計算方法任課教師:蔡靜授課班級:20110711、20110712第一章數值計算中的誤差分析1.1計算方法的研究對象、任務與特點1.2誤差的相關概念與誤差估計1.1計算方法的研究對象、任務與特點1.2誤差的相關概念與誤差估計1.3選用和設計算法時應遵循的原則1.1計算方法的研究對象、任務與特點1.2誤差的相關概念與誤差估計1.1計算方法課程的研究對象、任務與特點計算機誕生之前，在求解各種數學問題的過程中，人們逐漸積累了一些算法，所能解決的問題也僅局限于一些小型的、簡單的計算問題。隨著科學技術的突飛猛進，在工程設計、氣象預報、水利建設以及武器研制、火箭衛星發射等等，在這些領域都出現了大量復雜大型的計算問題急待解決。（1）產生背景：因此有必要研究如何利用計算機來解決工農業生產和國防尖端技術領域中的計算問題(科學計算），建立適用于計算機的計算方法。由此在大量的計算實踐和理論分析基礎上，產生了數學學科的一個獨立分支，即計算方法。

（2）研究對象：在計算機上求解各種數值計算問題的數值計算方法及理論。

（3）主要任務：為求解各種數學問題構造算法和分析算法。（4）特點:計算方法屬于計算數學的范疇,是一門既注重理論性，又注重實踐性，與計算機應用緊密結合的數學課程。一、兩個基本概念

(數值計算問題）（1）數值計算問題：例如：1、求一元二次方程：離散的初始數據→問題離散的數值型的解的根a、b、c2、求解線性代數方程組改寫成矩陣-向量形式：其中,（數值計算問題）

需要注意的是，并非所有的數學問題都是數值計算問題。例如：已知函數滿足如下微分方程：求解該微分方程。2，3,（非數值計算問題）

（一階常微分方程初值問題）（2）數值計算方法：

在計算機上用于求解數值問題的系列計算公式。（3）數值算法是解數值問題的整個過程，不僅包含解題的數值方法，還包括解題的思想、步驟、目的及數據的輸入和輸出要求。1、在計算機上實際可行：可直接執行的運算+、—、×、÷四則運算及邏輯運算參與運算的數據有限位小數運算的次數有限次運算計算機不能直接進行的運算（指數、對數、開方、三角、求導、積分）→計算機可執行的運算無窮次運算求得精確解→有限次運算求得近似解無理數、大多數有理數→計算機允許的有限位小數二、算法的構造

例1、指數運算：

2、算法的計算復雜性好計算復雜性雖然計算機的運算速度很快，存儲信息量大，但并不能因此就降低對算法計算復雜性的要求。尤其在處理大型數值計算問題時，算法計算復雜性的好壞會直接影響計算的效率和結果的可靠性！時間復雜度：算法包含的運算次數的多少空間復雜度：算法占用的存儲空間的大小例如，用Cramer法則求解一個20階的線性代數方程組，總共需要進行次乘除法

由此可見，對于同一問題，采用不同的算法，計算復雜性大不一樣，因此在設計算法時，應設法減少運算次數、節約存儲空間，以提高計算的效率。30多萬年。而用Gauss消去法，只需2660次乘除法。若使用每秒可進行一億次乘除法運算的計算機，則要連續工作三、算法的分析：誤差分析、穩定性、收斂性分析誤差的來源：模型誤差、觀測誤差、截斷誤差、舍入誤差

（1）誤差的基本概念：

1、絕對誤差與絕對誤差限是精確值，是其近似值，則稱

絕對誤差：設

1.2誤差的相關概念與誤差估計

是近似值的絕對誤差，簡稱誤差。

絕對誤差限：若則稱為近似值的絕對誤差限。相對誤差：

設是精確值，是其近似值，則稱

是近似值的相對誤差。實際計算時，常用相對誤差限：若，則稱為近似值的相對誤差限。

3、有效數字:2、相對誤差與相對誤差限例：對其進行四舍五入，取3位近似值，得：取5位近似值，得：若近似值的誤差絕對值不超過某一位數字的半個單位，則稱近似值準確到這一位。有效數字定義：若從近似值所準確到的那一位數字到近似值的第一位非零數字共有n位，則稱近似值具有n位有效數字。規格化浮點數：其中m為整數，為介于0到9之間的整數。書本P7，有效數字的等價定義：如果近似值滿足：則稱近似值具有n位有效數字。問題1：如何確定一個近似值具有幾位有效數字？答：若近似值為對準確值四舍五入得到，則只需從近似值最后一位往前數到第一位非零數字，共有幾位數字，就具有幾位有效數字。若近似值不是對準確值四舍五入得到，則需借助于等價定義進行判斷。問題2：給定一準確值,如何通過四舍五入給出其具有

n位有效數字的近似值？練習：已知e=2.71828182…,分別寫出其具有3位、4位、5位有效數字的近似值。4、有效數字與相對誤差限的關系

（1）若具有n位有效數字，則的相對誤差滿足：（2）若的相對誤差滿足：則至少具有n位有效數字。證明：則（1）若具有n位有效數字，則（2）若的相對誤差滿足：則至少具有n位有效數字。P8，例1誤差在運算中的傳播規律：P9，(1.2.5)(1.2.6)（1）加減運算:設，分別是精確值，的近似值，

其相對誤差分別為，則

（2）乘除運算1.3算法設計的若干原則(1)選擇數值穩定的算法。數值穩定的算法：初始數據所帶有的誤差在計算的過程中能得到有效控制，不至于因誤差的過度增長影響計算結果的精度。P11，例（2）盡量減少運算次數和節約存儲空間。例如:給定x的值,計算多項式的值。算法1：直接計算，乘法次數：次算法2：

乘法次數：次1、為計算，取，依據數值計算的基本準則，如下哪個計算公式最好？練習：例如：

措施：小數加在前

(3)防止大小相近的兩個數相減。