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格林公式及其應用一、格林公式二、格林公式的應用第三節(1)第十一章微積分學基本公式Newton-Leibnitz

公式:一個重要的數學關系區域內部與邊界的問題問題之間的聯系Green公式:P,Q在D

上有一階連續偏導數;L

是D

的正向邊界曲線.單連通區域1.單(復)連通區域及其正向邊界復連通區域單連通區域就是沒有“洞”的區域.一、格林公式L1L2L當觀察者沿邊界行走時,區域D

總在他的左邊.2.格林公式上述公式稱為格林公式,是英國數學家、物理學家格林在1825年發現的,是微積分基本公式在二重積分情形下的推廣.定理1.

設區域D

是由分段光滑正向曲線

L

圍成,則有函數在D上具有連續一階偏導數,L證:情形1.X-型xOy

xabDABCEoy

xabDABCEY-型0y

xDAEBCcd情形2.

若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區域,如圖ABCNPM情形3.

若D為復連通區域,則將D

沿輔助線AB

割開,得到以為正向邊界的單連通區域.L1L2DAB證畢.1.計算平面區域的面積二、格林公式的應用例1．解：2.計算曲線積分例2.解:y=0y=1-

xx例3.解:La-a不能直接應用格林公式!原式=解:例4.LabD在D內作圓周取順時針方向.記L和

l

所圍的區域為lr則令=0.LabDlr例5.

計算其中L為上半從A(4,0)

到O(0,0).解:添加輔助線段它與L

所圍區域為D,

則原式圓周L不是閉曲線!例6.解:LL的方向是負方向!L的逆方向是正方向!3.計算二重積分例7.解:DC(2,4)DC(2,4)例8.解:D故D11根據格林公式得思考

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