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柱、錐、臺(tái)、球表面積和體積人教版高中數(shù)學(xué)必修二(B版)第一章P25-321.1.5-1.1.6S柱體側(cè)=cl一.圓柱體、棱柱體的表面積語(yǔ)言:柱體的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和高的乘積二.錐體的表面積(一)1.正n棱錐的表面積等于正棱錐的側(cè)面積與底面積之和.語(yǔ)言:正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和斜高乘積的一半。S正棱錐側(cè)=na·h’=c·h’二.錐體的表面積(二)1.圓錐體的表面積等于側(cè)面扇形的面積與底面圓的面積之和.語(yǔ)言:1.圓錐的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和母線乘積的一半。2.圓錐的側(cè)面積等于π倍的底面半徑和母線乘積。S圓錐側(cè)=·c·l=πRlRC=2πR三.臺(tái)體的表面積(一)S側(cè)正棱臺(tái)=(c+c’)·h’臺(tái)體的表面積(二)S側(cè)面積
=(c1+c2)l=∏(r1+r2)l12如圖,上底周長(zhǎng)是
c’=2πr1、c=πr2,側(cè)面母線長(zhǎng)是lMNlr1r2證明:將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐.作其側(cè)面展開(kāi)圖,設(shè)SM=x1212c2(l+x)-c’xS側(cè)面積=C1X=121c2cl12x2cx+12-∴x=c11cl-c212c2l1cX+=-12c2()又∵
=X+l
Xc21c()12c2l1c+=-12c2c11cl-c212c2l1c+=12lMNlr1r2c2c112=(
+)l=(r1+r2)lπ幾何體側(cè)面積公式表面積(全面積)直棱柱S直棱柱側(cè)=
棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積=
+
正棱錐S正棱錐側(cè)=正棱臺(tái)S正棱臺(tái)側(cè)=球S球=
c·h側(cè)面積底面積4πR2其中c′,c分別表示上、下底面周長(zhǎng),h表示高,h′表示斜高,R表示球的半徑.··2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式幾何體側(cè)面展開(kāi)圖的形狀側(cè)面積公式圓柱
S圓柱側(cè)=
圓錐
S圓錐側(cè)=
圓臺(tái)
S圓臺(tái)側(cè)=
矩形2πrl扇形πrl扇環(huán)π(r1+r2)l其中r為底面半徑,l為側(cè)面母線長(zhǎng),r1,r2分別為圓臺(tái)的上、下底面半徑.從正棱柱底面變化的角度來(lái)看,正棱柱、正棱錐、正
棱臺(tái)側(cè)面積之間有什么關(guān)系?1.1.6柱、錐、臺(tái)、球體積人教版高中數(shù)學(xué)必修二(B版)第一章P25-32棱柱和圓柱棱柱和圓柱的體積等于它的底面積乘高,即其中,S為柱體的底面積,h為柱體的高.棱錐和圓錐棱錐和圓錐的體積可用下面的公式來(lái)計(jì)算:其中,S為錐體的底面積,h為錐體的高.棱臺(tái)和圓臺(tái)棱臺(tái)和圓臺(tái)的是怎樣得到的?棱臺(tái)的體積公式同理可得.圓臺(tái)或者棱臺(tái)的體積公式如下:其中S上,S下分別為棱臺(tái)的上,下底面積,h為高.上底擴(kuò)大上底縮小S直棱柱=ch
S正棱臺(tái)=(c+c’)h’S正棱錐=ch’c’=cc’=01212棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積公式分別為什么?它們之間有何關(guān)系?
例1.已知正四棱錐底面正方形長(zhǎng)為4cm,高與斜高的夾角為30°,求正四棱錐的側(cè)面積及全面積.(單位:cm2,精確到0.01)解:正棱錐的高PO,斜高PE,底面邊心距OE組成直角三角形。因?yàn)镺E=2,∠OPE=30°,所以斜高因此S側(cè)=ch’=32(cm2)S全=S側(cè)+S底=48(cm2)例2.已知一正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為4cm,下底邊長(zhǎng)為
8cm,高為3cm,求其體積.解:答:正四棱臺(tái)的體積為112cm2.例3.已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為4cm,側(cè)棱和下底面邊長(zhǎng)都是8cm,求它的側(cè)面積.rl例5.已知圓錐的底面半徑為OA=10cm,母線VA=40cm,由點(diǎn)A繞側(cè)面一周的最短線的長(zhǎng)度是多少?VVAAA’AO
沿圓錐母線AA’將圓錐側(cè)面展開(kāi),則所求最短距離就是圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中連接點(diǎn)A和點(diǎn)A’的線段AA
’。設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形VAA’的圓心角為rl例5.已知圓錐的底面半徑為OA=10cm,母線VA=40cm,由點(diǎn)A繞側(cè)面一周的最短線的長(zhǎng)度是多少?OVVAAA’AO∴=×3600=900OAVA∴AA’=√VA2+VA’
2=∴所求最短線的長(zhǎng)度為40√2cm。√402+402
=40√2返回繼續(xù)前一屏旋轉(zhuǎn)重復(fù)rl例5.已知圓錐的底面半徑為OA=10cm,母線VA=40cm,由點(diǎn)A繞側(cè)面一周的最短線的長(zhǎng)度是多少?O返回繼續(xù)前一屏旋轉(zhuǎn)重復(fù)VVAAA’AO∴=×3600=900OAVA∴AA’=√VA2+VA’2=∴所求最短線的長(zhǎng)度為40√2cm。√402+402
=40√2解法小結(jié)(3)對(duì)可展面來(lái)說(shuō),求曲面上兩點(diǎn)之間最短距離的基本方法是作出其側(cè)面展開(kāi)圖,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,再利用平幾知識(shí)求解。HxR解:(1)畫(huà)圓錐及內(nèi)接圓柱的軸截面,設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r∴S圓柱側(cè)=2∏rx∵=rH-xRH∴r=R-xRH∴S圓柱側(cè)=2∏rx=2∏Rx-x22∏RHHrxR例6:已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R,高為H,在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱,(1)求圓柱的側(cè)面積;(2)當(dāng)x為何值時(shí),圓柱的側(cè)面積最大?(2)∵S圓柱側(cè)的表達(dá)式中x2
的系數(shù)小于零2∏RH∴這個(gè)二次函數(shù)有最大值,這時(shí)圓柱的高是x=2∏R-2×=H2∴當(dāng)圓柱的高為圓錐的高的一半時(shí),它的側(cè)面積最大。例6:已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R,高為H,在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱,(1)求圓柱的側(cè)面積;(2)當(dāng)x為何值時(shí),圓柱的側(cè)面積
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