第十二章動態優化模型

12.1速降線與短程線12.2生產計劃的制定12.3國民收入的增長12.4漁船出海12.5賽跑的速度y12.1速降線與短程線5.最簡泛函數極值的必要條件-----歐拉方程最簡單的一類泛函：，其中F具有二階連續偏導數，容許函數類S取為滿足端點條件為固定端點的二階可微函數。

泛函極值的必要條件：設泛函（3）在x(t)∈S取得極值，則x(t)滿足歐拉方程：或用歐拉方程求解速降線問題。考察例二得：不含自變量，所以方程可寫作：

等價于：作一次積分得：令則方程化為又因積分之，得由邊界條件

，可知，故得這是擺線（園滾線）的參數方程，其中常數

可利用另一邊界條件

來確定。

問題背景：12.2生產計劃的制定

工廠與客戶簽訂了一項在某時刻提交一定數量產品的合同，在制訂生產計劃時要考慮生產和貯存兩種費用．生產費用通常取決于生產率(單依時間的產量)．生產率越高費用越大；貯存費用自然由已經生產出來的產品數量決定，數量越多費用越大．所謂生產計劃這里簡單地看作是到任一時刻為止的累積產量，它與每單體時間(如每天)的產量可以互相推算．建模目的是尋求最優的生產計劃，使完成合同所需的總費用(生產與貯存費用之和)最小。問題假設問題分析模型建立12.3國民收入的增長問題背景

國民經濟收入主要來自兩個方面：輪廓大再生產的積累和滿足人民生活需要的消費資金。如何安排積累和消費資金的不利使國民收入得到嘴快的增長，是一個重大的理論和實踐問題，本節僅從最優控制的角度介紹一個十分簡化的模型。模型建立模型評注12.4漁船出海

這一節繼續討論開發漁業資源的最大經濟效益模型，與6.1節的不同之處是，這里用出海漁船的數量作為控制函數。事實上，捕漁業的具體做法是等漁場中魚量增長到相當大的時候，才派出一定數量的漁船進行捕撈。于是我們的控制函數可以取與這種做法想適應的特殊形式，從而將本來屬于動態優化模型的泛函極值問題簡化為普通的函數極值問題。1、漁場數量x（t）的自然增長服從Logistic規律，單位時間內捕撈量與漁船數量u（t）和x（t）成正比，在捕撈條件下滿足模型假設：(1)(2)(3)r，N同前，q是每只漁船單位時間（如每天）的捕撈率（相對于x而言）。u（t）視為連續變量，非整數部分理解為在部分時間內進行捕撈。2、出始時刻漁場魚量（4）x（0）很小。在時間內不派漁船出海。以后出海漁船的數量保持常數U，即u（t）的形式為：（5）將（5）、（8）帶入（6）式，目標范函變為U的函數，記作F（U），則（10）注意c,p,q,N的含義，可知無量綱量b是費用——價格比的下界（因為漁場魚量取最大值N）。顯然應該b〈1，否則成本高于售價。漁船不會出海。并且由（10）式可知，效益F（U）為正值的條件是1-qU/r-b〉0，或記作：（11）用微分法求出在條件（11）下F（U）下F（U）的最大點為（12）將（12）帶入（9）式即得為漁船出海的最佳數量與時刻（13）

模型解釋：按照經濟學的觀點。最優解應該在邊際得益恰好等于邊際損失時達到，成為邊際解釋。為了得到這種解釋的表達式，考察單位時間的利潤。當時，以（5）、（8）代入（14）得（14）與（10）比較可知F（U）又可表為（15）（16）容易算出對于最優解有故必滿足

由此可對最優解