§2估計量的評選標準

對于同一參數，用不同的估計方法求出的估計量可能不相同。

問題：采用哪一個估計量好?1X1,X2,…,Xn為來自該總體的樣本。設總體X~F(x,

),其中

為未知參數。為

的一個估計量。2估計量而當樣本(X1,…,Xn)有觀測值(y1,…,yn)時，估計值為

是一個隨機變量，當樣本(X1,…,Xn)有觀測值(x1,…,xn)時，估計值為3由不同的觀測結果，就會求得不同的參數估計值.

因此評價一個估計量的好壞，不能僅僅依據一次試驗的結果來判斷，而必須根據估計量的分布從整體上來做評價。當樣本值取不同的觀測值時，希望相應的估計值在未知參數真值附近擺動，而它的均值與未知參數的真值的偏差越小越好.當這種偏差為0時，就導致無偏性這個標準.4（一）無偏性則稱為的無偏估計量.5作為的估計的系統誤差,無偏估計的意義就是無系統誤差。在科學技術中,將稱為以

例如，用樣本均值作為總體均值的估計時，雖無法說明一次估計所產生的偏差，但反復將這一估計量使用多次，平均來說其偏差為0.67證明：8試證明不論總體服從什么分布k階樣本矩例2設總體X的k階原點矩存在，記其為k

X1,X2,…,Xn為來自總體的樣本，是k階總體矩k的無偏估計量.解：由于因此樣本k階矩是總體k階矩的無偏估計量910例3

設總體X

N(，

2)，其中參數，

2未知，試用最大似然估計法求，

2的估計量，并問是否是無偏估計？11例4

設總體X的概率密度為其中,參數>0

為未知,X1,…,Xn為來自總體的樣本.試證,和nZ=n{min(X1,…,Xn)}都是的無偏估計量.解：因為故是的無偏估計X的分布函數為12先求Z的分布函數13對其求導數得到Z的密度函數為：指數分布即Z的分布函數14故因此,nZ也是的無偏估計量.1516

例5設X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣

本，且E(X)=。以下兩個估計是否為

的無偏估計（答：是）（答：是）

無偏估計以方差小者為好,這就引進了有效性這一概念.的大小來決定二者和一個參數往往有不止一個無偏估計,若和都是參數

的無偏估計量，比較我們可以誰更優.17舉個例子說明有效性18到商店購買電視機，看中了其中兩種品牌，分別由甲乙兩廠生產，外觀、音質和畫面都不錯.根據市場調查，甲乙兩廠生產的兩種電視機平均使用壽命相同，都是20年.甲廠生產的電視機質量較穩定，最低使用壽命18年，最高可以使用22年；乙廠生產的電視機質量穩定性差一些，最差的使用10年就壞了，但是最好的可以使用30年.選用哪一個廠家生產的電視機呢？19若將電視機的使用壽命視為隨機變量，甲乙兩廠生產的電視機使用壽命均值相等，但是乙廠的質量不穩定，即方差較大.從穩健的角度出發，顯然愿意購買甲廠生產的電視機，其風險較小，即方差較小，質量穩定.20集中或分散程度用DX

衡量散集中EXEX(二)有效性都是參數

的無偏估計量，若設和21例6試證當n>1時，例3中無偏估計量比無偏估計量nZ=n{min(X1,…,Xn)}有效2223（三）相合性

設總體X的k階矩存在，則樣本的k階矩是總體k階矩的相合估計量24我們介紹了參數點估計，討論了估計量的優良性準則.給出了尋求估計量最常用的矩估計法和最大似然估計法.

參數點估計是用一個確定的值去估計未知的參數.看來似乎精確，實際上把握不大.為了使估計的結論更可信，需要引入區間估計.2526可信度：越大越好估計你的年齡

八成在21－28歲之間被估參數可信度范圍、區間區間：越小越好§3區間估計27

引例在估計湖中魚數的問題中，若我們根據一個實際樣本，得到魚數N的最大似然估計為1000條.實際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.為此，我們希望確定一個區間來估計參數真值,并且滿足：28a

使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數值.湖中魚數的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的b

區間估計的精度要高.29一置信區間的定義(1)當X是連續型隨機變量時，對于給定的，按照要求求出置信區間(2)當X是離散型隨機變量時，對于給定的，常找不到區間使得此時，找區間使得至少為且盡可能接近303132

2要求以很大的可能被包含在區間內，就是說，概率要盡可能大.3

估計的精度要盡可能的高.如要求區間長度盡可能短，或能體現該要求的其它準則.即要求估計盡量可靠.可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.二構造置信區間的方法1.樞軸量法3334即

此時是參數

的一個置信水平為1-

的置信區間.2.如何確定a,b希望置信區間盡可能短.

任意兩個數a和b，只要它們的縱標包含f(u)下95%的面積，就確定一個95%的置信區間.35在樞軸量W概率密度為單峰且對稱的情形，當a=-b時求得的置信區間的長度為最短.a=-b36

即使樞軸量W的概率密度不對稱的情形，如分布，F分布，習慣上仍取對稱的分位點來計算未知參數的置信區間.3738求參數的置信水平為的置信區間.

例1設X1,…,Xn是取自正態總體

的樣本，解：尋找一個樣本和待估參數的函數,要求其分布為已知.有了分布，就可以求出W取值于任意區間的概率.對給定的置信水平對于給定的置信水平,根據W的分布，確定一個區間,使得W取值于該區間的概率為置信水平.使39對給定的置信水平使從中解得40簡記為的一個置信水平為的置信區間4142說明：(2)置信區間的中心是樣本均值(3)置信水平越大，越大，因此置信區間越長，精度越低.(4)樣本容量n越大,置信區間越短,精度越高置信區間的長度為(1)ln越小，置信區間提供的信息越精確因為方差越大,隨機影響越大,精度越低43例2

旅游者消