冪函數的概念第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日一般地，形如

的函數叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．對于冪函數，一般只討論α＝1,2,3，

，－1時的情形．提示：y＝x2是冪函數．y＝2x不是冪函數，是指數函數．二者本質的區別在于自變量的位置不同，冪函數的自變量在底數位置，而指數函數的自變量在指數位置．y＝xα(α∈R)1．冪函數的定義第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日在同一平面直角坐標系下，冪函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝x－1的圖象分別如下圖．提示：冪函數y＝xα(α∈R)隨著α的取值不同，它們的定義域、性質和圖象也不盡相同．但它們的圖象均不經過第四象限，在其他象限的圖象可由定義域和奇偶性決定．2．冪函數的圖象第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日3．冪函數的性質定義域值域奇偶性單調性定點函數特

征性質y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}RR[0，＋∞)[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇奇奇偶非奇非偶增增增x∈[0，＋∞)時，增x∈(－∞，0]時，減x∈(0，＋∞)時，減x∈(－∞，0)時，減(0,0)，(1,1)(1,1)第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日1．設α∈，則使函數y＝xα的定義域為R且為奇函數的所有

α值為(

)

A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3解析：根據冪函數的定義和性質易得x＝1,3時，定義域為R且為奇函數．答案：A第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日2．給出命題：若函數y＝f(x)是冪函數，則函數y＝f(x)的圖象不過第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數是(

)A．3 B．2 C．1 D．0解析：原命題正確，故其逆否命題正確，逆命題錯誤，故否命題錯誤．答案：C3．已知點

在冪函數f(x)的圖象上，則f(x)的表達式是(

)

A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x－3C．f(x)＝ D．f(x)＝解析：設冪函數f(x)＝xα(α∈R)，則∴α＝ ＝－3，∴f(x)＝x－3.答案：B第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日4．若函數f(x)＝，則f(f(f(0)))＝_____________________.解析：f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1.答案：1第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日有關冪值的大小比較，可結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較．一般地，幾種冪值的比較方法如下：①冪的底數相同，指數不同型可以利用指數函數的單調性進行比較．②冪的底數不同，指數相同型可以利用冪函數的單調性進行比較．③冪的底數不同，指數不同型常運用媒介法，即找到一個中間值，通過比較兩個冪值與中間值的大小，確定兩個冪值的大小．第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日(1)和；

(2) ；(3)0.20.5和0.40.3.思維點撥：利用性質、中間值作轉化．解：(1)＝，由于冪函數y＝

在(0，＋∞)上是減函數，所以

【例1】

比較下列各組值的大小：(2)由于 因此

(3)由于指數函數y＝0.2x在R上是減函數，所以0.20.5＜0.20.3.又由于冪函數y＝x0.3在(0，＋∞)是遞增函數，所以0.20.3＜0.40.3，故有0.20.5＜0.40.3.第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日冪函數的圖象在解方程和不等式時有著重要作用．【例2】

點(

，2)在冪函數f(x)的圖象上，點在冪函數g(x)的 圖象上，問當x為何值時，有f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)＜g(x)．

思維點撥：由冪函數的定義，求出f(x)與g(x)的解析式， 再利用圖象判斷即可．第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日解：設f(x)＝xα，則由題意得2＝(

)α，∴α＝2，即f(x)＝x2，再設g(x)＝xβ，則由題意得＝(－2)β，∴β=-2，即g(x)=，在同一坐標系中作出f(x)與g(x)的圖象，如圖所示．由圖象可知：①當x＞1或x＜-1時，f(x)＞g(x)；②當x=±1時，f(x)=g(x)；③當-1＜x＜1且x≠0時，f(x)＜g(x)．第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日變式2：方程＝logsin1x的實根個數是(

)

A．0

B．1

C．2

D．3

解析：在同一平面直角坐標系中分別作出函數y1

=

和y2=

y2=logsin1x的圖象，可知只有唯一交點(如右圖所示)． 答案：B第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日對冪函數性質的考查，主要是冪函數的定義域、奇偶性及單調性的考查．【例3】

已知冪函數f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)為偶函數，且在區間(0，＋∞)上是 減函數． (1)求函數f(x)的解析式； (2)討論函數φ(x)＝a的奇偶性．第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日解：(1)∵冪函數f(x)在(0，＋∞)上是減函數，∴m2－2m－3＜0，∴－1＜m＜3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，∴m2－2m－3＝－3或－4.又∵f

(x)為偶函數，∴f

(x)＝x－4.(2)由(1)得φ(x)＝－bx3，φ(－x)＝＋bx3.①當a≠0，且b≠0時，φb

(x)為非奇非偶函數；②當a

＝0，且b≠0時，φ(x)為奇函數；③當a

≠0，且b＝0時，φ(x)為偶函數；④當a

＝0，且b＝0時，φ(x)既為奇函數又為偶函數．第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日變式3：已知冪函數f(x)的圖象過點(

，3

)，函數g(x)是偶函數， 且當x∈[0，＋∞)時，g(x)＝.求f(x)與g(x)的解析式．解：設f(x)＝xα，∵其圖象過(

，3

)點，故3

＝(

)α，即(

)3＝(

)α， ∴α＝3，故f(x)＝x3. 令x∈(－∞，0)，則－x∈(0，＋∞)． ∴g(－x)＝又∵g(x)是偶函數，故g(－x)＝g(x)，∴g(x)＝(－x)

，x∈(－∞，0)，∴g(x)＝故g(x)＝（x∈R).第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日【方法規律】1．冪函數y＝xα(α∈R)，其中α為常數，其本質特征是以冪的底x為自變量，指數α為常數，這是判斷一個函數是否是冪函數的重要依據和唯一標準．應當注意并不是任意的一次函數、二次函數都是冪函數，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是冪函數．2．在(0,1)上，冪函數中指數愈大，函數圖象愈靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸.第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日已知冪函數y＝

(m∈N*)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數，求滿足的a的取值范圍．【閱卷實錄】第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日

解決本題的關鍵是根據函數的奇偶性求出m的值后，依據冪函數的性質和圖象建立關于a的不等式組．在這里極易出現認為函數在(－∞，0)和(0，＋∞)上為減函數，則函數必在定義域內是減函數的認識誤區．從而誤用性質產生錯誤，事實上由冪函數y＝

的圖象可知函數在整個定義域內圖象整體不呈下降趨勢，故函數只能說在定義域的兩個子集上分別為減函數，另外在分類討論時，要做到不重不漏，尤其是a＋1＜0＜3－2a這種情況容易被忽略，應引起注意．【教師點評】第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日解：∵函數在(0，＋∞)上單調遞減，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函數圖象關于y軸對稱，∴m2－2m－3是偶數．而22－2×