第2章信號及其描述

SignalandItsDescription2.1信號的分類2.2信號的描述2.3周期信號及其離散頻譜2.4

非周期信號及其連續頻譜2.5隨機信號1信號（signal）：隨時間或空間變化的物理量。信號是信息的載體，信息是信號的內容。依靠信號實現電、光、聲、力、溫度、壓力、流量等的傳輸。電信號易于變換、處理和傳輸，非電信號電信號。2信號無處不在通信古老通信方式：烽火、旗語、信號燈。近代通信方式：電報、電話、無線通訊。現代通信方式：計算機網絡通信、視頻電視傳播、衛星傳輸、移動通信。3000110100111110001100101010101110110010100011000摩爾碼4心電圖波形醫學5故障診斷62.1信號的分類

（SignalClassification）信號7確定性信號：能用明確的數學關系式或圖像表達的信號稱為確定性信號。

2.1.1.確定性信號和非確定性信號mx(t)0x(t)f0Atk8周期信號(periodsignal)：依一定的時間間隔周而復始、重復出現；無始無終。周期：滿足上式的最小T值。頻率(frequency)：周期的倒數，f=1/T，單位：（Hz赫茲）圓頻率/角頻率：頻率乘以2

f,即

=2

f=2

/T

實際應用中，n通常取為正整數。數學表達：T0

=2/0=1/f09諧波信號頻率單一的正弦或余弦信號。常用特征參量：均值、絕對均值、均方差值、均方根值（有效值）和均方值（平均功率）描述。一般周期信號（如周期方波、周期三角波等）由多個乃至無窮多個頻率成分（頻率不同的諧波分量）疊加所組成，疊加后存在公共周期。準周期信號(quasi-periodicsignal)也由多個頻率成分疊加而成，但不存在公共周期。10(a)正弦信號：(b)復雜周期信號：x(t)=Asin0.5t+Asint+Asin2tx(t)t0tT0Ax(t)0011t例：準周期信號12x(t)ttx(t)瞬變信號：在有限時間段存在，或隨時間的增加幅值衰減至零。13非確定性信號又稱為隨機（random）信號，是無法用明確的數學關系式表達的信號。如：加工零件的尺寸機械振動環境的噪聲等根據是否滿足平穩隨機過程的條件，非確定性信號又可以分為：平穩隨機信號非平穩隨機信號14t0x(t)隨機信號：白噪聲t0x(t)隨機信號：疊加白噪聲的正弦信號非確定性信號。具有不重復性（在相同條件下，每次觀測的結果都不一樣）、不確定性、不可預估性。采用概率和統計的方法進行描述。隨機信號15

2.1.2連續（continuous）信號和離散（discrete）信號采樣信號：時間離散而幅值連續的信號數字信號：時間離散、幅值也離散（量化）的信號離散信號16

信號的時域描述以時間為獨立變量，描述信號隨時間的變化特征，反映信號幅值隨時間變化的關系。波形圖：時間為橫坐標的幅值變化圖。

優點：形象、直觀。

缺點：不能明顯揭示信號的內在結構（頻率組成關系）。2.2信號的描述

（SignalDescription）

17

信號的頻域描述應用傅里葉級數或傅里葉變換，對信號進行變換（分解），以頻率為獨立變量建立信號幅值、相位與頻率的函數關系。頻譜圖：以頻率為橫坐標的幅值、相位變化圖。幅值譜：幅值-頻率圖相位譜：相位-頻率圖頻域描述抽取信號內在的頻率組成及其幅值和相角的大小，描述更簡練、深刻、方便。18信號時域與頻域描述的關系時域描述與頻域描述是等價的，可以相互轉換，兩者蘊涵的信息相同。時域描述與頻域描述各有用武之地。將信號從時域轉換到頻域稱為頻譜(specrtrum)分析，屬于信號的變換域分析。采用頻譜圖描述信號，需要同時給出幅值譜(amplitude

spectrun)和相位譜(phasespectrum)。19狄里赫利（Dirichet）條件在一個周期內，若存在間斷點，則間斷點的數目為有限個。在一個周期內，極大值和極小值數目為有限個。在一個周期內，信號絕對可積，即2.2.1周期信號的描述（1）三角函數展開式

20其中則可以展開為21式中進一步，可以改寫為22例：方波信號的描述時域描述……T0T0T02T020tx(t)≤≤23

頻域，4A4A34A50A()03050003050()/2幅值譜相位譜24x(t)0tT0周期方波信號的合成25周期方波信號的時、頻域描述

周期信號的頻譜特點：離散性諧波性收斂性26例：周期性三角波的傅里葉級數

0T0/2-T0/2Ax(t)t......≤≤27解：28因此，有：4A24A92

4A2520A()03050003050()

A2229周期信號的頻譜特點：離散性諧波性收斂性4A24A92

4A2520A()03050003050()

A2230，，（2）復指數展開式所以：歐拉公式31復指數展開式其中，兩種展開式中的系數關系見表2－4。32例：畫出余弦、正弦函數的實頻及虛頻譜圖。

解：C-1=1/2，C1=1/2，Cn=0（n=0,2,

3,…）C-1=j/2，C1=-j/2，Cn=0（n=0,2,3,…

）331x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0CnR00-01/21/2CnR00-000-01/2-1/2CnICnI00-0|Cn|00-01/21/2|Cn|00-01/21/2An001An001單邊幅頻譜單邊幅頻譜雙邊幅頻譜雙邊幅頻譜34負頻率

“負頻率”是運算的需要。實際中，只有把負頻率項與相應的正頻率項成對合并起來，才是實際的頻譜函數。從向量旋轉的角度：一個向量的實部可以看成兩個旋轉方向相反的矢量在其實軸上的投影之和，虛部為其在虛軸上的投影之差。AA/20-00ReIm-負頻率的說明35幾點結論復指數函數形式的頻譜為雙邊譜（從-到

+），三角函數形式的頻譜為單邊譜（從0到+）。兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關系：一般周期函數的復指數傅里葉展開式的實頻譜總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。

36周期信號的強度指標1、峰值2、均值3、有效值4、方均值（平均功率）372.2.2非周期信號的描述38（1）傅里葉變換（Fouriertransform）設周期信號x(t)在一周期內的傅里葉級數表示為其中：

因此

1/T0=0/2π=/2π0A()02030因此d；n0連續變化的頻率

。39因此

1/T0=0/2π=/2πdn0連續變化的頻率

40傅里葉變換（FT）

傅里葉逆變換（IFT）

以代入得記為：x(t)X()FTIFT41用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為

非周期信號的幅頻譜和周期信號的幅頻譜很相似，但是兩者量綱不同。為信號幅值。為信號單位頻寬上的幅值，是頻譜密度函數。工程測試中為方便，仍稱為頻譜。

42例：單位矩形窗函數的頻譜

1-T/2T/2tw(t)0解：森克函數，也稱采樣函數、濾波函數。431T2T3TW(f)函數只有實部，沒有虛部。sinc以2為周期并隨的增加作衰減振蕩。sinc是偶函數，在n（n=1,2,…）處其值為0。W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T2T2Tf思考：窗寬T的大小對頻譜有何影響？44非周期信號頻譜的特點

諧波性連續性收斂性W(f)T01T1Tf3T3T2T2T45應用某齒輪箱各特征頻率值

齒數1X2X3X4X5X6X7X電動機工頻

16.9033.8050.7067.6084.50101.40118.30II軸轉頻

3.737.4611.1814.9118.6422.3726.10III軸轉頻

0.951.892.843.794.735.686.63VI軸轉頻

0.260.530.791.051.311.581.84V軸轉頻

0.010.380.460.54電動機與II軸嚙合15/68253.50507.00760.501014.001267.501521.001774.50II軸與III軸嚙合16/6359.65119.29178.94238.59298.24357.88417.53III軸與VI軸嚙合15/5414.2028.4042.6156.8171.0185.2199.41VI軸與V軸嚙合14/483.687.3611.0514.7318.4122.0925.77Hz46某齒輪箱體實測振動速度頻譜圖

47例：某車床加工外圓表面時，表面振紋主要由轉動軸上的齒輪的不平衡慣性力而使主軸箱振動所引起，振紋幅值譜如左圖所示。主軸箱傳遞示意圖如右圖所示。傳動軸I、傳動軸II和傳動軸III上的齒輪齒數分別為z1=30，z2=40，z3=20，z4=50，傳動軸轉速n1=1000r/min。則（）軸上的齒輪不平衡量對加工表面的振紋影響最大？

A.傳動軸IB.傳動軸IIC.傳動軸IIID.傳動軸I和傳動軸III48（2）

傅里葉變換的主要性質

積分x(t

t0)時移

頻域微分x(kt)尺度變換

時域微分x(-f)X(t)對稱性

X1(f)X2(f)x1(t)x2(t)頻域卷積AX(f)+bY(f)ax(t)+by(t)線性疊加

X1(f)X2(f)x1(t)x2(t)時域卷積實奇函數虛奇函數X*(-f)x*(t)共軛虛偶函數虛偶函數X(-f)x(-t)翻轉

虛奇函數實奇函數X(f

f0)頻移

實偶函數實偶函數函數的奇偶虛實性頻域時域性質頻域時域性質49

奇偶虛實性

若x(t)為實偶函數，則ImX(f)=0，X(f)為實偶函數。若x(t)為實奇函數，則ReX(f)=0，X(f)為虛奇函數。若x(t)為虛偶函數，則ReX(f)=0，X(f)為虛偶函數。若x(t)為虛奇函數，則ImX(f)=0，X(f)為實奇函數。50對稱性：X(t)x(-f

)證明：

互換t

和f從而：X(t)x(-f)51尺度改變性

證明：因此時間尺度特性表明：信號在時域中壓縮（k>1，變化速度加快）等效于在頻域擴展（頻帶加寬）；反之亦然。52尺度改變性質舉例00000053證明：若t0為常數

則時移結果只改變信號的相頻譜，不改變信號的幅頻譜。時移性質

54(c)時移的時域矩形窗(d)圖(c)對應的幅頻和相頻特性曲線

時移性質舉例（a）時域矩形窗圖（a）對應的幅頻和相頻特性曲線00000055例：求三個窗函數的頻譜。x(t)tT/2-T/2ττ1對于矩形窗函數w(t)問題描述為求w(t-τ)+w(t)+w(t+τ)的頻譜根據時移性質56頻移特性

若f0為常數證明57卷積特性

證明：函數x(t)與y(t)的卷積定義為同理可得58幾種典型信號的頻譜

（severaltypicalsignal’sspectrum）1.單位脈沖函數(δ函數)的頻譜(1)δ函數定義且其面積（強度）：

/201/t(t)0t(t)59(2)δ函數的性質

1)函數的采樣性質

2)篩選性

篩選結果為x(t)在發生δ函數位置的函數值(又稱為采樣值)

3)卷積性

60函數與其他函數的卷積示例

(t)0t1x(t)0tA0tAx(t)(t)(tt0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t)(tt

0)-t0t0-t0t061例：已知x(t)和y(t)的時域波形，畫出z(t)＝x(t)*y(t)卷積波形。解：622.δ函數的頻譜

對δ(t)取傅里葉變換

δ函數具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為“均勻譜”。

δ函數是偶函數，即，則利用對稱、時移、頻移性質，還可以得到以下傅里葉變換對0t(t)10f(f)163（各頻率成分分別移相2ft0）(tt0)(f)（單位脈沖譜線）1（幅值為1的直流量）1（均勻頻譜密度函數）(t)（單位瞬時脈沖）頻域時域單位脈沖函數的時、頻域關系643.矩形窗函數和常值函數的頻譜

（1）矩形窗(rectanglewindow)函數的頻譜65W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T1T2T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)066（2）常值函數(又稱直流量)的頻譜幅值為1的常值函數的頻譜為f=0處的δ函數。當矩形窗函數的窗寬T趨于無窮時，矩形窗函數就成為常值函數，其對應的頻域為δ函數。式中，令f＝0后發現什么？67（3）指數(exponent)函數的頻譜雙邊指數衰減函數

其傅里葉變換為

≥68指數衰減函數及其頻譜

69（4）符號(sign)函數和單位階躍(unitstep)函數的頻譜符號函數的頻譜符號函數可以看作是雙邊指數衰減函數當a→0時的極限形式，即：≥70單位階躍函數的頻譜單位階躍函數可以看作是單邊指數衰減函數a→0時的極限形式。≥71單位階躍函數及其頻譜

01tx(t)0X(t)1－172（5）正余弦(sine/cosine)函數的頻譜密度函數

正余弦函數不滿足絕對可積條件，不能直接對之進行傅里葉變換。由歐拉公式知：731/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f00tsin2f0t0tcos2f0t74（6）梳狀(comb)函數（等間隔的周期單位脈沖序列）的頻譜

Ts為周期；n為整數。梳狀函數為周期函數。表示成傅里葉級數

（fs

=1/Ts）因為在（-Ts

/2，Ts/2）區間內只有一個函數(t)，故75從而所以即梳狀函數的頻譜也為梳狀函數，且其周期為原時域周期的倒數（1/Ts），脈沖強度為1/Tb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts......COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts1Ts2Ts762.2.3隨機(random)信號的描述

隨機信號是非確定性信號隨機信號具有不重復性（在相同條件下，每次觀測的結果都不一樣）、不確定性、不可預估性隨機信號通常采用概率和統計的方法進行描述相關概念

隨機現象：產生隨機信號的物理現象

樣本(sample)函數：隨機現象的單個時間歷程，即對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記作xi(t)，i表示第i次觀測。

樣本記錄：在有限時間區間上觀測得到的樣本函數。

隨機過程：在相同試驗條件下，隨機現象可能產生的全體樣本函數的集合（總體）。記作{x(t)}，即

{x(t)