第3章隨機誤差作者：劉兆平部門：機電設備系主菜單結束3-1教學目標本章闡述隨機誤差產生的原因與特征，減小隨機誤差的途徑。通過本章的學習，讀者應會分析隨機誤差產生的原因以及減少隨機誤差的途徑；掌握用算術平均值表示測量結果的最佳估計，并用實驗標準差以及置信區間來表示該隨機誤差的大小。本章內容是從事精密測量工作所必須掌握的基本方法，也是學習后續章節的基礎。

主菜單結束3-2隨機誤差產生的原因隨機誤差的本質特征算術平均值貝塞爾公式試驗標準差測量結果的最佳估計置信區間教學重點和難點主菜單結束3-3第一節隨機誤差概述

本節介紹隨機誤差產生的原因，隨機誤差的本質特征以及減少隨機誤差的技術途徑。主菜單結束4一、隨機誤差產生的原因舉例：某臺激光數字波面干涉儀，對其進行準確度考核，在相同測量條件下對某標準平晶的表面面形進行150次重復測量獲得面形峰谷值數據。通過實驗分析，查詢有關的技術資料和其他信息，可知隨機誤差來源結論：對具體測量問題具體分析，從所用的設備、人員、測量方法等資源以及環境等要素中去分析尋找主要的隨機誤差來源。主菜單結束5150次的面形峰谷值數據0.1240.1200.1180.1190.1210.1250.1210.1230.1200.1180.1190.1170.1180.1210.1190.1180.1190.1190.1150.1200.1190.1190.1190.1160.1160.1180.1210.1200.1220.1220.1190.1210.1210.1240.1210.1180.1180.1190.1200.1180.1190.1220.1180.1190.1190.1170.1180.1180.1180.1200.1190.1180.1200.1240.1200.1180.1180.1190.1210.1230.1240.1230.1180.1190.1190.1200.1200.1190.1190.1180.1230.1210.1190.1180.1200.1200.1200.1190.1200.1230.1180.1210.1190.1210.1200.1230.1230.1210.1180.1190.1200.1210.1220.1190.1210.1220.1190.1200.1170.1250.1190.1270.1200.1240.1230.1230.1180.1190.1240.1220.1230.1240.1210.1230.1230.1210.1200.1210.1230.1270.1250.1210.1200.1240.1230.1230.1240.1230.1190.1210.1230.1290.1210.1200.1210.1240.1230.1210.1250.1190.1220.1270.1210.1200.1220.1210.1220.1230.1240.121主菜單結束6數據列表明，各次測值不盡相同，這說明各次測量中含有隨機誤差，這些誤差的出現沒有確定的規律，即前一個數據出現后，不能預測下一個數據的大小。但就數據整體而言，卻明顯具有某種統計規律，這個規律可以用統計直方圖來表示。數據特點主菜單結束70.130.1140.1160.1180.120.1220.1240.1260.12801020304050

統計直方圖統計直方圖在對稱性方面有一些偏離理想正態分布的情形。對于測量狀態不完好的光電類測量儀器，特別是對傳動機械部件磨損較嚴重而規律尚未掌握的儀器，其測量隨機誤差可能就呈現其他分布的特征。對于測量狀態比較完好的光電類測量儀器，其隨機誤差的分布往往較好的呈現正態分布的特征主菜單結束8激光數字波面干涉儀的隨機誤差主要來源測量裝置方面的因素

氦氖激光源輻射激光束的頻率不夠穩定造成激光波長的漂移

CCD光電探測器采集信號及其電信號處理電路造成干涉圖像信號的隨機噪聲

離散化采樣誤差、各次裝夾定位不一致

測量環境方面的因素

放置測量主機和被測試樣的隔震臺不能很好消除外界的低頻震動

儀器所在實驗室氣流和溫度的波動

空氣塵埃的漂浮、穩壓電源供電電壓的微小波動

操作人員方面的因素

操作人員的裝夾調整不當引起被采集的測量干涉圖像質量低、條紋疏密不當

采集干涉圖像的攝像頭變焦倍數過小造成較大的離散化采樣誤差

主菜單結束9減小隨機誤差的技術途徑

(1)測量前，找出并消除或減小其隨機誤差的物理源;(2)測量中，采用適當的技術措施，抑制和減小隨機誤差;(3)測量后，對采集的測量數據進行適當處理，抑制和減小隨機誤差。對防震臺充氣減震、關空調減少氣流、開機對激光器預熱等。

戴工作手套裝夾工件，調整光路要盡量減少離焦、傾斜，并使干涉條紋疏密適當，人員盡量遠離測量光路；必要的話，適當增加重復測量次數取算術平均值等

視需要，有針對性地對采集的測量干涉圖進行預處理，如用低通濾波、平滑濾波等方法來消除中高頻隨機噪聲，用高通濾波法則可以有效消除低頻隨機噪聲。

主菜單結束10二、隨機誤差的本質特征主菜單結束3-11隨機誤差的表述

表述方法被測量的真值

一系列測量值，假設各次測量值中不含有系統誤差

主菜單結束12當測量次數n充分大時，有以及抵償性是各種隨機誤差所共有的本質特征。

隨機誤差的抵償性主菜單結束13隨機誤差的隨機性影響

對于任何的測量，其中的隨機誤差源客觀存在，它造成對每次測量數據的不可預測的隨機性影響

影響表現在該測量總體服從某種分布

誤差大小可以通過標準差來估計

誤差界限則可用置信區間表示

主菜單結束14含有隨機誤差的測量數據問題的處理方法

有條件獲取較大樣本數據的情形

可以做出實驗統計直方圖，定性定量地給出測量總體及其誤差分布的判斷，進而從中提取表示被測量大小的數字特征，并給出完整的測量結果

無條件獲取大樣本數據的情形

必須依據小樣本的測量數據以及可能了解到的有關測量信息，合理給出代表測量總體的測量結果，包括其最佳估計值及其標準差、置信區間等

主菜單結束15

第二節

算術平均值

本節主要介紹算術平均值的意義以及如何計算算術平均值的標準差。主菜單結束16一、算術平均值的意義在等權測量條件下，對某被測量進行多次重復測量，得到一系列測量值,常取算術平均值作為測量結果的最佳估計。主菜單結束17無限多次測量算術平均值作為真值的理論依據

若測量次數無限增多，且無系統誤差下，由概率論的大數定律知，算術平均值以概率為1趨近于真值因為根據隨機誤差的抵償性，當n充分大時，有

主菜單結束18最佳估計的意義若測量次數有限，由參數估計知，算術平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量，即滿足無偏性、有效性、一致性滿足最小二乘原理在正態分布條件下，滿足最大似然原理該所有測量值對其算術平均值之差的平方和達到最小該測量事件發生的概率最大

主菜單結束19二、算術平均值的標準差適當增加測量次數取其算術平均值表示測量結果，是減小測量隨機誤差的一種常用方法。計算公式算術平均值的標準差單次測量標準差測量總體標準差

主菜單結束2010次算術平均值與單次測量的分布關系

兩者的分布類型和峰值位置未發生變化，只是分散性不同。主菜單結束21

測量次數愈大時，也愈難保證測量條件的不變，從而帶來新的誤差。另外，增加測量次數，必與測量次數的關系

當一定時， 以后， 已減小得較緩慢。然會增加測量的工作量及其成本。因此一般情況下，取以內較為適宜。總之，要提高測量準確度，應選用適當準確度的測量儀器，選取適當的測量次數。主菜單結束22第三節實驗標準差主菜單結束3-23實驗標準差定義貝塞爾公式極差法最大誤差法對于一組測量數據，用其標準差來表述這組數據的分散性如果這組數據是來自于某測量總體的一個樣本，則該組數據的標準差是對該測量總體標準差的一個估計，稱其為樣本標準差，又稱為實驗標準差

主菜單結束24一、貝塞爾公式公式意義總體標準差的估計(實驗樣本標準差)計算公式是方差的無偏估計，但s并不是標準差的無偏估計為殘余誤差，簡稱殘差。主菜單結束25

修正貝塞爾公式貝塞爾公式的修正因子２34567891015201.251.131.091.061.051.041.041.031.031.021.01值隨減少明顯偏離系數1在樣本數較小的情形（如），為了提高對s估計的相對誤差，最好用無偏修正的貝塞爾公式主菜單結束26標準差的相對誤差

在n次測量服從正態分布且獨立的條件下，有

適用的估計貝塞爾公式的相對誤差的公式

估計標準差的相對誤差，用百分數表示，該百分數愈小，表示估計的信賴程度愈高。主菜單結束27幾種估計標準差的相對誤差貝塞爾公式0.80修正貝塞爾公式0.60極差法0.76最大誤差法0.750.51４1230.570.460.520.450.470.390.430.40５0.400.340.370.36６0.360.310.340.33７0.320.280.310.31８0.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23當樣本數較小的情形（如），用貝塞爾公式估計的信賴程度已經開始低于極差法和最大誤差法，應當改用修正的貝塞爾公式來估計標準差

主菜單結束28用某儀器測某物水份含量，測得50個數據如下（單位：水份百分比（％））3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2.7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3.6,3.4,3.3試評價該儀器的測量重復性及其相對標準差。【例3-1】【解】分別計算故該儀器的測量重復性為0.44,其估計相對誤差為0.10。

主菜單結束29二、極差法對多次獨立測得的數據，最大值，最小值當測量誤差服從正態分布時，標準差的計算公式

估算時的相對誤差

極差是測量總體標準差的無偏估計

主菜單結束30

極差法系數２1.130.7692.970.27163.530.2131.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.740.2072.700.31143.410.2282.850.29153.470.22主菜單結束31三、最大誤差法測量誤差服從正態分布時，估計標準差的計算公式

估算時的相對誤差

在已知被測量的真值的情形，多次獨立測得的數據的真誤差，其中的絕對值最大在只進行一次性實驗中，是唯一可用的方法主菜單結束32最大殘差法

在一般情況下，被測量的真值難以知道，無法應用最大誤差法估計標準差

最大殘余誤差估計標準差

最大殘差法不適用于n=1的情形

主菜單結束33最大誤差法系數0.880.511.77４1230.750.451.020.680.400.83５0.640.360.74６0.610.330.68７0.580.310.64８0.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251.250.75主菜單結束34

對某量測得數據7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，試分別用貝塞爾公式、修正貝塞爾公式、極差法、最大誤差法估計其測量標準差及其標準差的相對標準差。【例3-2】【解】(1)用貝塞爾公式估算查表，并插值計算

主菜單結束35(2)用修正貝塞爾公式估算查表，并插值計算

(3)用極差法估算查表，得故計算結果1主菜單結束36（4）用最大誤差法估算真值未知，計算最大殘差

查表，插值計算得

故計算結果2主菜單結束37

進行一次導彈發射實驗，導彈著落點距靶心35，試求射擊的標準差。【例3-3】【解】查表，得

故射擊的標準差為

標準差的相對標準差本例測量一次的情形,唯有最大誤差法可以估計其實驗的標準差,由于樣本數為1，故其估計的信賴程度只有25%。主菜單結束38第四節置信區間

本節介紹如何確定誤差分布的區間性指標，即可用于表述誤差界限的置信區間。在置信概率一定的情況下，置信區間還與誤差分布的具體形態密切相關。本節對置信區間給出一般的數學描述，而且還要針對幾種常見的誤差分布進行具體討論。由于測量誤差分布與測量總體的分布之間對測量數據的描述方式上，只是相差一個常數值，故以下均按測量總體分布來描述。主菜單結束39置信區間的基本概念置信區間計算公式測量總體的概率密度

置信概率或置信水平,為顯著水平

期望值

下半置信區間寬度，上半置信區間寬度

概率密度呈對稱分布的情形，常取高置信水平下的置信區間半寬度又稱為極限誤差主菜單結束40置信區間半寬度的常用表示方法或或置信因子標準差

確定置信區間半寬度的關鍵是在已估計標準差下如何確定置信因子

主菜單結束41一、正態分布的置信區間主菜單結束3-421、總體標準差或大樣本標準差已知的情形置信區間半寬度為置信因子由計算得到正態積分函數，可查表獲得總體標準差已知總體標準差未知，但已知大樣本標準差置信概率或置信水平(單次測量)(n次測量)(單次測量)(n次測量)主菜單結束432.03.02.580.990.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.50.99730.00273.300.9990.001一些常用置信因子對應的置信水平

主菜單結束442、小樣本標準差已知的情形

置信區間半寬度為(單次測量)置信區間半寬度為(n次測量)自由度，為樣本容量

自由度，為測量次數值可通過查分布表得到，為顯著水平

主菜單結束453、沒有標準差已知信息的情形

置信區間半寬度為主菜單結束46（1）大樣本情形，估計置信區間的置信因子都用正態分布；小樣本情形，則用t分布。（2）單次測量情形，估計置信區間的標準差都用單次測量的標準差；多次測量情形，則用算術平均值的標準差。總結主菜單結束47

用游標卡尺對某一試樣尺寸測量10次，假定測量服從正態分布，并已消除系統誤差和粗大誤差，得到數據如下（單位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08(1)求算術平均值及其標準差，并估計標準差的信賴程度；(2)求算術平均值的極限誤差（=0.9973）。【例3-5】【解】(1)分別計算故該標準差估計的信賴程度為

。

主菜單結束48（2）先按小樣本估計，查分布臨界值表,

有再按大樣本估計，查正態分布臨界值表，

有綜上所述：（1）算術平均值是處理等權測量數據的一個最佳估計量；（2）一般按貝塞爾公式計算和，樣本數時只能用最大誤差法計算；（3）算術平均值的極限誤差一般按確定。計算結果主菜單結束49二、其他分布的置信區間

對稱性分布

與處理正態分布置信區間的方法相仿，可以從概率密度函數直接計算該區間概率的方式得到,并用下式表示非對稱性分布

將非對稱分布折算為對稱正態分布來處理，實質上是依分布于中點值表示，而折算到依均值表示。

或主菜單結束50非正態分布按正態分布折算估計范圍分別依均值和中點值折算到正態