牛頓第二章運動定律和力學中的守恒律

前言§2-1牛頓運動定律*§2-2非慣性系慣性力§2-3動量動量守恒定律

§2-4功動能勢能機械能守恒定律

*§2-5角動量角動量守恒定律*§2-6剛體的定軸轉動*§2-7理想流體的伯努利方程1§2－1牛頓運動定律2.1.1慣性定律慣性參照系在運動的描述中，各種參考系都是等價的。但實驗表明，動力學規律并非是在任何參考系中都成立。這就引出了慣性參考系的問題。1、慣性定律“孤立質點”的模型：不受其它物體作用或離其他物體都足夠遠的質點。例如，太空中一遠離所有星體的飛船。慣性定律：一孤立質點將永遠保持其原來靜止或勻速直線運動狀態。2BA靜止時AB慣性和慣性運動慣性運動：物體不受外力作用時所作的運動。問題的提出：慣性定律是否在任何參照系中都成立？慣性：任何物體都有保持其原有運動狀態的特性，慣性是物質固有的屬性。慣性和第一定律的發現，使人們最終把運動和力分離開來。２、慣性系和非慣性系左圖中，地面觀察者和車中觀察者對于慣性定律運用的認知相同嗎？3

什么是慣性系：孤立物體相對于某參照系為靜止或作勻速直線運動時，該參照系為慣性系。如何確定慣性系──只有通過力學實驗。*1地球是一個近似程度很好的慣性系但相對于已知慣性系作勻速直線運動的參照系也是慣性系。一切相對于已知慣性系作加速運動的參照系為非慣性系。*2太陽是一個精度很高的慣性系太陽對銀河系核心的加速度為馬赫認為：所謂慣性系，其實質應是相對于整個宇宙的平均加速度為零的參照系──因此，慣性系只能無限逼近，而無最終的慣性系。4※牛頓第二定律：物體受到外力作用時，它所獲得加速度的大小與合外力的大小成正比；與物體的質量成反比；加速度的方向與合外力F

的方向相同。比例系數k與單位制有關，在國際單位制中k=1。2.1.2牛頓第二定律慣性質量引力質量其數學形式為２o物體之間的四種基本相互作用；arxiv:1001.07851、關于力的概念１o力是物體與物體間的相互作用，這種作用可使物體產生形變，也可使物體獲得加速度。力的概念是物質的相互作用在經典物理中的一種表述。53o

力的疊加原理若一個物體同時受到幾個力作用，則合力產生的加速度，等于這些力單獨存在時所產生的加速度之矢量和。力的疊加原理的成立，不能自動地導致運動的疊加。2、關于質量的概念

3、牛頓第二定律給出了力、質量、加速度三者間瞬時的定量關系１o質量是物體慣性大小的量度：２o引力質量與慣性質量的問題：調節引力常數Ｇ，使m引，m慣的比值為1。慣性質量與引力質量等價是廣義相對論的出發點之一。62.1.3牛頓第三定律

1o作用力與反作用力是分別作用在兩個物體上的，不是一對平衡力。2o作用力與反作用力是同一性質的力。3o若A給B一個作用，則A受到的反作用只能是B給予的。*：牛頓第三定律只在實物物體之間，且運動速度遠小于光速時才成立。72.1.4牛頓定律的應用1、牛頓定律只適用于慣性系；在平面直角坐標系在平面自然坐標系2、牛頓定律只適用于質點模型；3、具體應用時，要寫成坐標分量式。8若F=常量，則若F=F(v)

，則

若F=F(r)

，則

４、要根據力函數的形式選用不同的方程形式運用舉例：9

[例題1]

阿特伍德機可求得加速度與物體質量以及重力加速度的關系，用于驗證牛頓定律。

[解]由牛頓第二定律因繩子不伸長，有求導，得，又因得到最后解出10一個有趣的例子：誰先到達？11

例2：質量為m的小球，在水中受的浮力為常力F，當它從靜止開始沉降時，受到水的粘滯阻力為f=kv

(k為常數），證明小球在水中豎直沉降的速度v與時間t的關系為fFmgax式中t為從沉降開始計算的時間證明：取坐標，作受力圖。根據牛頓第二定律，有12初始條件：t=0時v=013

例3．質量為M＝0.01kg的小環在—剛度系數為20N/m

的彈簧作用下沿一光滑彎管滑下，在圖中所示的位置上小環速率為20cｍ/s，求在此處小環的加速度及環對管子的壓力．彈簧自然伸展的長度為50cm。142.3.1質點的動量定理１、動量的引入在牛頓力學中，物體的質量可視為常數故即§2-3動量動量守恒定律力的瞬時效應→力的積累效應──加速度：牛頓定律15１）式中 叫做動量，是物體運動量的量度。２）動量 是矢量，方向與 同；動量是相對量，與參照系的選擇有關。 ２、沖量的概念１）恒力的沖量２）變力的沖量此時沖量的方向不能由某瞬時力的方向來決定。

指兩個物體相互作用持續一段時間的過程中，在物體間傳遞著的物理量。力在某一段時間間隔內的沖量沖量的方向與力的方向相同。作用力F＝恒量，作用時間t1t2，力對質點的沖量，16即其表示：物體所受外力的沖量等于物體動量的增量。3、質點的動量定理在直角坐標系中的分量式17平均沖力概念１）峰值沖力的估算ff0tt+△tt３）當相互作用時間極短，相互間沖力極大，此時某些有限主動外力（如重力等）可忽略不計。

４、動量定理的應用２）當動量的變化是常量時，有182.3.2質點系的動量定理1、內力與外力

i質點所受的內力i質點所受合力2、i質點動量定理193、質點系的動量定理（對i求和）因為內力成對出現這說明內力對系統的總動量無貢獻，但對每個質點動量的增減是有影響的。20質點系合外力的沖量=質點系動量的增量。于是有或212.3.3質點系的動量守恒定律若系統所受的合外力系統總動量守恒

一個孤立的力學系統（即無外力作用的系統）或合外力為零的系統，系統內各質點動量可以交換，但系統的總動量保持不變。這就是動量守恒定律。

注意：動量守恒式是矢量式(1)守恒條件是而不是22若，但若某一方向的合外力零，則該方向上 動量守恒；

(3)必須把系統內各量統一到同一慣性系中；

(4)若作用時間極短，而系統又只受重力作用，則可略去重力，運用動量守恒。(2)若

表示系統與外界無動量交換，表示系統與外界的動量交換為零。則系統無論沿那個方向的動量都守恒；23

例4：一戰車置于無摩擦的鐵軌上，車身質量為m1，炮彈質量為m2，炮筒與水平面夾角，炮彈以相對于炮口的速度射出，求炮身后坐速率。

[解]水平方向的動量可看作近似守恒，有解出242.4.1功功率1、恒力的功

即某力的功等于力與質點在該力作用下位移的標積。

(中學）力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘積。

由矢量標積定義式，有§2-４功動能勢能

252、

變力的功１）力的元功

XYZObaL物體在變力的作用下從a運動到b

b262）變力在一段有限位移上的功功的直角坐標系表示式因為功是標量，所以總功等于各方向上的分量之代數和。27★一對作用力與反作用力的功只與相對位移有關0所以一般情況下

式中drij為相對位移28３、功率

單位時間內所作的功稱為功率

功率的單位：在SI制中為瓦特（w）

29

重力的功力函數

元位移

4、保守力的功12y2y130彈簧彈性力的功力函數元位移oXo31萬有引力的功

由圖知元位移

力函數

Mm321)保守力如重力、彈簧彈性力、萬有引力、靜電力、分子作用力等均為保守力。即保守力沿任一閉合路徑的功為零。abcc/

如果某力的功只與始末位置有關而與具體路徑無關，則該力謂之保守力。33LmS+保守力的共同特征：a、力函數或為常數，或者僅為位置的函數；

b、保守力的功總是“原函數”增量的負值。

2)非保守力若力的功值與具體路徑有關,則為非保守力，

如摩擦力、爆炸力等。如在一水平面上342.4.2動能定理1、動能是一個獨立的物理量，與力在空間上的積累效應對應。★這說明又，m為常數35★是質點作機械運動時所具有的能量的量度，稱之為動能；★是狀態量，相對量，與參照系的選取有關。

2、動能定理或即，作用于物體上合外力的功等于物體動能的增量。合力對質點作用一段距離所產生的積累作用，從而導致動能的有限變化。36動能與動量的區別引入兩種度量作用37例2.10一質量為10kg的物體沿x軸無摩擦地滑動，t＝0時物體靜止于原點，(1)若物體在力F＝3＋4tN的作用下運動了3s，它的速度增為多大？(2)物體在力F＝3＋4xN的作用下移動了3m，它的速度增為多大？解(1)由動量定理

，得(2)由動能定理，得382.4.3勢能描述機械運動的狀態參量是

對應于：

彈簧彈性力的功

萬有引力的功重力的功

1、勢函數為此我們回顧一下保守力的功39

由上所列保守力的功的特點可知，其功值僅取決于物體初、終態的相對位置，故可引入一個由相對位置決定的函數；由定積分轉換成不定積分，則是

式中c為積分常數，在此處是一個與勢能零點的選取相關的量。

又由于功是體系能量改變量的量度。因此，這個函數必定具有能量的性質；而這個具有能量性質的函數又是由物體相對位置所決定，故把這種能量稱之為勢能（或曰位能），用ＥＰ表示。則有：402、已知保守力求勢能函數

彈性勢能：

保守力的力函數若取坐標原點，即彈簧原長處，為勢能零點，則c=0于是

重力勢能保守力的力函數若取坐標原點為勢能零點，則c=0

41引力勢能保守力的力函數

若取無窮遠處為引力勢能零點，則

勢能函數的一般特點rij1)對應于每一種保守力都可引進一種相關的勢能；2)勢能大小是相對量，與所選取的勢能零點有關；3)一對保守力的功等于相關勢能增量的負值；4)勢能是彼此以保守力作用的系統所共有。

422.4.4質點系的動能定理與功能原理1、質點系的動能定理

質點系的內力和外力對于單個質點

43

對i

求和—質點系的動能定理質點系總動能的增量等于外力的功與質點系內部保守力的功、非保守力的功三者之和。44若引入(機械能）則可得

系統機械能的增量等于外力的功與內部非保守力功之和。2、功能原理由于內力總是成對出現的，而對每一對內部保守力均有

45２）功能原理只適用于慣性系（從牛頓定律導出)；3)具體應用時，一是要指明系統，二是要交待相關的勢能零點；注意的問題：１）功能原理是屬于質點系的規律（因涉及ＥP），與質點系的動能定理不同；質點系動能定理質點系功能原理4）當質點系內各質點有相對運動時，注意將各量統一到同一慣性系中。462.4.5機械能守恒定律由功能原理可知機械能守恒的條件：系統與外界無機械能的交換；系統內部無機械能與其他能量形式的轉換。

當系統機械能守恒時，應有即系統內，動能的增量＝勢能增量的負值若和,則系統的機械能保持不變。472.4.6能量轉換與守恒定律在一個孤立的系統內，各種形態的能量可以相互轉換，但無能怎樣轉換，這個系統的總能量將始終保持不變。48解由題知，雖然力的大小不變，但其方向在不斷變化，故仍然是變力做功.如題圖所示，以岸邊為坐標原點，向左為x軸正向，則力F在坐標為x處的任一小段元位移dx上所做元功為即

例2.8在離水面高為H的岸上，有人用大小不變的力F拉繩使船靠岸，如圖2.21所示，求船從離岸

處移到

處的過程中，力F對船所做的功.由于，所以F做正功.49解如圖2.26所示，設子彈對沙箱作用力為f′，沙箱位移為s；沙箱對子彈作用力為f，子彈的位移為s＋l，f＝－f′.A＝－f(s＋l)＋f′s＝－fl≠0說明沙箱對子彈做功－f(s＋l)與子彈對沙箱做的功f′s＝－f

s兩者不相等；而這一對內力做功之和不為零，它等于子彈與沙箱組成的系統的機械能的損失.損失的機械能轉化為熱能.則這一對內力的功例2.13在光滑的水平臺面上放有質量為M的沙箱，一顆從左方飛來質量為m的彈丸從箱左側擊入，在沙箱中前進一段距離l后停止.在這段時間內沙箱向右運動的距離為s，此后沙箱帶著彈丸以勻速運動.求此過程中內力所做的功.(假定子彈所受阻力為一恒力)50例2.15試分析航天器的三種宇宙速度.解(1)第一宇宙速度.航天器繞地球運動所需的最小速度稱為第一宇宙速度.以地心為原點，航天器在距地心為r處繞地球作圓周運動的速度為

，則有式中為地球表面處的重力加速度.若r＝R時，則這就是第一宇宙速度.51這就是第二宇宙速度.(2)第二宇宙速度.在地球表面處的航天器要脫離地球引力范圍而必須具有的最小速度，稱為第二宇宙速度.以地球和航天器為一系統，航天器在地球表面處的引力勢能為，動能為，航天器能脫離地球時，地球的引力可忽略不計，系統勢能為零，動能的最小量為零，由機械能守恒定律，有52力學第四章動能和勢能*對心碰撞·非對心碰撞

一、碰撞的特點和簡化處理①碰撞時間短，相互作用強，可不考慮外界的影響；

②碰撞前后狀態變化突然且明顯，可以認為：速度發生變化，但位置不發生變化。二、對心碰撞1.

對心碰撞：碰撞前后的速度都沿兩球的連心線，也叫一維碰撞。53力學第四章動能和勢能2.碰撞過程：

①壓縮過程：從兩小球開始接觸到兩小球達到共同速度。（b）和（c）圖，特點：②恢復過程：從共同速度到分離的過程。（d）（e）圖，特點：（恢復沖量）54力學第四章動能和勢能3.牛頓碰撞公式實驗表明：對于材料一定的球，碰撞后分開的相對速度與碰撞前接近的相對速度成正比，比值稱為恢復系數：完全彈性碰撞：彈性形變→動勢能相互轉化非完全彈性碰撞：塑性形變→機械能有損失完全非彈性碰撞：→機械能有損失55力學第四章動能和勢能4.完全彈性碰撞（）動量守恒：（1）機械能守恒：（2）56力學第四章動能和勢能5.完全非彈性碰撞（）動量守恒：損失的動能：57力學第四章動能和勢能6.非完全彈性碰撞（）動量守恒：58力學第四章動能和勢能三、非對心碰撞定義：如果兩球相碰之前的速度不沿它們的中心連線，叫非對心碰撞，也叫斜碰。x

方向：y方向：59力學第四章動能和勢能例題：

1、一質量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來，使彈簧伸長10cm，今有一質量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開始落進框架。求此框架向下移動的最大距離。彈簧質量不計，空氣阻力不計。60力學第四章動能和勢能61力學第四章動能和勢能

2、質量為m1=0.790kg和m2=0.800kg的物體以剛度系數為10N/m的輕彈簧相連，置于光滑水平桌面上。最初彈簧自由伸張、質量為0.01kg的子彈以速度v=100m/s沿水平方向射于m1內，問彈簧最多壓縮了多少？

62力學第四章動能和勢能63第五章剛體的定軸轉動5.1剛體的運動學5.2剛體定軸轉動定律

5.3轉動慣量的計算5.4剛體定軸轉動定律的應用5.5*轉動中的功和能

5.6*對定軸的角動量守恒5.7*進動

64§5.1剛體和剛體的基本運動描述剛體是這樣的一種特殊質點系統，它在外力作用下，系統內任意兩質點間的距離始終保持不變大小、形狀不變前面：質點（理想模型，無大小）現考慮物體大小，但不考慮受力形變-----剛體（理想化的模型）；二、剛體的運動一、剛體剛體的運動形式：平動、轉動或結合。平動（translation）：各個點的運動都一致，位移、速度、加速度等。當剛體運動時，如果剛體內任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動。65剛體轉動（rotation）：剛體運動時，如果剛體的各個質點在運動中都繞同一直線圓周運動，這種運動就叫做轉動，這一直線就叫做轉軸。

平動d轉動復雜運動=平動+轉動66剛體的定軸轉動（轉軸固定）

剛體上各點都繞同一轉軸作不同半徑的圓周運動，且在相同時間內轉過相同的角度。67特點：

質點在垂直轉軸的平面內作圓周運動；角位移，角速度和角加速度均相同；但質點的線速度，線加速度？？角位移角速度角加速度角量與線量的關系：S=r68特例：勻加速轉動，即角加速度β不變假定t=0時刻，角速度為ω0，角位置θ

為0；t時刻分別為ω、θ類似地，與質點做勻加速直線運動公式比較！。O69

沿Z

軸分量為對Z軸力矩對O點的力矩：一.力矩§5.2力矩剛體定軸轉動定律轉動平面70

力不在轉動平面內1）在定軸轉動問題中，所指的力矩是指力在轉動平面內的分力對轉軸的力矩。只能引起軸的變形,對轉動無貢獻(Mz=0)。討論：轉動平面Z71

是轉軸到力作用線的距離，稱為力臂。2）

3）

對轉軸的力矩為零，在定軸轉動中不予考慮。

4）在轉軸方向確定后，力對轉軸的力矩方向可用+、-號表示。轉動平面d72二.剛體定軸轉動定律應用牛頓第二定律，可得：對剛體中任一質量元-外力-內力沿切向分量式為：ωOO’73用乘以上式左右兩端：

設剛體由N

個點構成，對每個質點可寫出上述類似方程，將N

個方程左右相加，得：

根據內力性質(每一對內力等值、反向、共線,對同一軸力矩之代數和為零)，得：74得到：上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以M

表示；右端求和符號內的量與轉動狀態無關，稱為剛體轉動慣量，以J表示。于是得到剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律75討論：

（3）J和質量分布、轉軸有關

J（1）一定，則，M

是