《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第1章1.1函數概念及其性質教學目標明確課程學習目的及學習要求提高學習積極性；掌握基本初等函數.教學重點函數的概念及其性質，函數的定義域.教學難點分段函數教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入高等數學在專業課程學習中的重要性.重點與難點講解方法形象引入、數形結合、舉例講解.教學小結知識小結1、理解函數的概念和性質；2、會求函數的定義域.教后札記改進措施課后作業習題1.11.（1）（2）2.（1）（2）3.（2）（4）教學過程：一、知識回顧回顧中學數學的基本初等函數的基本知識.二、新課導入本章將在中學數學已有函數知識的基礎上進一步理解函數概念，并介紹反函數、復合函數及初等函數的主要性質，這些內容是學習本課程必須掌握好的基本知識.三、新課內容1、基本知識1）常量與變量一種是在觀察過程中保持不變的量，這種量稱為常量，通常用字母來表示；另一種在觀察過程中會起變化的量，這種量稱為變量，通常用字母來表示.2）區間設兩個實數且，則滿足的實數的全體稱為閉區間，記作：；滿足的實數的全體稱為開區間，記作：；滿足或的實數的全體稱為半開半閉區間，分別記作：或.上面這些區間稱為有限區間，除了有限區間之外，還有無限區間.表示全體不大于的實數，表示全體小于的實數，表示全體不小于的實數，表示全體大于的實數，表示全體實數.3）鄰域鄰域是在微積分中經常用到的一個概念.在數軸上，以點為中心的任何開區間稱為點的鄰域，記作：.設為任意一個正數（），則開區間就是點的一個鄰域，這個鄰域稱為點的鄰域，記作：，即，其中點稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑.2、函數概念1）定義1.1設有兩個變量和，若當變量在非空實數集內，任意取定一個數值時，變量按照一定法則，總有唯一確定的數值和它對應，則稱是的函數，記作：或者，其中的變化范圍稱為這個函數的定義域，叫做自變量，叫做因變量.2）函數的定義域與值域的求解方法.3）相同函數.通過對函數定義的分析不難發現，確定一個函數，起作用的兩要素是：定義域和對應法則.若兩個函數的定義域相同且對應法則也相同，則這兩個函數就相同，否則就不同.3、分段函數有的函數要用幾個式子來表示.這種在其定義域的不同范圍內，對應法則用不同的式子來表示的函數，稱為分段函數.注意：（1）分段函數是用幾個式子合起來表示一個函數，而不是幾個函數；（2）由于分段函數是分段表示的，因此各個式子的定義域必須明確標出；（3）對于分段函數求值時，不同點的函數值應代入相應范圍的式子中去求；（4）分段函數的定義域是各項定義域的并集.【例題精講】例1函數的定義域為，值域是，其圖形是一條直線，如圖所示：圖1.3圖1.4例2函數稱為絕對值函數，它的定義域為，值域是，它的圖形如圖1.4所示.例3下列各組函數是否相同？為什么？（1）（2）解：（1）不相同.因為，而，兩個函數對應法則不同，所以與不相同.（2）不相同，因為，，兩個函數的定義域不同，所以與不相同.【課堂練習】例1函數稱為符號函數，請指出它的定義域和值域.解：它的定義域為，值域是.例2求下列函數的定義域.（1）（2）解：（1）要使有意義，必須，解得，所以該函數的定義域為.（2）要使有意義，必須，解得，所以該函數的定義域為.【問題思考】設的定義區間為，求下列各函數的定義域.（1）（2）（3）（4）【知識小結】1、理解函數的概念和性質；2、會求函數的定義域.【課后作業】習題1.11.（1）（2）2.（1）（2）3.（2）（4）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第1章1.1函數的概念及其性質教學目標了解函數特性；會求反函數與復合函數.教學重點反函數,復合函數.教學難點復合函數教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入基本初等函數的圖像重點與難點講解方法數形結合教學小結知識小結1、會利用函數的性質解題；2、會求反函數及復合函數.教后札記改進措施課后作業習題1.15.（1）（2）教學過程：一、知識回顧回顧函數的概念.二、新課導入中學階段所學的基本初等函數的性質和圖像.三、新課內容1、函數的簡單性質1）函數的有界性設函數在上有定義，若存在正數，使對于任何，都有，則稱函數在上有界；否則，稱為無界.若一個函數在它的整個定義域內有界，則稱該函數為有界函數.有界函數的圖形必位于兩條直線與之間.2）函數的單調性設函數在上有定義，任取兩點，當時，有，則稱函數在上是單調增加的；當時，有，則稱函數在上是單調減少的.單調增加或單調減少的函數，它們的圖形分別是沿軸正向逐漸上升或下降，分別如圖1.5（a）和（b）所示.SHAPE（a）（b）圖1.5單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數.若函數在其定義域內的某個區間內是單調的，則稱這個區間為函數的單調區間.3）函數的奇偶性設函數的定義域關于原點對稱.若任取，都有，則稱是上的偶函數.若任取，都有，則稱是上的奇函數.從幾何圖形上看，偶函數的圖像關于軸對稱，奇函數的圖像關于原點對稱.4）函數的周期性設函數的定義域為，若存在正數,使于任何，有,且，則稱函數是為周期函數，稱為的周期.通常我們說的周期函數的周期是指其最小正周期.2、反函數和復合函數1）反函數定義1.2設給定是的函數，若把當作自變量，當作函數，則由關系式所確定的函數稱為函數的反函數，記作：，也常記作：，.由定義可知，與互為反函數.我們習慣上，用表示自變量，表示因變量，所以反函數常習慣地表示成的形式.注：（1）函數與其反函數是表示同一個函數.（2）求反函數的方法：給出一個函數，要求其反函數，只要把用表示出來，再交換與的位置即可.2）復合函數定義1.3設是的函數，而又是的函數，且當在的定義域（或該定義域的一部分）內取值時，對應的值使有定義，則稱是的一個定義于的復合函數，記作：，稱為外層函數，為內層函數，為中間變量，為自變量，為因變量.注：（1）函數與函數構成的復合函數通常記為，即.（2）不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的.只有當函數的定義域與函數的值域有公共部分時，兩個函數與才能復合成函數；否則，這兩個函數就不能復合.（3）有時我們會遇到兩個以上的函數構成的復合函數.1.1.4函數的四則運算設函數的定義域分別為，，則我們可以定義這兩個函數具有下列運算：和（差）:.積:.商：，.3、基本初等函數1)常數函數（為常數）.2)冪函數（為常數）.3)指數函數（且）.4)對數函數（且）.5)三角函數.6)反三角函數.這六種函數統稱為基本初等函數，已在中學數學中學過，它們的定義域、值域、圖形、性質等參見附錄2.4、初等函數由基本初等函數經過有限次四則運算和有限次復合運算所構成的，且可用一個解析式表示的函數稱為初等函數.否則，稱為非初等函數.今后我們討論的函數，絕大多數都是初等函數.【例題精講】例1正弦函數是有界函數，因為它在定義域內，總有.例2是偶函數，因為其定義域為，且；是奇函數，因為其定義域為，且.例3求的反函數.解：由解得，交換與，得，即為所求反函數.可以證明，函數的圖形與的圖形關于直線對稱.例4設，，試寫出，的表達式.解：，.【課堂練習】例1在上單調減少，為單調減少區間；在上單調增加，為單調增加區間，但該函數在上不是單調函數.例2函數可以看成由哪些函數復合而成？解：原函數可以看成下列三個函數的復合：，，，其中與為中間變量.【問題思考】設函數的定義域為，求函數的定義域.【知識小結】1、會利用函數的性質解題；2、反函數及復合函數.【課后作業】習題1.15.（1）（2）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第1章1.2函數的極限教學目標理解數列的極限，理解函數的極限，會求左右極限.教學重點極限存在的充要條件教學難點函數極限的概念教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入極限概念是自始至終貫穿于微積分的重要概念，它是研究微積分的重要工具，如微積分中的導數、定積分等概念都是通過極限來定義的，因此，掌握極限的思想與方法是學好微積分的前提條件.重點與難點講解方法（1）；（2）；（3）都是數列，它們的通項分別為，，.對于數列，我們主要關注的是，當它的項數無限增大時，它的變化趨勢.教學小結知識小結1、會求左右極限；2、極限存在的充要條件.教后札記改進措施課后作業習題1.21.2.教學過程：一、知識回顧數列的概念二、新課導入極限概念是自始至終貫穿于微積分的重要概念，它是研究微積分的重要工具，如微積分中的導數、定積分等概念都是通過極限來定義的，因此，掌握極限的思想與方法是學好微積分的前提條件.三、新課內容1、數列的極限1）數列的概念定義1.4定義在正整數集上的函數，其函數值按自變量增大的次序排成一列數稱為數列，記作：.其中稱為數列的首項，稱為數列的一般項或通項.2）數列的極限定義1.5設有數列和常數.若當無限增大時，無限趨近于，則稱是數列的極限（或稱數列收斂于），記作：或，否則，則稱數列的極限不存在，或者說數列是發散的.數列極限的幾何解釋：將常數和數列的各項在數軸上用對應的點表示，若數列收斂于，則表示隨著項數越來越大，在數軸上表示的點從點的一側（或兩側）就越來越接近，如圖1.6所示.圖1.6SHAPE若數列收斂，則該數列有如下性質：性質1（唯一性）若數列收斂，則該數列的極限唯一.性質2（有界性）若數列收斂，則該數列一定有界.定理1.1（單調有界原理）單調有界數列必有極限.推論無界數列一定發散.注：有界數列不一定收斂，發散數列不一定無界.2、函數的極限對于給定的函數，因變量隨著自變量的變化而變化.若當自變量無限接近于某個目標（數或無窮大）時，因變量無限接近于一個確定的常數A，則稱函數以A為極限.下面我們根據自變量無限接近于不同的目標，分別介紹函數的極限.1）當時，函數的極限定義1.6設函數對于絕對值無論多大的是有定義的，若當無限增大（即）時，函數無限趨近于一個確定的常數，則稱常數為函數當時的極限，記作：或.有時需要區分趨于無窮大的符號，我們將取正值無限增大，記作：；將取負值其絕對值無限增大，記作：.類似地，若當（或）時，函數無限趨近于一個確定的常數，則稱常數為函數當（或）時的極限，記作：（或）.定理1.2的充分必要條件是且.2）當時，函數的極限定義1.7設函數在點的某鄰域內有定義（可以除外），若當無限趨近于（）時，函數無限趨近于一個確定的常數，則稱常數為函數當時的極限，記作：或.注：（1）極限研究的是當時，的變化趨勢，與在處有無定義無關.（2）是指從的左右兩側趨近于.定義1.8若當從的左側無限趨近于（即）時，函數無限趨近于一個確定的常數，則稱常數為函數當從左側無限趨近于（即）時的左極限，記作：或.類似地，若當從的左側無限趨近于（即）時，函數無限趨近于一個確定的常數，則稱常數為函數當從左側無限趨近于（即）時的左極限，記作：或.左極限和右極限通稱為單側極限.定理1.3的充分必要條件是且.【例題精講】例1將下列數列在數軸上表示出來，并討論其收斂性.（1）（2）（3）解：將數列（1）（2）（3）在數軸上分別表示出來，如圖所示：從數軸上可以看出，數列（1）（3）的極限不存在，它們是發散數列；數列（2）的極限是常數1，記作：.例2函數的圖形如圖所示，試判斷其極限情況.解：從圖可以看出，，，所以，即當時，以0為極限.例3當與時，的變化趨勢，并判斷當時，的極限是否存在？解：由圖可得，，，由定義1.6可知，當時，無法與一個確定的常數接近，所以當時，的極限不存在.例4設函數，畫出該函數的圖形，并判斷是否存在？解：如圖1.12所示，，，由定理1.3可知，不存在.【課堂練習】例1設函數，判斷是否存在？解：，，由定理1.3可知，例2設函數，討論和是否存在？解：因為，，所以；又，，所以不存在.【問題思考】思考①，②③在時的極限值以及函數值的情況。【知識小結】1、會求左右極限；2、極限存在的充要條件.【課后作業】習題1.21.2.四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第1章1.2函數的極限教學目標理解函數極限的性質，無窮小量與無窮大量.教學重點理解和判斷無窮小量與無窮大量教學難點無窮小量的比較教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入求極限；；，我們發現共同點即極限值為0.重點與難點講解方法數形結合教學小結知識小結1、函數極限的性質；2、無窮小量與無窮大量的概念.教后札記改進措施課后作業習題1.23.（1）（2）（3）（4）（5）（6）教學過程：一、知識回顧函數極限的概念二、新課導入求極限；；，我們發現共同點即極限值為0.三、新課內容1、函數極限的性質性質1（唯一性）若存在，則該函數的極限唯一.性質2（有界性）若存在，則存在點的某個去心領域，在該去心鄰域內函數有界.性質3（保號性）若且（或），則存在點的某去心鄰域，在該去心鄰域內（或）.推論若在點的某去心鄰域內，（或），且，則（或）.性質4（夾逼準則）若在點的某去心鄰域內，有，，則.2、無窮小量與無窮大量1）無窮小量定義1.9在自變量的某一變化過程中（當或時），極限為零的函數稱為無窮小量（簡稱無窮?。?，即若，則稱當（或）時，是無窮小量.注：（1）無窮小量（除0以外）是極限為0的變量，而不是很小的數.（2）常量0是無窮小量，而無窮小量不是0.（3）無窮小量是相對于自變量的變化過程而言的.性質1有限個無窮小量的代數和是無窮小量.性質2有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量.推論常數與無窮小量的乘積是無窮小量.性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量.定理1.4的充分必要條件是，其中是無窮小量（時）.2）無窮大量定義1.10在自變量的某一變化過程中（當或時），絕對值無限增大的函數稱為為無窮大量（簡稱無窮大），即若，則稱當（或）時，是無窮大量.當或時為無窮大的函數，按照函數極限的定義來說，它的極限是不存在的，但是為了方便敘述函數這一性質時，我們也可以說“函數的極限是無窮大”，并記作：（或）.注：（1）無窮大量是一種特殊的無界變量，而不是很大的數；（2）無窮大量的代數和未必是無窮大量；（3）無界變量未必是無窮大量；（4）無窮大量是相對于自變量的變化過程而言的.3）無窮小量與無窮大量的關系定理1.5在自變量的同一變化過程中，若是無窮大量，則是無窮小量；若是非零無窮小量，則是無窮大量.4）無窮小量的比較例如，當時，都是無窮小量，而，兩個無窮小量之比的極限的各種不同情況，反映了不同的無窮小量趨于零的“快慢”程度.定義1.11設、是在自變量的同一變化過程中的兩個無窮小量，（1）若，則稱是比高階的無窮小量，記作：；（2）若，則稱是比低階的無窮小量；（3）若（為非零常數），則稱與是同階無窮小量；（4），那么稱與是等價無窮小量，記作：.【例題精講】例1求極限.解：因為，又，，所以由夾逼準則，得.例2設函數和，且它們的圖形分別如圖1.13和1.14所示，求和.解：從圖中可以看出：，.圖1.13圖1.14例3求（1）；（2）.解：（1）因為，所以；（2）因為，所以.【課堂練習】例1指出下列函數哪些是無窮小量？哪些是無窮大量？（1）（）（2）()（3）()（4）()解：因為，，，，所以（1）和（2）是無窮大量，（3）和（4）是無窮小量.【問題思考】當時，都是無窮小量，而是為什么？【知識小結】1、函數極限的性質；2、無窮小量與無窮大量的概念.【課后作業】習題1.23.（1）（2）（3）（4）（5）（6）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第1章1.2函數的極限教學目標掌握用極限的運算法則求極限，會利用等價無窮小求極限.教學重點極限的運算法則教學難點利用等價無窮小求極限教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入初等函數的多樣性決定了極限計算的靈活性.重點與難點講解方法舉例詳講教學小結知識小結1、掌握用極限的運算法則求極限；2、會利用等價無窮小求極限.教后札記改進措施課后作業習題1.24.（1）（3）（5）（7）6.（1）（2）教學過程：一、知識回顧無窮大量與無窮小量二、新課導入初等函數的多樣性決定了極限計算的靈活性.三、新課內容1、極限的運算1）極限的運算法則設極限和都存在，則（1）函數和的極限等于極限的和：；（2）函數差的極限等于極限的差：；（3）函數積的極限等于極限的積；；（4）常數倍函數的極限等于函數極限的常數倍：（為常數）；（5）函數商的極限等于極限的商，但要求分母函數的極限不為零：（）；（6）函數乘方的極限等于函數極限的乘方：（其中為正整數）；（7）函數開方的極限等于函數極限的開方：（其中為正整數，當為偶數時，）.注：（1）極限的運算法則中的（1）（2）（3）可推廣到有限個函數的情形；（2）利用該運算法則時要求各函數的極限都要存在.2）利用極限的運算法則求極限下面介紹幾個基本極限公式：（1）（為常數）；（2）；（3）（由乘方性質可得到，其中為正整數）；（4）（其中為正整數，且當為偶數時，假設）.定理1.7對于多項式函數和有理函數（多項式函數之商），當時，將帶入函數式得到的函數值等于函數的極限值，即（其中為多項式函數）；（其中都是多項式函數，并且）.綜上所述，我們可以得到這樣的結論：當為非負整數，為非零常數時，則有上面的結論在求極限時可直接運用.3、利用等價無窮小因子替換求極限.由定義，那么稱與是等階無窮小量，記作：.關于等價無窮小量，我們有下面等價代換法則.定理1.6若，且存在，則.證明：可以證明，當時，常見的等價無窮小量有：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）利用等價代換法則可以簡化極限的計算.【例題精講】例1求極限.解：.例2求極限.解：.例3求極限.分析：令，因為在處有定義，所以可用直接代入法求出極限.解：.例4求極限.分析：令，因為在處無定義，所以不能用直接代入法求極限，但是可用無窮大和無窮小的關系求出極限.解：，由無窮大與無窮小的關系可知，當時，是無窮大，即.例5求極限.分析：令，因為在處無定義，所以不能用直接代入法求極限，但是我們考慮的是無限趨近于1時的極限，當趨近于1時滿足，因此此題可用化簡法求出極限.解：.例6求極限.分析：當時，函數的分子分母的極限都為零，所以不能用直接代入法求極限，但是我們可先將分母有理化后再求極限.解：.例8求下列各極限.（1）（2）（3）解：（1）.（2）.（3）因為，所以由無窮大與無窮小的關系，可知.例9.例10.例11.【課堂練習】例1求極限.解：.例2求極限.解：因為當時，是無窮小量，是有界變量，所以.例3求極限.解：因為當時，是無窮小量，是有界變量，所以.例4求.解：.【問題思考】求極限.分析：此例不能直接運用極限運算法則，但只要利用等比數列求和公式求出函數之和后，就能求出極限.【知識小結】1、掌握用極限的運算法則求極限；2、會利用等價無窮小求極限.【課后作業】習題1.24.（1）（3）（5）（7）6.（1）（2）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第1章1.2函數的極限教學目標利用兩個重要極限公式求極限教學重點兩個重要極限公式教學難點兩個重要極限公式教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入等價無窮小的概念.重點與難點講解方法講練結合教學小結知識小結1、；2、.教后札記改進措施課后作業習題1.25.（1）（3）（5）教學過程：一、知識回顧極限的運算二、新課導入等價無窮小的概念三、新課內容1、利用兩個重要極限公式求極限（1）（2）（其中是無理數，）對于以上兩個極限公式，只要求大家會利用這兩個極限公式求一些極限.注：在利用重要極限求極限時，關鍵在于把要求的極限化成重要極限的標準型或它們的變形，這就要抓住重要極限的特征.對于，它表示無窮小量的正弦和它自己的比；對于，它形如，其中無窮小量與無窮大量必須是互為倒數的形式.兩個公式還有相關的另外兩種形式：（1），（2）.【例題精講】例1求極限.解：.例2求極限.解：.例3求極限.解：.例4求極限.解：.【課堂練習】例1求極限.解：.例2求極限.解：.【問題思考】已知為常數，且，求的值.【知識小結】1、2、【課后作業】習題1.25.（1）（3）（5）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第1章1.3函數的連續性教學目標理解連續的概念，會判斷間斷點的類型.教學重點連續的概念教學難點間斷點的類型教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入在許多實際問題中，變量的變化都是連續的，連續性是自然界中各種物態連續變化的數學體現，如水的連續流動、身高的連續增長、氣溫的變化等，這些不間斷的現象反映在函數中，就是函數的連續性.重點與難點講解方法講練結合教學小結知識小結連續的概念；間斷點的類型.教后札記改進措施課后作業習題1.31.2.（1）（2）教學過程：一、知識回顧兩個重要的極限公式（1）（2）（其中是無理數，）.二、新課導入在許多實際問題中，變量的變化都是連續的，連續性是自然界中各種物態連續變化的數學體現，如水的連續流動、身高的連續增長、氣溫的變化等，這些不間斷的現象反映在函數中，就是函數的連續性.三、新課內容1、函數連續的定義定義1.13設函數在點的某鄰域內有定義，若，則稱函數在點處連續.定義1.14設函數在點的某左半鄰域（或右半鄰域）內有定義（含在內），若，則稱函數在點處左連續；若，則稱函數在點處右連續.由函數在一點處連續的定義和極限存在的充要條件，有下面的定理：定理1.8函數在點處連續的充分必要條件是函數在點處既左連續又右連續，即.若函數在開區間內的每一點都連續，，則稱在開區間內連續.若函數在開區間內連續，且在點處右連續，在點處左連續，則稱在閉區間上連續.2、函數的間斷點根據函數在點處連續的定義可知，若函數在點處連續，則必須同時滿足下面三個條件：1）函數在點處有定義；2）極限存在；3）極限等于.當三個條件中有任何一個不成立時，我們就說函數在點處就不連續，此時點稱為函數的間斷點或不連續點.設函數在點處間斷，我們通常根據在點處的左極限和右極限將間斷點分為兩大類:1）若和都存在，則稱點為的第一類間斷點，它包括可去間斷點和跳躍間斷點.（1）可去間斷點：和存在且相等（即存在），但不等于或在點處無定義；注：不論在點處有無定義，但是只要補充定義，就可使在點處連續，“可去”的意義就在于此.（2）跳躍間斷點：在點處左右極限存在，但不相等.2）若和至少有一個不存在，稱點為的第二類間斷點，它包括無窮間斷點和振蕩間斷點.（1）無窮間斷點：在點處無定義，且和至少有一個是無窮大；（2）振蕩間斷點：在點處無定義，且當時，的值在兩個常數間變動無限多次.【例題精講】例1討論函數在點處的連續性.解：因為，，，即，所以函數在處連續.例2討論函數在處的連續性.解：因為，但，即，所以點是的可去間斷點.若改變在處的定義，令，即，也就是，則此時點就是的連續點.例3討論函數在點處的連續性.解：因為，，所以點是的跳躍間斷點.例4討論函數在處的連續性.解：因為在處無定義，且，，所以點是的無窮間斷點.例5討論函數在處的連續性.解：因為在處無定義，且當時，的值在和之間變動無限多次，所以點是的振蕩間斷點.例6討論函數在處的連續性.解：因為在處無定義，且，，所以點是的無窮間斷點.例7討論函數在處的連續性.解：因為在處無定義，且當時，的值在和之間變動無限多次，所以點是的振蕩間斷點.【課堂練習】例1討論函數在處的連續性.解：因為，但在處無定義，所以是的可去間斷點.若補充在處的定義，令,即，則此時點就是的連續點.例2討論函數在點處的連續性.解：因為，，所以點是的跳躍間斷點.【問題思考】設函數，問常數為何值時，函數在內連續.【知識小結】1、連續的概念；2、間斷點的類型.【課后作業】習題1.31.2.（1）（2）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第1章1.3函數的連續性教學目標理解初等函數的連續性和閉區間上連續函數的性質.教學重點閉區間上連續函數的性質教學難點閉區間上連續函數的性質教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入基本初等函數在它們的定義域內都是連續函數；一切初等函數在其定義區間（即包含在定義域內的區間）內都是連續的.重點與難點講解方法數形結合教學小結知識小結1、初等函數的連續性；2、閉區間上連續函數的性質.教后札記改進措施課后作業習題1.32.3.4.6.教學過程：一、知識回顧1、連續性的概念;2、間斷點的類型.二、新課導入基本初等函數在它們的定義域內都是連續函數；一切初等函數在其定義區間（即包含在定義域內的區間）內都是連續的.三、新課內容1、初等函數的連續性基本初等函數在它們的定義域內都是連續函數；一切初等函數在其定義區間（即包含在定義域內的區間）內都是連續的.因此，求初等函數的連續區間，就是求其定義區間.根據初等函數連續性的結論，提供了一個求初等函數極限的簡捷方法，即若是初等函數，且是定義區間內的點，則.關于分段函數的連續性，除按上述結論考慮每一段函數的連續性外，還必須討論分段點處的連續性.2、閉區間上連續函數的性質閉區間上連續函數的性質的證明涉及到的知識面很廣，在此，我們只給出結論而不予以證明.定理1.12（最大值和最小值定理）若函數在閉區間上連續，則函數在閉區間上必有最大值和最小值.圖1.16例如，如圖1.16所示，函數在處取得最小值，在處取得最大值.注：（1）若函數只在開區間上連續，則定理1.12的結論就不一定成立.例如，函數在連續，但它在既無最大值也無最小值.（2）若函數在閉區間上有間斷點（即不連續），則定理1.12的結論也不一定成立.由定理可以得到下面的推論：推論若函數在閉區間上連續，則函數在閉區間上有界.定理1.13（介值定理）設函數在閉區間上連續，且，則對于與之間的任何數，至少存在一點，使得.即閉區間上的連續函數，當從變化到時，要經過與之間的一切數值.推論1在閉區間上的連續函數必能取得介于最大值和最小值之間的任何值.推論2（零點存在定理）設函數在閉區間上連續，且,則至少存在一點，使得.證明：由可知，與異號，零是介于與之間的一個數，由介值定理可知，在內至少有一點，使得.推論2中的顯然就是方程的一個根，這在解方程時可以幫助我們確定方程根的大體位置或判定方程在某一范圍內是否有解.【例題精講】例1如圖所示，函數在閉區間上既無最大值也無最小值.例2證明:方程至少有一個實根介于1和2之間.證明：令，則在上連續.又,，即，由零點存在定理可知，至少有一個實根，使，即，所以方程至少有一個實根介于1和2之間.【課堂練習】例1試證：方程至少有一個實根介于1和2之間.證明：令，則在上連續.又,，即，由零點存在定理可知，至少有一個實根，使，即，所以方程至少有一個實根介于1和2之間.【問題思考】請問初等函數僅在其定義區間內連續，但在其定義域內一定連續嗎？【知識小結】1、初等函數的連續性；2、閉區間上連續函數的性質.【課后作業】習題1.32.3.4.6.四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第2章2.1導數的概念教學目標理解導數的概念，會用導數的概念求導函數.教學重點導數的概念教學難點導數的概念教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入微分學是高等數學的重要組成部分，它的基本概念是導數和微分，而導數和微分的概念是建立在極限概念的基礎上的，其基本任務是解決函數的變化率問題及函數的增量問題.重點與難點講解方法講練結合教學小結知識小結1、導數的概念；2、會用導數的定義求導函數.教后札記改進措施課后作業習題2.11.（1）2.教學過程：一、知識回顧極限知識二、新課導入微分學是高等數學的重要組成部分，它的基本概念是導數和微分，而導數和微分的概念是建立在極限概念的基礎上的，其基本任務是解決函數的變化率問題及函數的增量問題.三、新課內容1、導數的引入——切線問題圖2.1設曲線是函數的圖形，如圖2.1所示，求在給定點處的切線的斜率.過點及點引割線，則的斜率為當沿著曲線C趨向于時，割線的極限位置是直線，這正是曲線在點處的切線.因此，切線的斜率為.通過上面的考察看到，函數增量與自變量增量之比表示函數的平均變化率，若當自變量增量趨于零，增量之比的極限存在，則這個極限就是函數曲線過定點的切線斜率.當函數是路程函數時，這個極限就是瞬時速度.下面我們把“增量之比的極限”抽象出來作為導數的定義.2、導數的概念：函數在點處的導數定義2.1設函數在點的某鄰域內有定義，當自變量在處有增量（）時，相應的函數值有增量，若當時，的極限存在，即（2.1）存在，則稱此極限值為函數在處的導數，并稱函數在處可導，記作：或或或，即.若不存在，則稱函數在點處不可導；若（導數不存在），為方便起見，也稱函數在點處的導數為無窮大.稱為在區間上的平均變化率，導數也稱為在處的瞬時變化率（簡稱變化率）.由定義2.1可知，前面兩個引例中瞬時速度，切線斜率.3、導函數的概念：函數在區間內的導數定義2.2若函數在區間內每一點都可導，則稱函數在區間內可導.這時函數對于區間內每一個確定的值，都有一個確定的導數值與之對應，這樣就構成了一個新的函數，這個函數稱為函數的導函數，記作：或或或，即.顯然，函數在處的導數就是導函數在點處的函數值，即，在不致混淆的情況下，導函數可簡稱為導數.4、根據導數的定義求函數在點處的導數有以下三個步驟：第一步：求增量（函數改變量）.第二步：求比值（平均變化率）.第三步：求極限（瞬時變化率）.導數反應的是函數在點處的變化率.若在式（2.1）中令，則；當時，有，于是導數定義中式（2.1）可寫成：（2.2）注：函數在點處的導數的兩種表示方法（2.1）和（2.2）是等價的，后面我們會經常用到.【例題精講】例1設函數，求和.解：由導數的定義，得，所以.【課堂練習】例1求曲線在點處的導數.解：因為，所以.【問題思考】導數存在的充分必要條件？【知識小結】1、導數的定義,；2、根據導數的定義求導?！菊n后作業】四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第2章2.1導數的概念教學目標理解單側導數的概念，理解導數的幾何意義，理解可導與連續的關系.教學重點可導與連續的關系教學難點可導與連續的關系教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入單側極限重點與難點講解方法講練結合教學小結知識小結1、單側導數和導數的幾何意義；2、可導與連續的關系.教后札記改進措施課后作業習題2.14.5.8.教學過程：一、知識回顧1、導數的定義,；2、根據導數的定義求導。二、新課導入單側極限三、新課內容1、單側導數定義2.3若存在，則稱此極限值為在點處的左導數，記作：；若存在，則稱此極限值為在點處的右導數，記作：.左導數和右導數統稱為在點處的單側導數.在中，若令，則；當時，有，于是；同理，可得.由函數在一點處導數的定義和極限存在的充要條件可知，函數在點處可導的充分必要條件是左導數與右導數都存在且相等，即（其中為有限數）.若函數在開區間內可導，且和都存在，則在閉區間上可導.2、導數的幾何意義由前面的討論可知，函數在點處的導數就是曲線在點(其中)處的切線的斜率，即，其中是該點處切線與軸的夾角.根據導數的幾何意義并運用直線的點斜式方程可知，曲線在點處的切線方程為.過點且與該點處的切線垂直的直線，稱為曲線在點處的法線.若，則曲線在點處的法線的斜率的為，且法線方程為.若，則曲線在點處的切線平行于軸，切線方程為，法線方程為；若，則曲線在點處的切線垂直于軸，切線方程為，法線方程為.3、函數的可導性與連續性的關系定理2.1若函數在點處可導，則在點處連續.注：此定理的逆命題不一定成立，即可導一定連續，連續不一定可導.【例題精講】例1求曲線在點處的切線方程和法線方程.解：因為，所以.由導數的幾何意義可知，曲線在點處的切線斜率為，所以所求的切線方程為，即，法線方程為，即.例2證明：函數在處連續但不可導.證明：因為函數在內連續，顯然該函數在處連續.又，所以函數在處不可導.【課堂練習】例1討論函數在處的連續性和可導性.解：因為，，即.又，于是，所以由連續的定義可知，函數在處連續.又在處的左右導數分別為：，，即，所以在點處不可導.【問題思考】可導與連續的關系？【知識小結】1、單側導數和導數的幾何意義；2、可導與連續的關系.【課后作業】習題2.14.5.8.四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第2章2.2導數的基本公式與運算法則教學目標靈活運用導數基本公式求導，會用求導法則求導.教學重點導數的運算教學難點導數的運算教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入根據導數的定義，求函數的導數有以下幾個步驟：第一步：求增量.第二步：求比值.第三步：求極限.下面我們按照導數的定義求一些基本初等函數的導數.重點與難點講解方法講練結合教學小結知識小結1、基本初等函數的導數公式；2、函數的和、差、積、商的求導法則.教后札記改進措施課后作業習題2.21.（1）（2）（3）（4）（5）（6）教學過程：一、知識回顧1、單側導數和導數的幾何意義；2、可導與連續的關系.二、新課導入根據導數的定義，求函數的導數有以下幾個步驟：第一步：求增量.第二步：求比值.第三步：求極限.下面我們按照導數的定義求一些基本初等函數的導數.三、新課內容1、基本初等函數的導數公式1）基本初等函數的導數序號導數公式序號導數公式1（為常數）23（且）45（且）6789101112131415162）反函數的求導法則定理2.2若函數在點的某鄰域內單調連續，且，則它的反函數在對應點處可導，且.上面的定理可簡述為：反函數的導數等于直接函數的導數（不為零）的倒數.我們可以利用反函數的求導法則求反三角函數的導數或指數函數的導數.2、函數的和、差、積、商的求導法則定理2.3若函數及都在點處可導，則它們的和、差、積、商（除分母為零的點外）都在點處可導，且（1）；（2）；（3）.法則（1）、（2）可推廣到任意有限個可導函數的情形，見推論1和推論2.推論1若函數，，，在點處可導，則.推論2若函數，，，在點處可導，則.推論3若函數在點處可導，且為常數，則.推論4若函數在點處可導，且，則.【例題精講】例1求函數（為常數）的導數.解：因為，，，所以.例2求函數（且）的導數.解：因為，，，所以.特別地，當時，.例3求函數的導數.解：因為，，，所以.類似地，可求出.例4求函數的導數.解：.例5求函數的導數.解：.例6求函數的導數.解：.【課堂練習】例1求函數（且）的導數.解：因為，，，令，則；當時，，于是，所以.特別地，當時，.例2求函數的導數.解：.【問題思考】如何求復合函數的導數？【知識小結】1、基本初等函數的導數公式；2、函數的和、差、積、商的求導法則【課后作業】習題2.21.（1）（2）（3）（4）（5）（6）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第2章2.2導數的基本公式與運算法則教學目標會對復合函數求導教學重點復合函數求導教學難點復合函數求導教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入復合函數的分解，函數可以看成由哪些函數復合而成？重點與難點講解方法講練結合教學小結知識小結復合函數求導教后札記改進措施課后作業習題2.22.（1）（3）（5）（7）教學過程：一、知識回顧1、基本初等函數的導數公式；2、函數的和、差、積、商的求導法則.二、新課導入函數可以看成由哪些函數復合而成？解：原函數可以看成下列三個函數的復合：，，，其中與為中間變量.三、新課內容復合函數的求導法則定理2.4若在點處可導，而在點處可導，則復合函數在點處可導，且其導數為或或.例如，設函數，則是否正確？顯然，這是錯誤的.事實上，由函數乘積的求導法則，有.導致錯誤的原因是什么？這是因為是關于的復合函數，復合函數有自己的求導法則.在求復合函數的導數時，其關鍵是弄清楚復合函數的結構，把它分解成基本初等函數或基本初等函數的四則運算，并恰當地設中間變量，然后再用復合函數的求導法則求出導數.由定理2.4可知，復合函數的導數等于復合函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.復合函數的求導法則可以推廣多個中間變量的情形，下面以兩個中間變量為例.設，，，則，而，所以復合函數的導數為.當然，這里要求上式所需的可導條件都滿足.復合函數求導熟練后，就不必再寫中間變量，但是在求導時，每一步都必須弄清楚誰是中間變量，誰是自變量.【例題精講】例1求函數的導數.解：這個函數可以看作是由，復合而成，則.例2求函數的導數.解：這個函數可以看作是由，復合而成，則.例3求函數的導數.解：.【課堂練習】例1求函數的導數.解：例2求函數的導數.解：.【問題思考】如何求隱函數的導數？【知識小結】復合函數求導【課后作業】習題2.22.（1）（3）（5）（7）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第2章2.3特殊函數求導法及高階導數教學目標會對隱函數求導、會用對數求導法求導數教學重點隱函數求導法,對數求導法教學難點對數求導法教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入將隱函數化為顯函數，稱為隱函數的顯化.但是有些隱函數的顯化卻很困難甚至不可能，例如由方程確定的隱函數就不能化為顯函數.對于求由方程所確定的隱函數關于的導數，當然不能完全寄希望于把它顯化，關鍵是要能從直接把求出來.重點與難點講解方法講練結合教學小結知識小結1、隱函數求導法；2、對數求導法.教后札記改進措施課后作業習題2.31.（1）（3）2.（2）（4）教學過程：一、知識回顧復合函數的分解與求導二、新課導入將隱函數化為顯函數，稱為隱函數的顯化.但是有些隱函數的顯化卻很困難甚至不可能，例如由方程確定的隱函數就不能化為顯函數.對于求由方程所確定的隱函數關于的導數，當然不能完全寄希望于把它顯化，關鍵是要能從直接把求出來.三、新課內容1、隱函數求導法前面我們遇到的函數，例如，等，這種函數的表達方式總是用自變量的一個表達式來表示因變量,我們把形如的函數稱為顯函數.有些函數的表達方式卻不是這樣，例如方程，等都表示函數，但是這里的函數關系是隱含在方程中的，我們把形如的函數稱為隱函數.將隱函數化為顯函數，稱為隱函數的顯化.例如，可以由方程解出，這樣就把隱函數化成了顯函數，但是有些隱函數的顯化卻很困難甚至不可能，例如由方程確定的隱函數就不能化為顯函數.對于求由方程所確定的隱函數關于的導數，當然不能完全寄希望于把它顯化，關鍵是要能從直接把求出來.下面通過具體例子來說明這種方法.一般地，在隱函數的導數表達式中，既含有自變量，又含有因變量，通常不能也不須求得只含自變量的表達式.隱函數求導的方法：在方程中，將看作是的函數，方程兩邊對求導，得到一個關于，與的方程，解出，即所求隱函數的導數.2、對數求導法根據隱函數求導法，我們還可以得到一個簡化求導的運算方法，它適合于由幾個因子通過乘、除、乘方、開方運算所構成的比較復雜的函數（包括冪指函數）的求導問題.這個方法是先通過取對數化乘（除）為加（減），化乘（開）方為乘積，使其成為隱函數，再利用隱函數求導法求導，我們稱這種方法為對數求導法.【例題精講】例1求由方程所確定的隱函數的導數.解：假設從方程中可解出，代入原方程，有，把看成的函數，上式兩邊都對求導，則有，從上式中解出，得，即.例2求由方程所確定的隱函數的導數.解：方程兩邊分別對求導，得，解得.例3求函數的導數.解：該函數是冪指函數，雖然是顯函數的形式，但是不能直接用初等函數的求導方法來求導.可以先在兩邊取對數變成隱函數，再用隱函數求導的方法就可以求出這種函數的導數.方程兩邊分別取對數，得，上式兩邊分別對求導，得，解得，所以.【課堂練習】例1求曲線在點處的切線方程.解：方程兩邊分別對求導，得，解得.由導數的幾何意義可知，所求切線的斜率為，所以所求的切線方程為，即.例2求函數的導數.解：方程兩邊分別取對數，得，上式兩邊分別對求導，得，解得，所以.【問題思考】如何求參數方程的導數？【知識小結】1、隱函數求導法；2、對數求導法?！菊n后作業】習題2.31.（1）（3）2.（2）（4）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第2章2.3特殊函數求導法及高階導數教學目標會對由參數方程所確定的函數求導，會求高階導數.教學重點對由參數方程所確定的函數求導；高階導數。教學難點對由參數方程所確定的函數求導教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入一般地，若參數方程（為參數）確定與的函數關系，則稱此函數關系所表達的函數為由參數方程所確定的函數.例如，圓的參數方程、橢圓的參數方等.重點與難點講解方法講練結合教學小結知識小結1、對由參數方程所確定的函數求導；2、高階導數.教后札記改進措施課后作業習題2.33.（1）（3）4.（2）（4）教學過程：一、知識回顧1、隱函數求導法；2、對數求導法.二、新課導入一般地，若參數方程（為參數）確定與的函數關系，則稱此函數關系所表達的函數為由參數方程所確定的函數.例如，圓的參數方程為（），橢圓的參數方程為（）.三、新課內容1、由參數方程所確定的函數的求導法一般地，若參數方程（為參數）確定與的函數關系，則稱此函數關系所表達的函數為由參數方程所確定的函數.例如，圓的參數方程為（），橢圓的參數方程為（）.下面我們來討論由參數方程所確定的函數的求導方法.由參數方程（為參數）所確定的函數可以看成是由函數復合而成的函數.假定函數，都可導，且，根據復合函數的求導法則與反函數的求導法則，有，即.這就是由參數方程所確定的函數的求導公式.2、高階導數從前面已講的知道，變速直線運動的速度是距離對時間的導數，即，而速度也是時間的函數，它對時間的導數則是物體在時刻的瞬時加速度，即.一般地，函數的導數仍是的函數，稱為函數的一階導數.若一階導數仍可導，則稱的導數為的二階導數，記作：，，或.類似地，二階導數的導數稱為三階導數，三階導數的導數稱為四階導數，….一般地，函數的階導數的導數稱為階導數，三階以上的導數分別記作：或.函數具有階導數，也說成函數為階可導.二階及二階以上的導數統稱為高階導數.由上述可知，求高階導數只需應用一階導數的基本公式和求導法則重復進行求導運算即可.【例題精講】例1設橢圓的參數方程是（為參數），求.解：因為，，所以.例2求函數的二階導數.解：，.例3求函數（為常數）的階導數.解：，，，…，.【課堂練習】例1已知（為參數），求.解：因為，，所以.例2求函數的階導數.解：，，，…，.【問題思考】如何求函數的微分？【知識小結】1、對由參數方程所確定的函數求導；2、高階導數.【課后作業】習題2.33.（1）（3）4.（2）（4）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第2章2.4函數的微分教學目標理解微分的概念和幾何意義，會求函數的微分.教學重點微分的概念和幾何意義、微分的計算教學難點微分的概念教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入我們在研究實際問題中，不僅需要知道自變量變化引起函數變化的快慢問題，而且還需要了解當自變量取得了微小的改變量時，函數取得的相應改變量的大小.一般來說，計算函數改變量的精確值是比較繁難的，因此，往往需要為計算它的近似值而找出簡便的計算方法.重點與難點講解方法講練結合教學小結知識小結微分的概念和幾何意義；微分的計算.教后札記改進措施課后作業習題2.41.（1）（2）（3）（4）教學過程：一、知識回顧1、對由參數方程所確定的函數求導；2、高階導數.二、新課導入我們在研究實際問題中，不僅需要知道自變量變化引起函數變化的快慢問題，而且還需要了解當自變量取得了微小的改變量時，函數取得的相應改變量的大小.一般來說，計算函數改變量的精確值是比較繁難的，因此，往往需要為計算它的近似值而找出簡便的計算方法.三、新課內容1、微分的概念1）微分的引入我們在研究實際問題中，不僅需要知道自變量變化引起函數變化的快慢問題，而且還需要了解當自變量取得了微小的改變量時，函數取得的相應改變量的大小.一般來說，計算函數改變量的精確值是比較繁難的，因此，往往需要為計算它的近似值而找出簡便的計算方法.例如，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長為由變為，如圖2.4所示，問此薄片的面積改變了多少？圖2.4設此薄片的邊長為，面積為，則與存在函數關系.當薄片受溫度變化的影響時，面積的改變量可以看成是當自變量自取得增量時，函數相應的增量，即.從上式可看出，分成兩部分，第一部分，它是的線性函數，即圖中帶斜線的兩個矩形面積之和，第二部分在圖中是帶有交叉斜線的小正方形的面積.顯然，如圖2.4所示，是面積增量的主要部分，而是次要部分，當時，第二部分是比高階的無窮小，即.由此可見，若邊長改變很微小，即很小時，面積的改變量可近似地用第一部分來表示，，以此作為的近似值，略去是部分是比高階的無窮小，即.若函數在點處可導，則有，所以，其中是當時的無窮小量，于是有.上式說明，函數的增量可以表示為兩項之和，第一項是的線性函數，我們把它稱為的線性主部，第二項是當時比高階的無窮小量.當很小時，我們稱第一項為函數的微分.2）微分的定義定義2.4設函數在點有導數，則稱為函數在點處的微分，記作，即.這時也稱函數在處是可微分的，或稱函數在點處可微.此定義可簡述為：函數的微分等于函數的導數與自變量增量的乘積.通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作，因此函數可以寫成，從此式可得到，即函數的導數就是函數的微分和自變量的微分之商，因此導數也稱為微商.3）微分的幾何意義為了對微分有比較直觀的了解，我們來說明一下微分的幾何意義.圖2.5設函數的圖形，如圖2.5所示，是曲線上點處的切線，設的傾斜角為，當自變量有改變量時，得到曲線上另一點，從圖2.5可知，，，則，即.由此可知，微分是當有改變量時，曲線在點處的切線的縱坐標的改變量.用近似代替就是用點處的切線的縱坐標的改變量來近似代替曲線的縱坐標的改變量，并且有.4）可微與可導的關系函數在點處可微的充要條件是函數在點處可導，即一元函數可微與可導是等價的.2、微分的計算由微分的定義知：一個函數的微分就是它的導數與自變量微分的乘積．由可知，從前面的導數公式可得出相應的微分公式，例如，，這里不再列出微分的公式表.【例題精講】例1求函數的微分.解：因為，所以.例2求函數的微分.解：因為，所以.【課堂練習】例1求函數的微分.解：因為，所以.例2設參數方程為（為參數），利用微分求.解：因為，，所以.【問題思考】微分有哪些應用？【知識小結】1、微分的概念和幾何意義；2、微分的計算.【課后作業】習題2.41.（1）（2）（3）（4）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第2章2.4函數的微分教學目標利用微分在近似計算中的應用求函數值的近似值教學重點微分在近似計算中的應用教學難點微分在近似計算中的應用教學方法講授法教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入在實際問題中，經常利用微分作近似計算.重點與難點講解方法講練結合教學小結知識小結微分在近似計算中的應用教后札記改進措施課后作業習題2.43.（1）（2）（3）（4）教學過程：一、知識回顧1、微分的概念和幾何意義；2、微分的計算.二、新課導入在實際問題中，經常利用微分作近似計算.三、新課內容1、微分在近似計算中的應用在實際問題中，經常利用微分作近似計算.由微分的定義可知，（很?。矗?，此式為求函數值的近似公式，即已知之值，求附近的函數值.令且，則可寫成（很?。耸綖榍蟾浇瘮抵档慕乒?當很小時，常用的近似公式有1）2）3）4）5）【例題精講】例1計算的近似值.解：設，.由，有，取，，有.例2求的近似值.解：設，則.由，有，取，，有.【課堂練習】例1半徑為的金屬圓片加熱后，半徑伸長了，問：金屬圓片面積增大的精確值為多少？其近似值又為多少？解：金屬圓片面積增大的精確值：設圓面積為，半徑為，則.已知，，所以金屬圓片面積的增量為（）.金屬圓片面積增加的近似值：（），比較這兩種結果可知，其誤差還是較小的.【問題思考】多元函數的微分是怎樣的？【知識小結】微分在近似計算中的應用【課后作業】習題2.43.（1）（2）（3）（4）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第3章3.1中值定理和洛必達法則教學目標了解幾個中值定理的證明過程，靈活利用洛必達法則求極限教學重點利用洛必達法則求極限教學難點利用洛必達法則求極限教學方法講練結合教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入我們可否利用導數與微分這一方法來分析和研究函數的性質、圖形以及各種形態？重點與難點講解方法數形結合，通過圖形來講解說明相關定理教學小結知識小結了解幾個中值定理的證明過程洛必達法則教后札記改進措施課后作業習題3.11.（1）（2）（3）（4）2.3.教學過程：一、知識回顧導數的幾何意義？導數的求法？二、新課導入我們可否利用導數與微分這一方法來分析和研究函數的性質、圖形以及各種形態？三、新課內容1、拉格朗日（Lagrange）中值定理若函數在閉區間上連續，在開區間內可導，則在內至少有一點，使成立.羅爾(Rolle)中值定理若函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且，則在內至少有一點，使成立.柯西(Cauchy)中值定理若函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且在開區間內，則在內至少有一點，使成立.令，則，，，這時柯西中值定理就變成了拉格朗日中值定理，可見拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形.2、(洛必達法則I)若(1)，；(2)與在的某去心鄰域內可導，且；(3)存在，（或為），則．(洛必達法則Ⅱ)若(1)，；(2)與在的某去心鄰域內可導，且；(3)存在，（或為），則．在定理4.2.1和4.2.2中，若把換成，，，或時，只需對兩定理中的假設(2)作相應的修改，結論仍然成立．【例題精講】例1驗證拉格朗日中值定理對函數在閉區間上的正確性.解：顯然函數在上連續，又在內可導，即滿足拉格朗日中值定理的條件，所以該函數在內至少存在一點，使，即，得，這就說明了拉格朗日中值定理對函數在閉區間上是正確的.例2驗證羅爾中值定理對函數在閉區間上的正確性.解：顯然函數在上連續，又在內可導，且，即滿足羅爾中值定理的條件，所以該函數在內至少存在一點，使，即，得，這就說明了羅爾定理對函數在閉區間上是正確的.例3求極限.解：這是型不定式，由洛必達法則，得.例4求極限.解：這是型不定式，由洛必達法則，得.例5求極限.解：這是型不定式，由洛必達法則，得.【課堂練習】例1求極限.解：這是型不定式，由洛必達法則，得.例2求極限.解：這是型不定式，由洛必達法則，得.例3求極限.解：這是型不定式，由洛必達法則，得.【問題思考】求極限【知識小結】1、了解幾個中值定理的證明過程；2、洛必達法則.【課后作業】習題3.11.（1）（2）（3）（4）2.3.四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第3章3.1中值定理和洛必達法3.2函數的單調性和極值教學目標靈活利用洛必達法則求極限，會求函數的單調區間教學重點利用洛必達法則求極限，函數的單調性教學難點利用洛必達法則求極限，函數的單調性教學方法講練結合教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入極限重點與難點講解方法一定要先把定理說清楚，再把各種類型的例題精講，精練.教學小結知識小結1、洛必達法則；2、函數的單調性.教后札記改進措施課后作業習題3.11.（13）（14）習題3.23.（1）（3）教學過程：一、知識回顧洛必達法則和型未定式的求法二、新課導入極限三、新課內容1、如，，，，等不定式也可通過適當轉化，化成型或型的不定式后再計算.（1）型若，，則就構成了型不定式，它可以作如下變換：（型）或（型）.（2）型此類型可以通過通分轉化為型或型不定式.（3），，型此類型可以通過取對數進行如下轉化：.2、定理（函數單調性判別定理）設函數在閉區間上連續，在開區間內可導，則1）若對任意，有,則在上嚴格單調增加；2）若對任意，有,則在上嚴格單調減少.【例題精講】例1求極限.解：.例2求極限.解：.例3求極限.解：因為，而，所以.例4討論函數的單調性.解：如圖3.4所示，函數的定義域為，當時，；當時，函數的導數不存在．當時，；當時，，故函數在內單調減少，在內單調增加.例5求函數的單調區間.解：函數的定義域為.又，令，得.列表分析如下：所以函數的單調增加區間為，單調減少區間為.【課堂練習】例1求極限.解：因為，而，所以.例2求極限.解：（利用等價無窮小量代換）.例3求函數的單調區間.解：函數的定義域為，函數在整個定義域內可導，且.令，得.當時，；當時，，所以函數在上單調減少，在上單調增加.例4求函數的單調區間.解：函數的定義域為．又，令，得，.列表分析如下：1200所以函數的單調增加區間為和，單調減少區間為.【問題思考】例5中導數為0的點是最大值和最小值嗎？【知識小結】1、洛必達法則；2、函數的單調性.【課后作業】習題3.11.（13）（14）習題3.21.（1）（2）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第3章3.2函數的單調性和極值教學目標會求函數的極值點和單調區間教學重點函數的極值點和單調區間教學難點函數的極值點和單調區間教學方法講練結合教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入例5中導數為0的點是最大值和最小值嗎？重點與難點講解方法一定要說明極值點和最值點的區別與聯系，重點講解第一充分條件.教學小結知識小結函數的極值點和單調區間教后札記改進措施課后作業習題3.23.（1）（3）教學過程：一、知識回顧函數的單調區間的求法。二、新課導入例5中導數為0的點是最大值和最小值嗎？三、新課內容定義設函數在的某鄰域內有定義．若對該鄰域內任意一點（），都有（），則稱為的一個極大值（極小值），稱為極大值點（極小值點）．極值存在的必要條件若函數在點的某鄰域內可導且在處取得極值，則必有.定義使成立的點稱為的駐點.定理（極值的第一充分條件)設函數在點的某鄰域內可導且，則1）若當時，，而當時，，則在處取得極大值，是極大值點，為極大值.2)若當時，，而當時，，則在處取得極小值，是極小值點，為極小值.3)若當（）時，不變號，則不是極值點，不是極值.根據以上定理，我們可以歸納出求函數的單調性和極值的步驟如下：1）確定函數的定義域；2）求出一階導數以及在定義域內的駐點（）和不存在的點；3）列表分析在駐點和不可導點的左右附近的符號情況；4）根據分析和定理確定出函數的單調區間和極值.定理（極值的第二充分條件）設函數在點處具有二階導數，且,，則1)當時，函數在點處取得極大值；2)當時，函數在點處取得極小值.【例題精講】例1例3.16中函數在處導數不存在，但其導數在該點左右兩側的符號由負變正，所以是函數的極小值點.例3.17中函數在處導數為零且其導數在左右兩側的符號由負變正，所以是函數的極小值點．例2求函數的單調增減區間和極值.解：函數的定義域為．又，令，得.列表分析如下:↘極小值↗所以函數的單調增加區間為，單調減少區間為；函數在處取得極小值.例3求函數的極值.解：函數的定義域為．又,，令，得,,且,，所以函數在處取得極大值，在處取得極小值.【課堂練習】例1求函數的單調區間和極值.解：函數的定義域為．又，令，得，當時，不存在.列表分析如下:不存在0↗極大值0↘極小值↗所以函數的單調增加區間為、,單調減少區間為；函數在點處有極大值,在點處有極小值.【問題思考】知道函數的單調性和極值，能準確把握函數的圖像嗎？【知識小結】函數的極值點和單調區間?！菊n后作業】習題3.23.（1）（3）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第3章3.3函數的凹凸區間和拐點教學目標會求函數的凹凸區間和拐點教學重點函數的凹凸區間和拐點教學難點函數的凹凸區間和拐點教學方法講練結合教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入知道函數的單調性和極值，能準確把握函數的圖像嗎？重點與難點講解方法函數凹凸性的定義要慢講，細講，多畫圖，讓學生能直觀的認識到凹凸性表現在圖像上樣子.教學小結知識小結函數的凹凸區間和拐點教后札記改進措施課后作業習題3.31.（1）（3）教學過程：一、知識回顧函數的單調區間和極值的求法。二、新課導入知道函數的單調性和極值，能準確把握函數的圖像嗎？三、新課內容定義若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.定理設函數在上連續，在內具有二階導數，則1）若在內，,則的圖形在上是凹的；2）若在內，,則的圖形在上是凸的.定義連續曲線上的凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點.求曲線的凹凸性和拐點的一般步驟為：1）確定函數的定義域；2）求出的二階導數以及在定義域內的點和不存在的點；3）列表分析的點和不存在的點左右附近的符號情況；4）根據分析和定理確定出函數的凹凸區間和拐點.【例題精講】例1判斷曲線的凹凸性.解：函數的定義域為.又，，當時，，所以曲線在上是凹的.例2求曲線在的拐點.解：，，令,得.列表分析如下：拐點所以曲線的拐點為.例3求曲線的凹凸區間及拐點.解：函數的定義域為.又，，令,得,.列表分析如下：000拐點拐點所以曲線的凹區間為，,凸區間為,拐點為,.【課堂練習】例1判斷曲線的凹凸性.解：函數的定義域為.又，，當時，，所以曲線在上是凹的.例2判斷曲線的凹凸性.解：函數的定義域為.又，，令，得，當時，，當時，，所以曲線在上是凸的，在上是凹的.例3求曲線的凹凸區間和拐點.解：函數的定義域為.又，，令,得.列表分析如下：拐點所以曲線的凹區間為，凸區間為，拐點為.【問題思考】函數的極值點是最值點嗎？【知識小結】函數的凹凸區間和拐點【課后作業】習題3.31.（1）（3）四、板書設計課題一、二、三、課堂練習例1例2重點：難點：《計算機應用數學》教案授課對象系別課時安排2年級班次章節題目第3章3.4函數的最值教學目標會求函數的最值教學重點函數的最值教學難點函數的最值教學方法講練結合教學用具黑板、粉筆、多媒體新課導入函數的極值點是最值點嗎？重點與難點講解方法回憶極值的定義、求法和區別的聯系。通過極值的求法引出最值的求法.教學小結知識小結函數的最值的求法.教后札記