第二章

平面匯交力系與平面力偶系

平面匯交力系現實生活中往往有許多情況是力的作用線匯交于一點這樣的力系稱為匯交力系右圖為為平面匯交力系平面匯交力系內容平面匯交力系的合成

研究方法幾何法平面匯交力系的平衡解析法§2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系合成與平衡的幾何法

2.1.1平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則F3F2F1F4AabcdeF1F2F3F4FRabcdeF1F2F3F4FR分力矢與合力矢構成的多邊形稱為力多邊形。力多邊形中表示合力矢量的邊稱為力多邊形的封閉邊。用力多邊形求合力的作圖規則稱為力的多邊形法則。FRF12F123平面匯交力系合成的幾何法

力的多邊形法則1、各分力矢首尾相接；2、合力矢為封閉邊，且合力的方向與各分力環繞力多邊形的方向相反。abcdeF1F2F3F4FR結論：平面匯交力系可簡化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和(幾何和)，合力的作用線通過匯交點。

用矢量式表示為：平面匯交力系合成的幾何法

例教材P36習題2-1力系為平面匯交力系，可由幾何法求合力。按比例量取，可求得合力矢的大小與方向。先作力多邊形由平面幾何知識可求得合力矢的大小與方向。F1F2F3FR近似計算精確計算平面匯交力系平衡的幾何法

2.1.2平面匯交力系平衡的幾何條件

平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。用矢量式表示為：=0i∑FabcdeF1F2F3F4FR在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的終點與第一力的起點重合，此時的力多邊形稱為自行封閉的力多邊形。

于是，平面匯交力系平衡的幾何條件是：力多邊形自行封閉.平面匯交力系合成的幾何法

問題思考得出錯誤結論的原因何在？是不是力多邊形自行封閉，剛體就平衡？剛體上A、B、C、D四點組成一個平行四邊形，如在其四個頂點作用有四個力，此四力沿四個邊恰好組成封閉的力多邊形，如圖所示。此剛體是否平衡？F1F3BACDF2F4已知：AC=CB，F=10kN,各桿自重不計；求CD桿及鉸鏈A的受力。分析：CD為二力桿，受力圖如圖示。由此平衡，只能得到FC=FD，而求不出任何一個量，由此可見，要求二力桿的力，必須借助于別的物體。在此題中，可取AB為研究對象，通過它給AB的力，求出FC，也可取整體為研究對象，通過銷釘D給它的力，求出FD。例2-1平面匯交力系平衡的幾何法

本題有兩種解法，我們可采用其中任何一種方法求解。FCFD下面采用第一種方法求解，并用幾何法。解：取AB桿為研究對象，受力圖如圖（a）。畫封閉力三角形如圖（b）。由圖b中幾何關系得：由圖中幾何關系得：平面匯交力系平衡的幾何法

所以，解得：FCFFA圖a圖bFFCFA所以,CD桿受壓，壓力為28.3kN。1、取研究對象，畫受力圖。2、畫封閉力多邊形。3、根據力多邊形的幾何關系求解未知量。特別注意：幾何法步驟總結平面匯交力系平衡的幾何法

1、當受力圖中未知力的方向畫反時，要根據自行封閉的力多邊形糾正過來。2、要求二力構件的內力，必須指明拉壓。一.力在坐標軸上的投影§2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法（坐標法）平面匯交力系合成與平衡的解析法結論：力在某軸上的投影，等于力的大小乘以力與該軸正向間夾角的余弦。Fx=Fi.投影定義式平面匯交力系合成與平衡的解析法二.力沿軸的分解反之，當投影Fx

、Fy

已知時，則可求出力F的大小和方向：FxFxFyFy三、力的正交分解與力的解析表達式平面匯交力系合成與平衡的解析法xyOFFxFyij四、合力投影定理平面匯交力系合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數和。

表示為：合力投影定理xy由合力投影定理則，合力的大小為：方向為：作用點為力的匯交點。五.平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系合成的解析法22yxR(F)F+=(F)六.平面匯交力系的平衡方程平衡條件為：稱為平面匯交力系的平衡方程。而故有利用平面匯交力系的平衡方程可求解兩個未知量。22yxR(F)F+=(F)說明：相交的x軸、y軸不相互垂直，上述方程仍然是平面匯交力系平衡的充要條件。問題上述平衡方程是由直角坐標系推導出來的，對斜交的坐標系是否成立？由解析法求解平面匯交力系的平衡問題，選取的坐標軸不一定要相互垂直，斜交也可以，以利于解題為原則。求：此力系的合力。解：用解析法例2-2已知：圖示平面共點力系；FR用解析法重解例2-1解：取AB桿為研究對象，受力圖如圖示。建立圖示直角坐標系解得：由圖中幾何關系得：xy-FAcos+FCcos45=0-FAsin+FCsin45-F=01、取研究對象，畫受力圖2、建立坐標系，列方程3、解方程特別注意，若將FC畫反，則求得的FC=-28.3kN，此時，只要在解完方程后，加以說明即可。說明方法如下：解析法步驟總結FC所求為負，說明FC的實際方向與圖示方向相反，于是得知二力桿CD受壓。30已知：例2-3

系統如圖，不計桿、輪自重，忽略滑輪大小，P=20kN。-FBA+F1sin30=0-F2cos30解得：-FBC-F1cos30=0-F2cos60解得：FBA、FBC所求為負，說明AB桿、BC桿均受壓。F1F2FBAFBC30Bxy-求：系統平衡時，桿AB、BC受力。用解析法，建圖示坐標系解：取滑輪B（或點B）為研究對象，假定兩桿均受拉，受力圖如圖示。課堂練習如圖所示是汽車制動機構的一部分。司機踩到制動蹬上的力P=212N，方向與水平面成=45角。當平衡時，BC水平，AD鉛直，試求拉桿BC所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm（點E在鉛直線DA上），又B、C、D都是光滑鉸鏈，機構的自重不計。FBPFD解：(1)取制動蹬ABD為研究對象，受力如圖示。xy(2)建立圖示直角坐標系，并建立平衡方程。(3)解方程又解得所以拉桿BC所受拉力為750N。一、平面力對點之矩（力矩）2、力矩的表達式:

3、力矩的正負號規定：力使物體繞矩心逆時針轉動時，力F對O點的矩取正值，反之為負。§2-3平面力對點之矩的概念及計算1、力矩的定義——力F的大小乘以該力作用線到點O的距離h，并加上適當正負號，稱為力F對O點之矩。簡稱力矩。但有時力臂h不易求得，如下面討論計算力矩的其它方法。二、平面匯交力系的合力矩定理

平面匯交力系合力對同平面內一點之矩等于各分力對同一點之矩的代數和。稱為平面匯交力系的合力矩定理。則O三、力矩與合力矩的解析表達式即得這就是計算力矩的解析表達式由這就是計算合力矩的解析表達式。FxFy先將力F分解為兩個分力，由合力矩定理與力矩的定義式得：例2-4求:解法1:由合力矩定理求解已知:F=1400N,由定義求解解法2:hFFtFr§2-4平面力偶理論

平面力偶理論一.力偶和力偶矩1.何謂力偶?由兩個等值、反向、不共線的（平行）力組成的力系稱為力偶，記作(F,F')。力偶中兩力所在平面稱為力偶作用面。力偶兩力之間的垂直距離稱為力偶臂。2.力偶矩

力偶是由兩個力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的轉動狀態。力偶對物體的轉動效應用力偶矩來度量。平面力偶對物體的作用效應由以下兩個因素決定：

(1)力偶矩的大小；

(2)力偶在作用面內的轉向。力偶矩大小則若用M表示力偶矩，且規定逆轉為正，順轉為負。可由力與力偶臂乘積F·d表示。在一個平面中描述力偶的作用時，可由逆時針轉或順時針轉表示。力偶的轉向平面中的力偶矩為代數量二.力偶與力偶矩的性質1.力偶在任意坐標軸上的投影等于零。注意：力偶在軸上的投影是指兩力在軸上投影的代數和，自然為零，所以，列任何投影方程時不考慮力偶。2.力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。簡單說明如下：在力偶作用面內任取一點O1，則在力偶作用面內任取一點O2，則3.只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內任意移轉，且可以同時改變力偶中力的大小與力臂的長短，對剛體的作用效果不變。===2ABC=()FM￠,F2ABD=R()FMR￠,F2ABC=2ABD()FM￠,F=R()FMR￠,F====4.力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡。思考從力偶理論知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的力P為什么能與M平衡呢？

PORM=已知：任選一段距離d三.平面力偶系的合成和平衡條件======結論平面力偶系合成為一合力偶，合力偶的力偶矩等于各分力偶的力偶矩的代數和。平面力偶系平衡的充要條件M=0即上式稱為平面力偶系的平衡方程，利用該方程只能求解一個未知量。教材P31例2-5求：光滑螺柱A、B所受水平力。已知：解得解：取工件為研究對象，受力如圖所示。FAFBFAl-M1-M2-M3=0例解：取整體為研究對象，受力如圖示解得圖示桿系，已知M、l。求A、B處約束力。MFBFA