概率論與數(shù)理統(tǒng)計ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics

1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏

c局便算贏家,若在一賭徒勝

a局

(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本才合理”

為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念數(shù)學(xué)期望.概率論的誕生(NaissanceofProbability)在我們所生活的世界上，

充滿了不確定性

從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復(fù)雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化……，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性.社會現(xiàn)象的分類確定性現(xiàn)象模糊現(xiàn)象隨機現(xiàn)象A.太陽從東方升起；B.明天的最高溫度；C.上拋物體一定下落；D.新生嬰兒的體重.下面的現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？

隨機現(xiàn)象(Randomphenomenon)事先無法預(yù)知,但一旦發(fā)生結(jié)果是確定的現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律?否！在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.隨機現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗或觀察中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.

概率論正是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科.

數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是研究收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù),并對所研究的問題作出一定的結(jié)論的科學(xué)。數(shù)理統(tǒng)計學(xué)所考察的數(shù)據(jù)都帶有隨機性（偶然性）的誤差。這給根據(jù)這種數(shù)據(jù)所作出的結(jié)論帶來了一種不確定性，其量化要借助于概率論的概念和方法。因此概率論與數(shù)理統(tǒng)計可以說是孿生兄弟.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的誕生(Naissanceofmathematicalstatistics)

統(tǒng)計學(xué)始于何時？恐怕難于找到一個明顯的、大家公認的起點。一種受到某些著名學(xué)者支持的觀點認為，英國學(xué)者葛朗特在1662年發(fā)表的著作《關(guān)于死亡公報的自然和政治觀察》，標(biāo)志著這門學(xué)科的誕生。

數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的另一個重要源頭來自天文和測地學(xué)中的誤差分析問題。/JXZY/BJZS/200612/1835.html

概率論的應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報、

地震預(yù)報、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干擾性、分辨率,金融業(yè)等等.概率統(tǒng)計的應(yīng)用(ApplicationofProbabalityandStatistics)第一章隨機事件及其概率樣本空間與隨機事件1.1隨機試驗(RandomExperiment)擲一枚正六面體的骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。從水泥自動生產(chǎn)流水線上任意抽取一袋水泥，稱其重量。一射手打靶，直到擊中靶心為止，記錄其射擊次數(shù)。為了研究隨機現(xiàn)象，就要對研究對象進行觀察試驗，即隨機試驗，簡稱試驗。記作或等1.實驗可以在相同條件下重復(fù)進行2.每次試驗，可能出現(xiàn)各種不同結(jié)果。3.每次試驗，實際只出現(xiàn)一種結(jié)果，至于實際出現(xiàn)哪一種結(jié)果，試驗之前是無法預(yù)先知道的。試驗的特點樣本空間與樣本點(SampleSpacesandSamplePoints)隨機試驗的每個基本結(jié)果稱為樣本點，記為ω。全體樣本點的集合稱為樣本空間，記為Ω。.

ΩA樣本點ω.....擲一枚正六面體的骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。樣本點簡記為：

wi

={出現(xiàn)i點},i=1,2,…,6。則樣本空間可記為Ω={w1，w2，…,w6}打靶直到擊中靶心為止，記錄其射擊次數(shù)。樣本點簡記為：

wi

={直到第i次才擊中目標(biāo)},i=1,2,…。則樣本空間可記為Ω={w1，w2，…}

。例子(Examples)在隨機試驗中可能的結(jié)果稱為隨機事件，簡稱事件.隨機事件(RandomEvents)"擲出奇數(shù)點"如在擲色子試驗中，觀察擲出的點數(shù).“擲出1點”當(dāng)且僅當(dāng)屬于集合的某一個樣本點在實驗中出現(xiàn)事件就是由樣本點組成的某個集合..

ΩA樣本點ω.....事件用集合表示時，如何理解“事件發(fā)生”？事件基本事件：隨機試驗中不可再分解的事件。復(fù)雜事件：兩個或一些基本事件并在一起，就構(gòu)成一個復(fù)合事件。"擲出奇數(shù)點"“擲出1點”在擲骰子試驗中，“點數(shù)小于7”和“點數(shù)為8”是隨機事件嗎？兩個特殊的事件：必件然事即在試驗中必定發(fā)生的事件，記為Ω;

不件可事能即在一次試驗中不可能發(fā)生的事件，記為φ

。23479108615

例.一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.wk={取出的球號為k},k=1,…,10Ω={w1，w2，…,w10}A~"取出的球號為偶數(shù)"B~"取出的球號大于8"A={w2，w4，w6，w8,w10}B={w9，w10}D~"取出的球號不大于10"C~"取出的球號大于10"1.事件的包含2.事件的相等3.事件的積（交）4.互不相容（互斥）事件事件間的關(guān)系(RelationofEvents)的交，記作5.事件的和（并）6.對立事件(互逆事件)7.差事件的并，記作1.交換律2.結(jié)合律3.分配律事件的運算(OperationofEvents)4.德摩根定理（DeMorgan）（對偶原則）例1.1.5設(shè)A,B,C隨機試驗E中的3個隨機事件，則（1）事件“A與B發(fā)生，C不發(fā)生”可表示成（2）事件“A，B，C中至少有一個發(fā)生”可表示成（3）事件“A，B，C中恰好有一個發(fā)生”可表示成（4）事件“A，B，C中至少有兩個發(fā)生”可表示成關(guān)于事件域(FieldofEvents)應(yīng)滿足下面要求即是一個布爾代數(shù)事件域作業(yè)：P521.11.3概率和頻率1.2在n次重復(fù)試驗中，事件A出現(xiàn)次，則n次試驗中，事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)=/n定義1.1隨機事件A發(fā)生可能性大小的度量，稱為事件A發(fā)生的概率，記作P(A)擲硬幣試驗頻率穩(wěn)定性指的是：當(dāng)各輪試驗次數(shù)n1,n2,…,ns

充分大時，在各輪試驗中事件A出現(xiàn)的頻率總在一個定值附近擺動.

而且，試驗次數(shù)越多，一般來說擺動越小.頻率

穩(wěn)定在某個值

附近頻率的穩(wěn)定值說明隨機事件發(fā)生的可能性大小(概率)是客觀存在的，是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀規(guī)律，這正是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。頻率和概率有什么區(qū)別和聯(lián)系？頻率決定于試驗，而概率是先于試驗而客觀存在的。對于較大的n，n次試驗中事件A的頻率，一般與事件A的概率P相差不大，試驗次數(shù)n越大，頻率與概率有較大偏差的情形就越少見.因此人們常取實驗次數(shù)很大時事件的頻率或一系列頻率的平均值作為概率的估計值。頻率的性質(zhì)有限可加性：若A，B互不相容，則有非負性：規(guī)范性：概率應(yīng)具有的性質(zhì)非負性：0≤P(A)≤1規(guī)范性：P(Ω)=1有限可加性：若A1，A2，…，An是一組兩兩互不相容的事件，則有概率P實質(zhì)上是布爾代數(shù)F上定義的一個集合函數(shù)，它應(yīng)該具有以下性質(zhì)：例2.抽查某廠的某一產(chǎn)品100件，發(fā)現(xiàn)有

5件不合格品，則不合格品(事件A)的概率為P（A）≈5/100=5%古典概型1.3ClassicalProbabilityModels23479108615

例.一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，其中六個紅球，四個白球，把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球，求取到紅球的概率。古典概率古典概型實驗有限性：試驗只有有限個基本事件等可能性：任何兩個基本事件不可能同時出現(xiàn)，且每次實驗中各可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性均相同概率的古典定義n個基本事件個若試驗中只有n個等可能的基本事件，而某個事件A由其中個基本事件組成,則為事件A的概率，即古典概率的性質(zhì)非負性：0≤P(A)≤1規(guī)范性：P(Ω)=1有限可加性：若A1，A2，…，An是一組兩兩互不相容的事件，則有例1在盒子中有十個相同的球，分別標(biāo)為號碼1、2、…、10,從中取一球，求此球的號碼為偶數(shù)的概率。注意:基本事件總數(shù)和有利事件總數(shù)的計算要在同一個樣本空間進行.例2.從0，1，2,…，9共10個數(shù)字中任取1

個，假定每個數(shù)字都以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出4個數(shù)字，試求下列各事件的概率。A1

：“4個數(shù)字各不相同”A2

：“4個數(shù)字組成一個3位數(shù)”A3

：“4個數(shù)字組成一個4位偶數(shù)”A4

：“4個數(shù)字恰好有2個0”

例3.一套五卷的選集，隨機地放在書架上，求各冊自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的順序的概率。例4.設(shè)有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間中去住

(n≤N)，且設(shè)每個房間可容納的人數(shù)不限，求下列事件的概率。A={某指定的n個房間中各有一個人住}。B={恰好有n個房間，其中各住一人}。C={某指定的一間房中恰好有m(m<n)人}.例5.某班級有n個人（n<365）,問至少有兩個人的生日在同一天的概率為多大？例6.甲乙兩人擲均勻硬幣，其中甲擲n+1次，乙擲n次.求“甲擲出正面的次數(shù)大于乙擲出正面的次數(shù)”這一事件的概率.例7.一批產(chǎn)品共有N件，其中M件是廢品。現(xiàn)在從全部N件產(chǎn)品中隨機的抽取n件（n≤N),求恰好取到m(m≤M)件次品的概率。例8.設(shè)有帶號碼1，2，3，4的四件物品，任意地放在標(biāo)有1，2，3，4的空格中，求下列事件的概率。A={四件物品剛好都放在相應(yīng)標(biāo)號的空格中}B={沒有一件物品與所占空格號碼相一致}作業(yè)：P526P539、10概率的公理化定義及概率的性質(zhì)1.4AxiomsandPropertiesofProbability

幾何概率A向該正方形等可能地隨機投針，求針落在紅色區(qū)域A的概率幾何概型實驗有限區(qū)域、無限樣本點等可能性概率的幾何定義在幾何概型試驗中，設(shè)樣本空間為Ω，事件A包含于Ω，則事件A發(fā)生的概率為其中幾何度量指長度、面積或體積等。例1.（會面問題）甲乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個人一刻鐘，過時即可離去.求兩人能會面的概率.例2.蒲豐（Buffon）投針問題.平面上畫等距離的平行線，平行線的距離為,

向平面任意投擲一枚長為的針，試求針與平行線相交的概率./view/1252319.htm這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計劃”。該計劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法.隨機模擬法（蒙特-卡洛（Monte-Carlo）法）設(shè)計一個隨機試驗使一個事情的概率與某個要求的未知數(shù)有關(guān)，然后通過重復(fù)試驗，以頻率代替概率，求出未知數(shù)的近似解.應(yīng)滿足下面要求即是一個代數(shù)概率的公理化定義非負性0≤P(A)≤1規(guī)范性：P(Ω)=1可列可加性：若A1,A2,…,An,…兩兩互不相容，則有則稱P(A)為事件A的概率。定義1.2設(shè)隨機試驗E的樣本空間為Ω，對試驗E的任一隨機事件A，定義在的一個實值函數(shù)P(A),若滿足：在上有定義的非負、可列可加的集函數(shù)稱作在上的測度，所以可知是事件域上的一個規(guī)范化的測度。概率的重要性質(zhì)P(φ)=0有限可加性：若A1,A2,…,An是一組兩兩互不相容的事件，則有對任一隨機事件A,有若A包含B,有P(A-B)=P(A)-P(B)對任意事件A、B,有推論對任意事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)若A包含B,有P(A)≥P(B)若AB=φ,有P(A+B)=P(A)+P(B)對任意n個事件A1,A2,…,An,有這個公式稱為概率的一般加法公式定義1.3對于上的集合函數(shù)，若對

中的任一單調(diào)不減的序列，有則稱集合函數(shù)在上是下連續(xù)的，其中定理1.1若是上的非負、規(guī)范的集合函數(shù)，則具有可列可加性的充要條件是（1）是有限可加的；（2）在

上是下連續(xù)的.

配對問題:把n

封信隨機地裝入n個寫好地址的信封中,問至少有一封信配對的概率。補充.在圓周上任取點三A,B,C,問三角形ABC為銳角三角形的概率.補充.

某種飲料濃縮液每箱子裝12聽，不法商人在每箱中放入4聽假冒貨。今質(zhì)檢人員從一箱中抽取3聽進行檢測，問查出假冒貨的概率是多少？作業(yè):P54162326條件概率、全概率公式和貝葉斯公式1.5ConditionalProbablility

、TotalProbablity

FomulaandBayes′RuleP32引例某班級有學(xué)生40人，其中有共青團員

15人.全班分成四個小組，第一小組有學(xué)生10人，其中共青團員4人.

（1）如果要在任選一人當(dāng)學(xué)生代表，那么這個代表恰好在第一組的概率是多少？（2）現(xiàn)在要任選一個共青團員當(dāng)團員代表，問這個代表恰好在第一組的概率有多大？條件概率定義1.4設(shè)A、B為隨機事件，且P(B)>0,則稱為已知事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的條件概率。注：條件概率滿足概率的三個基本性質(zhì)例1.某消費公司一直為某種肥皂產(chǎn)品做電視廣告，并對該產(chǎn)品進行了調(diào)查。設(shè)事件A表示“某人買了該產(chǎn)品”B表示“某人看過該廣告”C表示“某人既買了該產(chǎn)品又看過該廣告”若P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.12,則某人看過廣告會使他購買該產(chǎn)品的概率增加嗎？P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(C)/P(B)=0.12/0.4=0.3>P(A)例2.考慮有兩個孩子的家庭，假定每個孩子為男孩或女孩是等可能的。已知這一家有一個女孩，求這一家至少有一個男孩的概率。乘法公式設(shè)A，B為任意事件，若P(A)>0，P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)>0，P(AB)=P(B)P(A|B)推廣到n個事件的情況例3.已知某廠家的一批產(chǎn)品共100件，其中有5

件次品，但是采購員并不知道有幾件次品，為慎重起見，他對產(chǎn)品進行不放回的抽樣檢查，如果在被他抽查的3件產(chǎn)品中至少有一件是次品，則他拒絕購買這一批產(chǎn)品，求采購員購買這批產(chǎn)品的概率。

例4

有外形相同的球分裝三個盒子，每盒

10個。其中，第一個盒子中7個球標(biāo)有字母A，

3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中則有紅球8個，白球2個。實驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一球；若取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一球。如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功。求試驗成功的概率。全概率公式定理1.2設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且則對于事件B,有例5.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，現(xiàn)從中連續(xù)抽取兩次，每次1件，問第二次取得合格品的概率為多少？例6

某射擊小組有20名，其中一級射手4人二級射手8人，三級射手8人；一、二、三級射手能通過選拔進入比賽的的概率分別是0.9，0.7，0.4。求任選一名射手能通過選拔比賽的概率。例7.某保險公司把被保險人分為三類：“安全

的”、“一般的”與“危險的”。統(tǒng)計資料表

明，對于上述3種人而言，在一年期間內(nèi)發(fā)

生事故的概率依次為0.05、0.15與0.30。如

果在被保險人中“安全的”占15%，“一般

的”占55%，“危險的”占30%，試問：

1.任一被保險人在一年中發(fā)生事故的概

率是多少？

2.如果某被保險人在一年中發(fā)生了事故，

則他屬于“危險的”一類人的概率是多

少？由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達了它們之間的關(guān)系.A1A2A3A4A5A6A7A8B諸Ai是原因B是結(jié)果實際中還有下面一類問題，是“已知結(jié)果找原因”被保險人出事故危險的？一般的？安全的？貝葉斯（Bayes）公式定理1.3設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且則B已發(fā)生的條件下,Ak發(fā)生的概率為貝葉斯統(tǒng)計起源于英國學(xué)者貝葉斯(ThomasBayes1702(?)~1761)死后發(fā)表的一篇論文“論有關(guān)給予問題的求解”在此論文在中他提出著名的貝葉斯公式。

Bayes

公式在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中有多方面的應(yīng)用，其主要思想已經(jīng)形成了Bayes統(tǒng)計學(xué)派的的理論基礎(chǔ)，在哲學(xué)界也有一定的影響。例8.甲胎蛋白試驗法是早期發(fā)現(xiàn)肝癌的一種有效手段。據(jù)統(tǒng)計，肝癌患者甲胎蛋白試驗呈陽性反應(yīng)的概率為95%，非肝癌患者甲胎蛋白試驗呈陽性反應(yīng)的概率為10%。已知某地人群中肝癌患者占0.04%，現(xiàn)在此地有一人用甲胎蛋白試驗法進行檢查，結(jié)果顯示陽性，問這人確定是肝癌患者的概率是多少？1.某工廠有第一、第二、第三，三個車間。它們生產(chǎn)同一種晶體管，而且每個車間的產(chǎn)量分別占該產(chǎn)生產(chǎn)的20%，30%，50%，如果每個車間產(chǎn)品的廢品率分別為0.06，

0.03，0.02，從全廠總產(chǎn)品中任取一品，檢查結(jié)果是廢品，問它恰好是第一車間生產(chǎn)的概率是多大？課堂練習(xí):2.在數(shù)字通訊中，信號是由數(shù)字0和1的長序列組成的，由于隨機干擾，發(fā)送的信號0或1各有可能錯誤接收為1或0。現(xiàn)假設(shè)發(fā)送信號為0和1的概率均為1/2；有已知發(fā)送0接收為0和1的概率分別為0.7和0.3；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.9和0.1。求已知收到信號0，發(fā)出信號是0的概率。作業(yè):P563132補充作業(yè):已知第一個箱子中有20個產(chǎn)品,其中有兩件是次品,從第一個箱子中取五件產(chǎn)品到第二個箱子,現(xiàn)在從第二個箱子中任取一件是次品的概率是多少?事件的獨立性1.6課本P41IndependenceofEvents23479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，其中六個紅球，四個白球，把球攪勻。無放回抽取a.連續(xù)兩次從中任取一球，求兩次都取到紅球的概率。b.取一球后放回袋中再任取一球，求兩次都取到紅球的概率。有放回抽取事件獨立性定義1.5

若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)，則稱A、B相互獨立。簡稱獨立.若P(A)>0，P(B)>0，A、B相互獨立，則有P(A)=P(A|B)，P(B)=P(B|A)。概率為零的事件(必然事件)與任何事件相互獨立。例1.分別擲兩枚均勻的硬幣,令

A={硬幣甲出現(xiàn)正面}B={硬幣乙出現(xiàn)正面}驗證事件A,B是相互獨立的.例2.一個家庭中有若干個小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令

A={一個家庭中有男孩,又有女孩}B={一個家庭最多有一個女孩}對下述兩種情形,討論A與B的獨立性:(1)家庭中有兩個小孩;(2)家庭中有三個小孩.定理：若兩事件A、B獨立，則證：什么關(guān)系？互不相容獨立性若A,B獨立，則P(AB)=P(A)P(B)若AB=Φ，則P(A+B)=P(A)+P(B)多個事件的獨立性對于任意三個事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)A、B、C兩兩獨立A、B、C相互獨立例3.如果將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正面H

和反面T的出現(xiàn)情況，則此時樣本空間為Ω={HH,HT,TH,TT}設(shè)事件A表示“第一次正面朝上”；事件B表示“第二次正面朝上”；事件C表示“兩次出現(xiàn)情況相同”討論A、B、C的獨立性。多個事件的獨立性若n個事件A1,A2,…,An滿足則稱事件A1,A2,…,An相互獨立.例4.若你每周買一張彩票，你堅持了10年（每年52周）之久，你從未中頭獎的概率是多少？a1a2an…a1a2a