5.1滑動摩擦5.2摩擦角和自鎖現象5.3考慮摩擦的平衡問題5.4滾動摩擦第五章

摩擦滑動摩擦——由于物體間相對滑動或有相對滑動趨勢引起的摩擦。滾動摩擦——由于物體間相對滾動或有相對滾動趨勢引起的摩擦。當兩個相互接觸的物體具有相對滑動或相對滑動趨勢時，彼此間產生的阻礙相對滑動或相對滑動趨勢的力，稱為滑動摩擦力。5.1滑動摩擦摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對滑動的趨勢或相對滑動的方向相反，它的大小根據主動力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動摩擦力，最大靜滑動摩擦力和動滑動摩擦力。5.1滑動摩擦若僅有滑動趨勢而沒有滑動時產生的摩擦力稱為靜滑動摩擦力；若存在相對滑動時產生的摩擦力稱為動滑動摩擦力。5.1滑動摩擦在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，該物體在重力P和法向反力FN的作用下處于靜止狀態。今在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，當拉力F由零值逐漸增加但不很大時，物體仍保持靜止。可見支承面對物體除法向約束反力FN外，還有一個阻礙物體沿水平面向右滑動的切向力，此力即靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力，常以FS表示，方向向左，如圖。5.1.1靜滑動摩擦力及最大靜滑動摩擦力FNPFNPFSF靜摩擦力的大小隨水平力F的增大而增大，這是靜摩擦力和一般約束反力共同的性質。靜摩擦力又與一般約束反力不同，它并不隨力F的增大而無限度地增大。當力F的大小達到一定數值時，物塊處于將要滑動、但尚未開始滑動的臨界狀態。5.1.1靜滑動摩擦力及最大靜滑動摩擦力FNPFSF這時，只要力F再增大一點，物塊即開始滑動。當物塊處于平衡的臨界狀態時，靜摩擦力達到最大值，即為最大靜滑動摩擦力，簡稱最大靜摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再繼續增大，但靜摩擦力不能再隨之增大，物體將失去平衡而滑動。這就是靜摩擦力的特點5.1.1靜滑動摩擦力及最大靜滑動摩擦力FNPFSF綜上所述可知，靜摩擦力的大小隨主動力的情況而改變，但介于零與最大值之間，即靜摩擦定律（庫侖摩擦定律）

由實驗證明：最大靜滑動摩擦力的大小與兩物體間的法向反力的大小成正比，即：這就是靜滑動摩擦定律。式中fs稱為靜滑動摩擦系數。靜摩擦定律（庫侖摩擦定律）靜摩擦定律（庫侖摩擦定律）靜摩擦系數的大小需由實驗測定。它與接觸物體的材料和表面情況(如粗糙度、溫度和濕度等)有關，而與接觸面積的大小無關。5.1.2動滑動摩擦定律當滑動摩擦力已達到最大值時，若主動力F再繼續加大，接觸面之間將出現相對滑動。此時，接觸物體之間仍作用有阻礙相對滑動的阻力，這種阻力稱為動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力，以Fd表示。5.1.2動滑動摩擦定律實驗表明：動摩擦力的大小與接觸體間的正壓力成正比，即式中f是動摩擦系數，它與接觸物體的材料和表面情況有關。5.1.2動滑動摩擦定律動摩擦力與靜摩擦力不同，沒有變化范圍。一般情況下，動摩擦系數小于靜摩擦系數，即

f<fs。5.1.2動滑動摩擦定律當滑動摩擦力已達到最大值時，若主動力F再繼續加大，接觸面之間將出現相對滑動。此時，接觸物體之間仍作用有阻礙相對滑動的阻力，這種阻力稱為動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力，以Fd表示。實驗表明：動摩擦力的大小與接觸體間的正壓力成正比，即式中f是動摩擦系數，它與接觸物體的材料和表面情況有關。動摩擦力與靜摩擦力不同，沒有變化范圍。一般情況下，動摩擦系數小于靜摩擦系數，即f<fs。5.1.2動滑動摩擦定律實際上動摩擦系數還與接觸物體間相對滑動的速度大小有關。對于不同材料的物體，動摩擦系數隨相對滑動的速度變化規律也不同。

多數情況下，動摩擦系數隨相對滑動速度的增大而稍減小，但當相對滑動速度不大時，動摩擦系數可近似地認為是個常數。5.2.1摩擦角當有摩擦時，支承面對平衡物體的反力包含法向反力FN和切向摩擦力Fs,這兩個力的合力稱為支承面的全約束反力，即FR=FN+Fs，它與支承面間的夾角j將隨主動力的變化而變化，當物體處于臨界平衡狀態時，j角達到一最大值jf。全約束力與法線間的夾角的最大值jf稱為摩擦角。5.2摩擦角和自鎖現象FNFsFRjFNFmaxFRjjf由圖可知，角jf與靜滑動摩擦系數f的關系為：5.2.1摩擦角即：摩擦角的正切等于靜摩擦系數。可見，摩擦角與摩擦系數一樣，都是表示材料的表面性質的量。FNFmaxFRjjf5.2.1摩擦角當物塊的滑動趨勢方向改變時，全約束反力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態下，FR的作用線將畫出一個以接觸點A為頂點的錐面，稱為摩擦錐。設物塊與支承面間沿任何方向的摩擦系數都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個頂角為2jf的圓錐。由圖可知，角jf與靜滑動摩擦系數f的關系為：5.2.1摩擦角即：摩擦角的正切等于靜摩擦系數。可見，摩擦角與摩擦系數一樣，都是表示材料的表面性質的量。當物塊的滑動趨勢方向改變時，全約束反力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態下，FR的作用線將畫出一個以接觸點A為頂點的錐面，稱為摩擦錐。設物塊與支承面間沿任何方向的摩擦系數都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個頂角為2jf的圓錐。FNFmaxFRjjf

5.2.2自鎖現象物塊平衡時，靜摩擦力不一定達到最大值，可在零與最大值Fmax之間變化，所以全約束反力與法線間的夾角j也在零與摩擦角jf之間變化，即由于靜摩擦力不可能超過最大值，因此全約束反力的作用線也不可能超出摩擦角以外，即全約束反力必在摩擦角之內。FNFmaxFRjjfqjfjfjfFRFRAAj(1)如果作用于物塊的全部主動力的合力FR的作用線在摩擦角jf之內，則無論這個力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現象稱為自鎖現象。

因為在這種情況下，主動力的合力FR與法線間的夾角q<jf，因此，FR和全約束反力FRA必能滿足二力平衡條件，且q=j<jf。5.2.2自鎖現象

5.2.2自鎖現象qjfjfjfFRFRAAj(2)如果全部主動力的合力FR的作用線在摩擦角j之外，則無論這個力怎樣小，物塊一定會滑動。

因為在這種情況下，q>j

f，而j≤jf，支承面的全約束反力FRA和主動力的合力FR不能滿足二力平衡條件。應用這個道理，可以設法避免發生自鎖現象。斜面的自鎖條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角。斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。因為螺紋可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角a就是斜面的傾角。螺母相當于斜面上的滑塊A，加于螺母的軸向載荷P，相當物塊A的重力，要使螺紋自鎖，必須使螺紋的升角a小于或等于摩擦角jf。因此螺紋的自鎖條件是5.2.2自鎖現象5.3考慮摩擦的平衡問題考慮摩擦時，求解物體平衡問題的步驟與前幾章所述大致相同，但有如下的幾個特點：(1)分析物體受力時，必須考慮接觸面間切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的數目；5.3考慮摩擦的平衡問題(2)為確定這些新增加的未知量，還需列出補充方程，即Fs≤fsFN，補充方程的數目與摩擦力的數目相同；5.3考慮摩擦的平衡問題(3)由于物體平衡時摩擦力有一定的范圍(即0≤Fs≤fsFN)，所以有摩擦時平衡問題的解亦有一定的范圍，而不是一個確定的值。5.3考慮摩擦的平衡問題

工程中有不少問題只需要分析平衡的臨界狀態，這時靜摩擦力等于其最大值，補充方程只取等號。有時為了計算方便，也先在臨界狀態下計算，求得結果后再分析、討論其解的平衡范圍。5.3考慮摩擦的平衡問題考慮摩擦時，求解物體平衡問題的步驟與前幾章所述大致相同，但有如下的幾個特點：(1)分析物體受力時，必須考慮接觸面間切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的數目；(2)為確定這些新增加的未知量，還需列出補充方程，即Fs≤fsFN，補充方程的數目與摩擦力的數目相同；(3)由于物體平衡時摩擦力有一定的范圍(即0≤Fs≤fsFN)，所以有摩擦時平衡問題的解亦有一定的范圍，而不是一個確定的值。P129思考題5-7:分析后輪驅動的汽車前、后輪摩擦力的方向。前輪后輪F1N1F2N2MAA

解1：（解析法）以物塊為研究對象，當物塊處于向下滑動的臨界平衡狀態時，受力如圖，建立如圖坐標。例1將重為P的物塊放在斜面上，斜面傾角大于接觸面的摩擦角（如圖），已知靜摩擦系數為f，若加一水平力使物塊平衡，求力的范圍。聯立求解得：當物塊處于向上滑動的臨界平衡狀態時，受力如圖，建立如圖坐標。聯立求解得：故力應滿足的條件為：解2：（幾何法）當物體處于向下滑動的臨界平衡狀態時，受力如圖，可得力三角形如圖。由力三角形可得：解2：（幾何法）

當物體處于向上滑動的臨界平衡狀態時，受力如圖，可得力三角形如圖。由力三角形可得：解2：（幾何法）故力應滿足的條件為：將上式展開亦可得同上結果。例2梯子AB長為2a，重為P，其一端置于水平面上，另一端靠在鉛垂墻上，如圖。設梯子與地和墻的靜摩擦系數均為，問梯子與水平線的夾角多大時，梯子能處于平衡？解1：（解析法）以梯子為研究對象，當梯子處于向下滑動的臨界平衡狀態時，受力如圖，此時角取最小值。建立如圖坐標。———（1）——（2）—（3）由摩擦定律：——（4）——（5）將式（4）、（5）代入（1）、（2）得：即可解出：故應滿足的條件是：此條件即為梯子的自鎖條件。將代入（2）求出，將

和代入（3），得：將代入上式，解出：解2：（幾何法）

當梯子處于向下滑動的臨界平衡狀態時，受力如圖，顯然，于是故應滿足的條件是：例3在用鉸鏈O固定的木板AO和BO間放一重W的勻質圓柱，并用大小等于P的兩個水平力P1與P2維持平衡，如圖所示。設圓柱與木板間的摩擦系數為

f，不計鉸鏈中的摩擦力以及木板的重量，求平衡時P的范圍。2dP1P2ABCDWO2(分析：P小，下滑；P大，上滑)解:(1)求P的極小值F1F2CDWON1N2設圓柱處于下滑臨界狀態,畫受力圖.由對稱性得:N1=N2=NF1=F2=FFy

=0聯立(1)和(2)式得:取OA板為研究對象畫受力圖，此時的水平力有極小值PminP1N1ACOF1FxFyF1F2CDWON1N2P1N1ACOF1MO(Fi)=0max(2)求P的極大值當P達到極大值時,圓柱處于上滑臨界狀態.只要改變受力圖中摩擦力的指向和改變F前的符號即可.用摩擦角表示得:當角等于或大于時，無論P多大，圓柱不會向上滑動而產生自鎖現象。例重W的方塊放在水平面上，并有一水平力P作用。設方塊底面的長度為b,P與底面的距離為a，接觸面間的摩擦系數為f，問當P逐漸增大時，方塊先行滑動還是先行翻倒？WPabWPACaFNFmax解：1假定方塊處于滑動臨界平衡狀態Fy

=0N

-

W=0Fx

=0P

-

Fm=0即P

=Fm=f·N=f·WFmax=f·FN2假定方塊處于翻倒臨界平衡狀態,畫受力圖。WPabNFAMA(Fi)=03討論:比較W·b/2a與f·W可知(1)如果f·W>W·b/2a,即f>b/2a,則方塊先翻倒。（W·b/2a為將要翻倒時所需P力）（·W為將要滑動時所需P力）(2)如果f·W<W·b/2a,即f<b/2a,則方塊先滑動(3)如果f·W=Wb/2a,即f=b/2a,則滑動與翻倒將同時發生例5

均質三角板OAB的重量為W1，均質圓輪C的重量為W2，圓輪的外半徑為R，內半徑為r，且R＝2r，D、E處靜摩擦系數都為f，若水平拉力Q作用于H處，

,試求系統能保持平衡Q的最大值（不計滾動摩阻）。解該題若先判斷出D、E兩處接觸面滑動趨勢，再畫出這兩個接觸處摩擦力的方向，存在一定困難，但若應用平衡方程作定性受力分析，則可正確確定兩接觸處摩擦力方向。可確定D、E處摩擦力方向均自右向左，圓輪的受力圖如圖:本題的解題步驟為1°以圓輪為研究對象，由Q2°以三角塊為研究對象，其受力圖為圖（c）3°假設D處先達到臨界狀態，則在臨界狀態下求得：，所以無法確定D、E處哪處先滑動。

4°假設E處先達到臨界狀態，則在臨界狀態下求得：5°系統能保持平衡的最大Ｑ為這說明，對系統中多處存在摩擦的平衡問題，當系統的平衡狀態破壞時，各處摩擦力一般不會同時達到最大值。此題平衡狀態破壞時圓盤處于滾動狀態。5-4滾動摩擦(1)滾阻力偶和滾阻力偶矩QPcrA設一半徑為r的滾子靜止地放在水平面上，滾子重為P。在滾子的中心作用一較小的水平力Q。取滾子為研究對象畫受力圖。Fx=0Q-F=0Fy=0N-P=0mA(Fi)=0m-Qr=0m=QrQPcrANFm(2)產生滾阻力偶的原因AoQPNFRAoQPB

滾子與支承面實際上不是剛體,在壓力作用下它們都會發生微小變形。

設反作用力的合力為R并作用于B點,滾子在力P,Q與R作用下處于平衡狀態。

將力R

沿水平與豎直兩個方向分解,則水平分力即為摩擦力F，豎直分力即為法向反力N。由于物體變形力N向前偏移一微小距離e。eAoQPNFmAoQPFN將力F與N向A點簡化，得到作用于A點的力N與F，另外還得到一附加力偶.其力偶矩為m=Ne。即阻止滾子滾動的滾阻力偶。(3)滾動摩擦定律mA(Fi)=0m-Qr=00m

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