5.1概述5.2衡量精度的指標5.3誤差傳播定律5.4算術平均值及其中誤差估讀數會有誤差

§5-1概述一、測量誤差的來源測量工作是在一定條件下進行的，外界環境、觀測者的技術水平和儀器本身構造的不完善等原因，都可能導致測量誤差的產生。通常把測量儀器、觀測者的技術水平和外界環境三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件不理想和不斷變化，是產生測量誤差的根本原因。通常把觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；觀測條件不同的各次觀測，稱為不等精度觀測。

具體來說，測量誤差主要來自以下三個方面：(1)外界條件主要指觀測環境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風力以及大氣折光等因素的不斷變化，導致測量結果中帶有誤差。(2)儀器條件儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結構能滿足各種幾何關系，這樣的儀器必然會給測量帶來誤差。(3)觀測者的自身條件由于觀測者感官鑒別能力所限以及技術熟練程度不同，也會在儀器對中、整平和瞄準等方面產生誤差。

二、測量誤差的分類測量誤差按其對測量結果影響的性質，可分為系統誤差和偶然誤差。

在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現的大小和符號均相同或按一定的規律變化，這種誤差稱為系統誤差。

系統誤差產生的主要原因之一：儀器設備制造不完善。系統誤差具有明顯的規律性和累積性。

在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現的大小和符號均不一定，則這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。

偶然誤差，就其個別值而言，在觀測前不能預知其出現的大小和符號。

偶然誤差只能通過改善觀測條件對其加以控制。

真誤差：觀測值與真值之差，即：

Δ=［l］-XL：觀測值，X：真值，Δ：真誤差(偶然誤差)

偶然誤差具有四個特征：①“有界性”：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；它說明偶然誤差的絕對值有個限值，若超過這個限值，說明觀測條件不正常或有粗差存在；

②“密集性”：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多(或概率大)；即越是靠近0，誤差分布越密集；③“對稱性”：絕對值相等的正、負誤差出現的機會相等；即在各個區間內，正負誤差個數相等或極為接近；④“抵償性”：在相同條件下，同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數的無限增大而趨于零;即在大量的偶然誤差中，正負誤差有相互抵消的特征。因此，當n無限增大時，偶然誤差的算術平均值應趨于零。返回習題§5-2衡量精度的指標

測量成果中都不可避免地含有誤差，在測量工作中，使用“精度”來判斷觀測成果質量好壞的。所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。測量上衡量精度的標準采用：

中誤差、相對誤差、極限誤差一、中誤差及其計算

1、中誤差（m）

在相同的觀測條件下，對同一未知量進行n次觀測，所得各個真誤差平方的平均值，再取其平方根用表示，即：m稱為觀測值中誤差或一次觀測值中誤差式中［ΔΔ］為真誤差Δ的平方和，n為觀測次數

中誤差并不等于每個觀測值的真誤差，它僅是一組真誤差的代表值，代表了這一組測量中任一個觀測值的精度。

2、用真誤差計算中誤差

3、用改正數計算中誤差

改正數：最或是值與觀測值之差，用v表示，即：

v=x-l

式中：v為觀測值的改正數；l為觀測值；

x為觀測值的最或是值

設對某個量進行n次觀測，則它的最或是值為

改正數求中誤差的白塞爾公式：上式求得的為一次觀測值的中誤差。二、相對誤差

相對誤差能更客觀地反映實際測量精度。

相對誤差：中誤差的絕對值與相應觀測值之比，用K表示。

相對誤差習慣于用分子為1的分數形式表示，分母愈大，表示相對誤差愈小，精度也就愈高。

注意：此處的相對誤差與按往返測較差所求得的相對誤差是不相同的。

極限誤差：簡稱限差，根據偶然誤差的第一個特性，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。

理論研究和實驗表明，大于兩倍中誤差的偶然誤差的個數，約占總數的5%左右，大于三倍中誤差的偶然誤差的個數，只占總數的0.3%。測量上常取三倍中誤差作為極限誤差Δ限，也稱允許誤差，即：Δ限=3m§5-3誤差傳播定律

在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據一定的函數關系計算出來，這些未知量即為觀測值的函數。例如，在水準測量中，兩點間的高差h=a-b，則h是直接觀測值a和b的函數；在三角高程測量的計算公式中，如果覘標高v等于儀器高i，則h=ltanδ，這時，高差h就是觀測值l和δ的函數，等等。

闡述觀測值中誤差與函數中誤差之間數學關系的定律，稱為誤差傳播定律。一、線性函數1、倍數函數

Z=Kx

式中x為直接觀測值，其中誤差為mx；Ｋ為常數；Z為觀測值x的函數。若對x作n次同精度觀測，其真誤差列為Δxi(i=1,2,…n)，對應的函數的誤差列為Δzi(i=1,2…n)則觀測值與函數間的真誤差關系式為

Δzi=KΔxi(i=1,2,…n)中誤差：mＺ2＝Ｋ2mx2或mＺ＝Ｋmx

上式表明：對于倍數函數，函數的中誤差等于觀測值中誤差的K倍。2、和、差函數

Z=x±y

推導出下列真誤差關系式:Δzi=Δxi±Δyi(i=1,2,…n)

求上述關系式的平方和并除以n,得

當n→∝上式右端第三項趨于0，則按中誤差定義可知

推廣之對n個獨立觀測值代數和的情形

mＺ2＝mx12＋

mx22+…+mxn2

3、一般線性函數

Z=K１x１±K2x２±…±Knxn

式中，K１、K２…Kn為常數；x１、x２…xn為獨立觀測值，其相應的中誤差分別為m１、m２…

mn。

一般線性函數中誤差的公式為：

mＺ2＝（Ｋ１m１）２＋（Ｋ２m２）２＋…＋（Ｋnmn）２二、非線性函數

Z=f(x１，x２…xn）

式中，x１，x２…xn為獨立觀測值，其相應的中誤差分別為m１、m２…mn。

真誤差關系式可用全微分近似表示有：

中誤差：§5-4算術平均值及其中誤差

觀測值的真誤差為：Δ１＝l１－Ｘ,Δ２＝l２－Ｘ,…………,Δn＝ln－Ｘ，

將等式兩邊取和并除以觀測次數n,得：[Δ]/n＝[l]/n-X

式中:［l］/n稱為算術平均值，習慣上以x表示；

觀測次數n無限增大時，據偶然誤差的特性四，知［Δ］/n趨于零。

于是有：x=X

上式表明：當觀測次數無限增多時，各個觀測值的算術平均值趨近于未知量的真值。當n為有限值時，通常取算術平均值為最可靠值(最或是值)，并以它作為測量的最后成果。

算術平均值的一般表達式為:

x=（l１＋l２＋…＋ln）/n＝[l]/n

實際工作中采用觀測值的改正數vi來計算中誤差。

各觀測值的改正數：

vi＝x－li(i=1,2,……,n)

將上式兩邊求和，有:

［v］=nx-［l］

因x=[l]/n，所以

［v］=0

此式可作為改正數計算正確性的檢查。

計算觀測值的中誤差：

算術平均值的中誤差為M，則按線性函數中誤差傳播定律公式，得：

上式表明，算術平均值的中誤差與觀測次數的平方根成反比；或者說，算術平均值的精度比各觀測值的精度提高了倍。復習思考題：1偶然誤差與系統誤差有什么區別?偶然誤差有哪些特性?根據下列的誤差內容，試判斷其屬于何種誤差?

誤差的內容誤差的性質1.鋼尺尺長不準，對量得距離的影響2.量距時，尺子不在一條直線上，對量得距離的影響3.水準儀水準管軸不平行于視準軸的誤差4.讀數時的誤差5.瞄準誤差6.豎盤指標差7.豎盤指標差的變化誤差系統誤差系統誤差系統誤差偶然誤差偶然誤差偶然誤差系統誤差2何謂中誤差、相對誤差和極限誤差(限差)?3對某線段丈量了5次，觀測結果為：49.535m、49.547m、49.527m、49.537m、49.529m。試計算其算術平均值和算術平均值的中誤差。4用DJ6級經緯儀觀測某個水平角4個測回(四次)，其觀測值分別為：68°32′18″、68°31′54″、68°31′42″、68°32′06″，試求觀測一測回的中誤差、算術平均值及其中誤差。答：平均值X平=49.535m，v1=0,v2=-12,v3=8,v4=-2,v5=6M=0.0035(m)參考答案：15″，

68°32′00″，7.5″

5

設有一n邊形，每個角的觀測值中誤差為m=±9″，試求該n邊形內角和的中誤差。6在一個三角形中，觀測了A、B兩角，中誤差

mＡ＝mＢ＝±15″，用兩個觀測角值計算另外一個角，即C=180°-(A+B),試求C角的中誤差mＣ是多少?n邊形內角和,Σ=β1+β2+…+βn,參考答案:mＣ=±15=21″7如圖所示，測得a=110.11m±0.02m，∠A=64°24′±１′，∠Ｂ＝35°10′±0.5′，試計算邊長c及其中誤差。8已知四邊形各內角的測量中誤差為±15″，若限差取中誤差的2倍，求該四邊形閉合差的限差。aABcC=a*sin(B)/sin(A),需要線性化,求全微分得:dc=(sin(B)/sin(A))da+(a*cos(B)/sin(A))dB/ρ-a*sin(B)*cot(A)/sin(A)dA/ρ=0.639da+0.029dB+0.010dA

mc=±0.032m參考答案:±60″某礦大型貫通示意圖地面GPS控制網礦井聯系測量井下控制測量K（貫通相與點）10km300m風井主井4.例題及討論例3-4對某△ABC，等精度獨立觀測了兩個內角A、B，其值分別為：∠A=64°21′06″±4″，∠B=70°35′40″±4″，求∠C及其中誤差。ABC解∠C=180-∠A-∠B=45°03′14″由于∠C=180-∠A-∠B，依照中誤差轉播定律，有得mc=±5.7″所以，∠C=45°03′14″±5.7″

太簡單了！

10例3-5對該△ABC，等精度獨立觀測了三個內角A、B，其值分別為：∠A=64°21′06″±4″，∠B=70°35′40″±4″，∠C=45°03′02″±4″；求分配閉合差后∠C及其中誤差。ABC解：首先計算閉合差：fβ=∠A+∠B+∠C-180°=–12″∠C=∠C–(1/3)×fβ=45°