隨機事件的獨立性與伯努利概型一、事件的相互獨立二、伯努利概型基本內容：第五、六節

2023/2/51一、事件相互獨立1.問題的引入設A，B是試驗E的兩事件，現比較P(A|B)與P(A).一般地,P(A|B)

≠P(A).只有B的發生對A發生的概率無影響，才會有P(A|B)

=P(A),若P(B)>0，可定義這時有2023/2/52引例：設Ai表示“第i次取得一等品”,事件A1的發生并不影響事件A2發生的概率大小.結果表明:設在10個元件中有7個一等品，放回地連續抽取兩次，每次抽取一個元件.分析：由題意知試比較有2023/2/53注：對任意兩個隨機事件A與B,則稱事件A與事件B相互獨立

(簡稱為獨立).若2.事件的兩兩獨立定義.解釋:A與B相互獨立，是指A(或B)的發生與B(或A)的發生的概率無關.2023/2/542o獨立與互不相容的關系它們是兩個不同的概念，無必然的聯系.(1)A與B相互獨立：P(AB)=P(A)P(B)(2)A與B互不相容:意義：A的發生與否對B的發生的(概率)無影響.意義:A與B不能同時發生,是事件間本身的關系.容易證明，若P(A)>0,P(B)>0,則A,B相互獨立與A,B互不相容不能同時成立的.2023/2/55性質:(2)若事件A與B相互獨立，也相互獨立.則下列各對事件推論：若這四對事件中,只要有一對獨立，則其余三對也獨立.2023/2/56只證事件從而由此得因為證(2):AB2023/2/57例1.一個家庭中有三個小孩,假定生男孩和女孩是等可能的,A=“一個家庭中有男孩、又有女孩”B=“一個家庭中最多有一個女孩”討論A與B的獨立性？解：有三個小孩的家庭的樣本空間為2023/2/58于是有因此事件A與B相互獨立.2023/2/593.多個事件的獨立性(1)三個事件的獨立性定義1.

設三個事件A、B、C，如果滿足下述等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)則稱事件A、B、C兩兩獨立.2023/2/510定義2.設三個事件A、B、C，如果滿足下述等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱事件A、B、C相互獨立.注：3個事件相互獨立3個事件兩兩獨立（兩兩獨立）2023/2/511

例2:一個均勻的正四面體,其第一面染成紅色，第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色.現以A,B,C分別記投一次四面體出現紅、白、黑顏色朝下的事件，問A，B，C是否相互獨立?解:由于在四面體中紅、白、黑分別出現兩面,

因此又由題意知伯恩斯坦反例2023/2/512故有因此A,B,C不相互獨立.則三事件A,B,C兩兩獨立.由于2023/2/513(2)n個事件的獨立性設n個事件若其中任意兩個事件有則稱這n個事件兩兩獨立.定義1.2023/2/514定義2.設有n個事件若其中任意k個事件有則稱這n個事件相互獨立.n個事件相互獨立需要證多少個等式？注：n個事件相互獨立n個事件兩兩獨立2023/2/515則有性質：相互獨立，2.設n個事件1.若n個事件A1,A2,…,An(n≥2)相互獨立，則將A1,A2,…,An中任意多個事件換成它們的對立事件，所得的n個事件仍相互獨立.2023/2/516事件A表示“系統L-R能正常工作”,例3.用4個元件組成一個系統如圖,各個元件能否正常工作是相互獨立的,每個元件的可靠性(正常工作的概率)為p(0<p<1),求系統的可靠性.1234LR解:設事件Ai表示“第i個元件能正常工作”(i=1,2,3,4),則由于2023/2/517則有所以2023/2/518二、伯努利概型則稱E為伯努利試驗或伯努利概型.

考慮一個簡單的試驗,它只出現(或只考慮)兩種結果,如某批產品抽樣檢查得到合格或不合格;射擊手命中目標或不命中;發報機發出信號0或1;擲一次骰子點數“6”是否出現等.一般地,試驗E只有兩種結果A和A，而P(A)=p(0<p<1),2023/2/5191.n重伯努利概型將伯努利試驗E獨立地重復進行n次,我們把這n次獨立重復伯努利試驗總起來看成一個試驗,稱這種試驗為n重伯努利試驗(n重伯努利概型).注：n重伯努利試驗有3個特點：(1)每次試驗的結果只能是A或A;(2)A在每次試驗中出現的概率p保持不變;(3)各次試驗相互獨立;2023/2/520例4.連續拋擲一枚硬幣兩次，觀察正、反面出現的情況.2重伯努利概型例5.拋一顆骰子n次，觀察是否“出現3點”.n重伯努利概型A={正面},A={反面}且P(A)=1/2,A={出現3點},A={不出現3點}分析：且P(A)=1/6，分析：每次試驗有2種結果每次試驗有2種結果又試驗獨立重復進行n次又試驗獨立重復進行2次2023/2/5212.二項概率公式定理.在伯努利概型中,設事件A在各次試驗中A恰好出現k次的概率為發生的概率為P(A)=p(0<p<1),則在n次試驗中,2023/2/522證明：在n重伯努利概型中，事件A恰好出現k次：共有Cnk種方式,pk(1-p)n-k=pkqn-k

k次n-k次k-1次n-k-1次……且兩兩互不相容.每一種方式發生的概率均為2023/2/523因此事件A在n次試驗中發生k次的概率為由于故稱此公式為二項概率公式.2023/2/524設某種藥對某種疾病的治愈率為80%,設Ak表示“恰好有k個人被治愈”,

現有10個患這種疾病的病人同時服用這種藥，(2)至少有6人被治愈的概率。求解：例6.3.應用(1)恰有6人被治愈的概率；A6表示“恰好有6個人被治愈”,

據題意分析知,該模型屬于10重伯努利模型.2023/2/525設某種藥對某種疾病的治愈率為80%,設Ak表示“恰好有k個人被治愈”,

A表示“至少有6人被治愈”.由于所以現有10個患這種疾病的病人同時服用這種藥，(2)至少有6人被治愈的概率。求互不相容，且解：例6(續).2023/2/526內容小結2.掌握伯努利概型及二項概率公式,并熟練利用1.理解事件的獨立性定義；熟練掌握利用獨立性計算事件的概率；此公式計算事件的概率。2023/2/527作業習題一(28)：24、26、27、282023/2/528備用題解:(1)因為A，B不相容，所以所以2023/2/529(2)因為A，B獨立，所以2023/2/5302.(血型問題)A,B,AB型的概率分別為0.46，0.40，0.11，0.03.現任選五人，求下列事件的概率：(1)兩個人為O型,其他三人分別為其他三種血型；(2)三人為O型,兩人為A型；(3)沒有一個人為AB型；解：設事件A=“兩個人為O型,其他三人分別為其他三種血型”；事件B=“三人為O型,兩人為A型”某國家的統計數據顯示，一個人的血型為O,2023/2/531事件C=“沒有一個人為AB型”,則2023/2/5323.向單位圓x2+y2<1內隨機地投下3點,則這3點中恰有2點落在第一象限中的概率為多少？解：“投下的每一點”可看作有兩種可能結果：A表示點落在第一象限中;第一象限中,落下3點相當于3重伯努利試驗，于是所求概率為A表示點不落在