第八章含有耦合電感的電路和諧振電路§8.1互感§8.3空心變壓器§8.4理想變壓器§8.2含有耦合電感電路的計算§8.5串聯(lián)諧振電路§8.6并聯(lián)諧振電路一、互感和互感電壓§8.1互感11

21N1N2i1當線圈1中通入電流i1時，在線圈1中產生磁通，同時，有部分磁通穿過臨近線圈2。11：自感磁通21：耦合磁通（互感磁通）這種一個線圈的磁通交鏈另一線圈的現象稱為磁耦合。i1：施感電流1、磁耦合N1、N2線圈匝數。+–u1111

21N1N2i1i1變化11變化21變化u11自感電壓u21互感電壓+–u21電磁感應定律和楞次定律當i1為時變電流時，磁通也將隨時間變化，從而在線圈兩端產生感應電壓。2、互感電壓：磁鏈當i1、u11、u21方向與符合右手定則時，根據電磁感應定律和楞次定律：3、互感系數當線圈周圍無鐵磁物質(空心線圈)時，有L1：線圈1的自感系數；單位：H同理，當線圈2中通電流i2時會產生磁通22，12

。i2變化時，線圈2和線圈1兩端分別產生感應電壓u22

，u12

。M21：線圈1對線圈2的互感系數，簡稱互感。單位：H+–u22+–u1212

22N1N2i2

2212可以證明：M12=M21=M。當兩個線圈同時通以電流時+–u2+–u1N1N2i2i111

21

2212+–u2+–u1N1N2i2i111

21自感磁鏈互感磁鏈自感磁鏈互感磁鏈+–u2+–u1N1N2i111

21i2

2212當兩個線圈同時通以電流時，每個線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓：二、互感線圈的同名端具有互感的線圈兩端的電壓包含自感電壓和互感電壓。表達式的符號與參考方向和線圈繞向有關。上式說明，對于自感電壓由于電壓電流為同一線圈上的，只要參考方向確定了，其數學描述便可容易地寫出，可不用考慮線圈繞向。對線性電感，用u,i描述其特性，當u,i取關聯(lián)方向時，符號為正；當u,i為非關聯(lián)方向時，符號為負。對自感電壓，當u,i

取關聯(lián)參考方向，i與符合右螺旋定則，其表達式為對互感電壓，因產生該電壓的電流在另一線圈上，因此，要確定其符號，就必須知道兩個線圈的繞向。這在電路分析中顯得很不方便。引入同名端可以解決這個問題。同名端：當兩個電流分別從兩個線圈的對應端子流入，其所產生的磁場相互加強時，則這兩個對應端子稱為同名端。同名端用“*”或“”表示。同名端表明了線圈的相互繞法關系。確定同名端的方法：(1)當兩個線圈中電流同時由同名端流入(或流出)時，兩個電流產生的磁場相互增強。(2)當隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起另一線圈相應同名端的電位升高。11'22'11'22'3'3**例.i兩個耦合電感的電路符號：

同名端的實驗測定：i11'22'**RSV+–電壓表正偏。當兩組線圈裝在黑盒里，只引出四個端線組，要確定其同名端，就可以利用上面的結論來加以判斷。當斷開S時，如何判定？如圖電路，當閉合開關S時，i增加，三、由同名端及u,i參考方向確定互感線圈的特性方程有了同名端，以后表示兩個線圈相互作用，就不再考慮實際繞向，而只畫出同名端及參考方向即可。u21+–i1+u21–i1時域形式：在正弦交流電路中，其相量形式的方程為互感阻抗。例：試求圖示耦合電感的電壓電流關系解：圖中u1、i1關聯(lián)參考方向，自感電壓為：耦合電感的電壓由自感電壓和互感電壓兩部分組成。自感電壓正負號的確定與二端電感相同。u2、i2非關聯(lián)參考方向，自感電壓為：互感電壓正負號的確定與同名端有關。u1的“+”端和i2進入端都在標有“.”號的同名端上，u1和i2的參考方向相對同名端是關聯(lián)參考方向，其互感電壓取正號。u2和i2相對同名端是非關聯(lián)參考方向，其互感電壓取負號。

四、耦合系數

k：k表示兩個線圈磁耦合的緊密程度。工程上為了定量描述兩個耦合線圈的耦合緊密程度，把兩線圈的互感磁通鏈與自感磁通鏈的比值的幾何平均值定義為耦合系數。帶入上式得：兩個線圈靠得很緊或緊密繞在一起，則k值接近于1。若兩個線圈相隔很遠，或著它們的軸線相互垂直，則K值很小，甚至接近于零。改變或調整兩個線圈的相互位置可以改變耦合系數的大小，當L1、L2一定時，也就改變了互感M的大小。注意：有三個線圈，相互兩兩之間都有磁耦合，每對耦合線圈的同名端必須用不同的符號來標記。(1)一個線圈可以不止和一個線圈有磁耦合關系；(2)互感電壓的符號有兩重含義。同名端；參考方向；互感現象的利與弊：利用——變壓器：信號、功率傳遞。避免——干擾克服：合理布置線圈相互位置或采用屏蔽手段減少互感作用。緊密耦合或采用鐵磁性材料制成鐵心，提高耦合系數。思考題：1、同名端是如何定義的？2、試確定圖示耦合電感的同名端？11'22'一、互感線圈的串聯(lián)順接§8.2含有耦合電感電路的計算電流從兩個電感的同名端流入（或流出），稱這種接法為順接。電流對一個電感是從同名端流入（或流出），而對另一個電感是從同名端流出（或流入），稱這種接法為反接。反接順接順接1、順接去耦等效電路2.反接反接順接時等效電感增加，反接時等效電感減少。（L1-M）和（L2-M）有可能其中之一為負，但不可能整個為負，整個電路仍呈感性。去耦等效電路在正弦激勵下（應用相量分析法）：“+”順接

“-”反接線圈1阻抗互感阻抗線圈2阻抗去耦等效電路相量圖：(a)順接(b)反接同名端在同一側，稱為同側并聯(lián)。二、互感線圈的并聯(lián)同側并聯(lián)同名端不在同一側，稱為異側并聯(lián)。異側并聯(lián)同側并聯(lián)異側并聯(lián)同側并聯(lián)、異側并聯(lián)：上：同側并聯(lián)下：異側并聯(lián)耦合電感并聯(lián)后的等效阻抗為：若R1=R2=0則Leq表示耦合電感L1、L2并聯(lián)后的等效電感。三、去耦法把具有互感的電路化為等效的無互感電路，這種處理方法稱為去耦法消去消去去耦等效電路(a)同側連接對嗎？去耦以后注意結點位置。去耦等效電路(b)異側連接去耦以后注意結點位置。例：電壓U=50V，求當開關K打開和閉合時的電流。解：開關K打開時為順接串聯(lián)。順接串聯(lián)開關K閉合時解方程，得去耦法：異側連接例：求電路中各部分在開關閉合時的復功率。解：線圈1的復功率為：線圈2的復功率為：從以上的例子可以看出，其1，含耦合電感電路具有受控源電路的特點。其二，在耦合電感的電壓中必須正確計入互感電壓的作用。一般情況下它不僅與本電感的電流有關，還與其它耦合電感的電流有關，是電流的多元函數。思考題：同側連接、異側連接的電路如何去耦？§8.3空心變壓器變壓器是電工、電子技術中常用的電氣設備，是利用互感來實現從一個電路向另一個電路傳輸能量或信號的器件。空心變壓器是由兩個繞在非鐵磁材料制成的心子上并具有互感的線圈組成。與電源相聯(lián)的一邊稱為原邊（初級），其線圈稱為原線圈。與負載相聯(lián)的一邊稱為副邊（次級），其線圈稱為副線圈。空心變壓器：R1、

L1原線圈的電阻和電感。R2、

L2副線圈的電阻和電感。RL、

XL負載的電阻和感抗。M為互感。令原邊回路電阻和電感副邊回路電阻和電感互感阻抗由得輸入阻抗：引入阻抗引入阻抗（反映阻抗）是副邊回路阻抗Z22通過互感反映到原邊的等效阻抗。原邊等效電路與Z22的性質相反，即感性（容性）變?yōu)槿菪裕ǜ行裕８边叺刃щ娐窞殚_路電壓。這說明了副邊回路對初級回路的影響可以用引入阻抗來考慮。從物理意義講，雖然原副邊沒有電的聯(lián)系，但由于互感作用使閉合的副邊產生電流，反過來這個電流又影響原邊電流電壓。副邊等效電路原邊等效電路空心變壓器副邊的等效電路，同樣可以利用戴維寧定理求得。例1.

已知US=20V,副邊折算到原邊的等效阻抗Z=10–j10，求:所需的ZX，并求負載獲得的有功功率。解：原邊等效電路引入阻抗容性負載此時負載獲得的功率：例2.

L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,原邊等效電路原邊等效電路解：思考題：空心變壓器原邊、副邊等效電路是如何推導出來的？§8.4理想變壓器理想變壓器：是一種特殊的無損耗全耦合變壓器。變壓器原、副邊的電壓和電流關系總滿足：N1、N2為變壓器原、副邊匝數。或變壓器匝比。或理想變壓器的特點：1、變壓器本身無損耗。2、耦合系數（全耦合）。3、L1、L2、M均為無限大，但的值為規(guī)定的常數，而等于匝比。理想變壓器用受控源表示的電路模型：

(a)阻抗變換性質（正弦穩(wěn)態(tài)）

理想變壓器的性質：原邊輸入阻抗為：副邊的R、L、C變換到原邊分別為：即變換了元件參數。

(b)功率性質：

理想變壓器的特性方程為代數關系，不是一個動態(tài)元件，因此無記憶作用。由此可以看出，理想變壓器既不儲能，也不耗能，在電路中只起傳遞信號和能量的作用。例1.已知電源內阻RS=1k，負載電阻RL=10。為使RL上獲得最大功率，求理想變壓器的變比n。當n2RL=RS時匹配，即10n2=1000n2=100，n=10.解：方法1：列方程解得例2.解：方法2：阻抗變換方法3：戴維寧等效求Req：Req

=1021=100戴維寧等效電路：例3.理想變壓器副邊有兩個線圈，變比分別為5:1和6:1。求原邊等效電阻R。解：

兩個副邊并聯(lián)原邊(根據)練習題：1、寫出理想變壓器的VCR。2、求等效電阻Rab。諧振(resonance)是正弦電路在特定條件下所產生的一種特殊物理現象，它在無線電、電工技術中得到廣泛的應用。作為電路計算沒有新內容，主要分析諧振電路的條件和諧振時的一些特征。但在某些條件下電路中若發(fā)生諧振會破壞系統(tǒng)的正常工作。所以對諧振現象的研究，有重要的實際意義。§8.5串聯(lián)諧振電路一、諧振的定義感性容性當即時電壓電流同相位。諧振：當滿足一定條件(對RLC串聯(lián)電路，使

(L=1/C)，電路中電壓、電流同相，電路的這種狀態(tài)稱為諧振。串聯(lián)諧振：諧振角頻率(resonantangularfrequency)諧振頻率(resonantfrequency)諧振周期(resonantperiod)串聯(lián)電路的諧振頻率f0與電阻R無關，它反映了串聯(lián)電路的一種固有性質。對于每一個R、L、C串聯(lián)電路，總有一個對應的諧振頻率f0。改變L、C、ω可使電路發(fā)生或消除諧振。二、使RLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件1.LC

不變，改變w

。w0由電路本身的參數決定，一個RLC串聯(lián)電路只能有一個對應的w0,當外加頻率等于諧振頻率時，電路發(fā)生諧振。通常收音機選臺，即選擇不同頻率的信號，就采用改變C使電路達到諧振。2.電源頻率不變，改變L或C(常改變C

)。三、RLC串聯(lián)電路諧振時的特點|Z|ww0OR1.與同相。根據這個特征來判斷電路是否發(fā)生了串聯(lián)諧振。2.輸入端阻抗Z為純電阻，即Z=R。電路中阻抗值|Z|最小。4.電阻上的電壓等于電源電壓，LC上串聯(lián)總電壓為零。3.U一定時電流I達到最大值。串聯(lián)諧振時，電感上的電壓和電容上的電壓大小相等，方向相反，相互抵消，因此串聯(lián)諧振又稱電壓諧振。諧振時的相量圖當w0L=1/(w0C)>>R時，UL=UC>>U。四、品質因數Q無量綱品質因數的意義：UL和UC是外施電壓Q倍，如w0L=1/(w0C)>>R，則Q很高，L和C上出現高電壓，稱為過電壓現象，往往會造成元件的損壞。但諧振時L和C兩端的等效阻抗為零（相當于短路）。有功功率諧振時電阻功率最大Q為諧振時電感電壓UL

(或電容電壓UC)與電源電壓之比。諧振時電路的無功功率為零值。無功功率電源不向電路輸送無功。電感中的無功與電容中的無功大小相等，互相補償，彼此進行能量交換。但是在電力系統(tǒng)中，由于電源電壓本身比較高，一旦發(fā)生諧振，會因過電壓而擊穿絕緣損壞設備。應盡量避免。例：某收音機C=150pF，L=250mH，R=20如信號電壓10mV,電感上電壓650mV。例：已知：L=20mH，C=200pF，R=100，正弦電壓源電壓U=10V，求電路的諧振頻率f0電路的Q值即諧振時UL

、UC。解：四、頻率特性1.阻抗的頻率特性X()|Z()|XL()XC()RZ()0阻抗幅頻特性0()0–/2/2阻抗相頻特性02.電流諧振曲線諧振曲線：表明電壓、電流與頻率的關系。幅值關系：可見I(w)與|Y(w)|相似。電流諧振曲線0O|Y()|I()I()U/R從電流諧振曲線看到，諧振時電流達到最大，當w偏離w0時，電流從最大值U/R降下來。3.選擇性與通用諧振曲線(a)選擇性(selectivity)0OI()換句話說，串聯(lián)諧振電路對不同頻率的信號有不同的響應，對諧振信號最突出(表現為電流最大)，而對遠離諧振頻率的信號加以抑制(電流小)。這種對不同輸入信號的選擇能力稱為“選擇性”。例.一接收器的電路參數為：L=250mH,R=20W,C=150pF(調好),U1=U2=U3=10mV,w0=5.5106rad/s,f0=820kHz。北京臺中央臺北京經濟臺f(kHz)8206401026X0–660577L129010001612I0=0.5I1=0.015I2=0.017I=U/|Z|(mA)129016601034從多頻率的信號中取出w0的那個信號，即選擇性。選擇性的好壞與諧振曲線的形狀有關，愈尖選擇性愈好。若LC不變，R大，曲線平坦，選擇性差。I0=0.5I1=0.015I2=0.017I=U/|Z|(mA)小得多∴收到臺820kHz的節(jié)目。Q對選擇性的影響：R變化對選擇性的影響就是Q對選擇性的影響。8206401200I(f)f(kHz)0為了方便與不同諧振回路之間進行比較，把電流諧振曲線的橫、縱坐標分別除以w0和I(w0)，即(b)通用諧振曲線通用諧振曲線：Q=10Q=1Q=0.5當稍微偏離諧振點時，曲線就急劇下降，電路對非諧振頻率下的電流具有較強的抑制能力，所以選擇性好。Q越大，諧振曲線越尖。因此，

Q是反映諧振電路性質的一個重要指標。10.707Q=10Q=1Q=0.50稱為通頻帶BW(BandWidth)在處作一水平線。與每一諧振曲線交于兩點，對應橫坐標分別為和。又稱帶寬，它規(guī)定了諧振電路允許通過的信號的頻率范圍。4.UL(w)與UC(w)的頻率特性UL(w)：w>w0，電流開始減小，但速度不快，XL繼續(xù)增大，UL

仍有增大的趨勢，但在某個w下UL(w)達到最大值，然后減小。w，XL，UL()=U。類似可討論UC(w)。當w=0，UL(w)=0；0<w<w0，UL(w)增大；w=w0，UL(w)=QU；11201上面得到的都是由改變頻率而獲得的，如改變電路參數，則變化規(guī)律就不完全與上相似。上述分析原則一般來講可以推廣到其它形式的諧振電路中去，但不同形式的諧振電路有其不同的特征，要進行具體分析，不能簡單搬用。由于電壓最大值出現在諧振頻率附近很小的范圍內，因此同樣可以用串聯(lián)諧振電路來選擇諧振頻率及其附近的電壓，即對電壓也具有選擇性。一、簡單G、C、L并聯(lián)電路分析方法于RLC串聯(lián)諧振電路相同（具有對偶性）。并聯(lián)諧振定義與串聯(lián)諧振電路的定義相同，即端口上的電壓與輸入電流同相時的工作狀況稱為諧振。諧振條件：§8.6并聯(lián)諧振電路諧振角頻率諧振頻率該頻率稱為電路的固有頻率。GLC并聯(lián)電路諧振時的特點1.與同相。2.并聯(lián)諧振時，輸入導納為最小。或者說，輸入阻抗為最大。為最大值4.電阻上的電流等于電流源的電流。3.諧振時端電壓U達到最大值。根據這個現象來判斷電路是否發(fā)生了并聯(lián)諧振。并聯(lián)諧振又稱電流諧振。Q稱為并聯(lián)電路的品質因數。若Q>>1，則諧振時在電感和電容中會出現過電流，但從L、C兩端看進去的等效導納等于零，即阻抗為無限大，相當于開路。RLC串聯(lián)GCL并聯(lián)RLC串聯(lián)GCL并聯(lián)|Z|ww0OR0OI()U/R0OU()IS/G|Y|ww0OGRL