué)習(xí)難點(diǎn)，用具體計(jì)算和圖形展示誤差的取值、累積頻率曲線；認(rèn)識(shí)中值誤差(累積頻率為50％)的概念和采用來作為衡量模型精確度的度量。掌握數(shù)學(xué)建模方法。誤差的累積頻率誤差mg/L第二章數(shù)學(xué)模型概述學(xué)習(xí)要點(diǎn)為：(1)

滿足模型條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式和算法叫做數(shù)學(xué)模型，它具有高度的抽象性和經(jīng)濟(jì)性。環(huán)境系統(tǒng)工程中的數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)語言和方法來描述環(huán)境污染過程中的物理、化學(xué)、生物化學(xué)、生物生態(tài)以及社會(huì)等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。(2)

數(shù)學(xué)模型的建立過程包括：數(shù)據(jù)的搜集和初步分析、模型的結(jié)構(gòu)選擇、估計(jì)模型的參數(shù)以及模型的檢驗(yàn)和修正等。(3)

MicrosoftExcel提供了一組數(shù)據(jù)