教育部北師大基礎教育研究中心北京師范大學高等教育學與管理博士中國教育科學研究院教育部課題組研究中心組長呂琢課題研究小組組員39個專家學者電話箱：呂老師1285289474@

中考數學復習的設計策略走近2010年數學中考高考是我國基礎教育的一種選拔性考試，它與高考相比，其參加人數更多，涉及面更廣，對基礎教育的影響更大。可以這樣說，中考在很大程度上影響著當地初高中教學質量和學生的素質發展。因此，各級教育行政部門和教研機構都非常重視中考試題的導向作用。自從我省2011年作為國家級實驗區進入新課程以來，伴隨著課程標準的實施，數學教材在內容的選取、體系的構建和處理的方法等方面都有很大的變化。相應的，這些年來，江西省的中考命題也發生了很多的變革，特別是命題從知識立意向能力立意的轉變，這幾年來的江西省的中考試卷一直得到各地及教材組的專家的好評。前言前言如何高效地進行中考數學的總復習呢？我在2012年5月26日北師大《新世紀初中數學網絡研修》舉行的專題“九年級復習課專題研討：高效復習教學經驗談。”和一些學校的老師進行網絡研討。主要有：主備課學校：湖北宜昌六中周清華其它參與學校：成都七中育才學校魏進華山西河津第三實驗中學薛翠平河南平頂山14中王廣樹重慶市珊瑚中學曾暢太原第二外國語學校數學組教材組參加人員：高峻老師主持人：楊繼明下面就結合教學經驗及回訪交流中得到的信息，和與會代表交流在復習課的教學方面的設計策略。設計策略一立足于課標與考試說明，抓學生的知識結構中考有30%的基本題、50%的中檔題，考試的成敗主要取決于這些題目的解答情況，因此在中考總復習中，必須關注基礎知識的落實，對基礎知識的靈活運用就是能力，抓住了基礎就能以不變應萬變。設計策略一要落實基礎知識，教師首先要明確復習課要復習的內容，這部分內容在初中階段是在哪幾個學段學習的，如何將這些不同階段學習的知識串起來，不同階段的要求是否有差異等，要通過復習，將學生頭腦中孤立的、零碎的知識梳理好，明確這些知識要不同階段學習的特點，以及他們的內在聯系，使得它們形成某種組塊，便于學生的整體認知，使得相關知識系統化、條理化，促進學生的理解，幫助學生建立良好的認知結構。設計策略一正如布魯納在《教育過程》中指出：“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯結在一起，那是一種多半會被遺忘的知識，一串不連貫的論據在記憶中僅有短促得可憐的壽命”。設計策略一例如，復習《統計》章節，由于統計的內容分別七、八、九年級不同的階段都有學習，教師要將這些知識，以網絡、圖表或列表的方式串起來，這部分一方面可以交給學生以小組的方式完成，教師指導或課堂交流，通過學生自我總結，完善知識結構，更有利于學生建立良好的知識結構。這部分內容，在中考中的題型可有單項選擇題、填空題、計算題、解答題．從我省命題看，相關問題多為解答題，試題位置、分值相對穩定，問題背景卻與生產生活實際聯系緊密。設計策略一設計策略一江西省的中考中，2006年—2009年統計的試題均以解答題的形式進行了考核.例1．（2007江西）某學校舉行演講比賽，選出了10名同學擔任評委，并事先擬定從如下4個方案中選擇合理的方案來確定每個演講者的最后得分（滿分為10分）：

方案1所有評委所給分的平均數。

方案2在所有評委所給分中，去掉一個最高分和一個最低分，然后再計算其余給分的平均數。

方案3所有評委所給分的中位數。

方案4所有評委所給分的眾數。

設計策略一為了探究上述方案的合理性，先對某個同學的演講成績進行了統計實驗．下面是這個同學的得分統計圖：（1）分別按上述4個方案計算這個同學演講的最后得分；（2）根據（1）中的結果，請用統計的知識說明哪些方案不適合作為這個同學演講的最后得分。設計策略一例2．（2008江西）為了了解甲、乙兩同學對“字的個數”的估計能力，現場對他們進行了5次測試，測試方法是：拿出一張報紙，隨意用筆畫一個圈，讓他們看了一眼后迅速說出圈內有多少個漢字，但不同的是：甲同學每次估計完字數后不告訴他圈內的實際字數，乙同學每次估計完字數后告訴他圈內的實際字數．根據甲、乙兩同學5次估計情況可繪制統計圖如下：（1）結合上圖提供的信息，就甲、乙兩同學分別寫出兩條不同類型的正確結論；（2）若對甲、乙兩同學進行第6次測試，當所圈出的實際字數為100個時，請你用統計知識分別預測他們估計字數的偏差率，并根據預測的偏差率，推算出他們估計的字數所在的范圍．偏差率的計算公式：例如，圈內實際字數為80個，某同學估計的實際字數為65個時，偏差率為．顯然，偏差率越低，字數估計能力越強．20偏差率（％）第1次151050第2次第3次第4次第5次次數甲同學乙同學設計策略一設計策略一例3．（2009江西）經市場調查，某種優質西瓜質量為（5±0.25）kg的最為暢銷.為了控制西瓜的質量，農科所采用A、B兩種種植技術進行試驗.現從這兩種技術種植的西瓜中各隨機抽取20顆，記錄它們的質量如下（單位：kg）：A：4.14.85.44.94.75.04.94.85.85.25.04.85.24.95.25.04.85.25.15.0B：4.54.94.84.55.25.15.04.54.74.95.45.54.65.34.85.05.25.35.05.3（1）若質量為（5±0.25）kg的為優等品，根據以上信息完成下表：設計策略一優等品數量（顆）平均數方差A4.9900.103B4.9750.093（2）請分別從優等品數量、平均數與方差三方面對A、B兩種技術作出評價；從市場銷售的角度看，你認為推廣哪種種植技術較好設計策略一小結:考查對數據處理（表示、分析）的基本方法、基本技能的理解和掌握；通過對數據的分析來估計總體的統計思想、或對某些實際問題作出合理的決策、對某種統計方法提出質疑等考查學生的統計觀念；設計策略一建議:教學中要注意所學內容與日常生活、自然、社會和科學技術領域的聯系，使學生體會統計對制定決策的重要作用；應注重使學生從事數據處理的全過程，根據統計結果作出合理的判斷；應避免將這部分內容的學習變成數字運算的練習，對有關術語不要求進行嚴格表述。立足于課堂教學，抓學生的復習效率設計策略二在課堂教學中，教師要對知識的引入，新舊知識的銜接、例題的選擇、學生知識現狀學生對知識的接受能力，復習課上教師注意“以題代點、以題論法”，合理的安排講練的時間，注意知識的縱橫聯系，注意教學基本思想的滲透，注意基本方法的訓練，注意總結出學習的規律性，充分發揮課堂效益，盡量把問題解決在課堂。設計策略二1、串知識點[片段一]問題引入：如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的兩點，（1）若DE∥BC，則△ABC～△ADE，請說明理由。（2）請你添加一個條件，也使△ABC～△ADE。解：（1）生：方法一∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C∴△ABC～△ADE生：方法二∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，又∵∠A＝∠A∴△ABC～△ADE設計策略二（2）生1：可添加一個條件：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或；

生2：也可添加一個條件：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或。設計策略二對比與其他教師在上這節復習課時，很多都會一開始提問：判定三角形相似有哪些方法呢？學生回答：（1）兩個角對應相等的兩個三角形相似；（2）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似。很顯然，這種提問只是一種知識的簡單重復和記憶，學生不用動任何腦筋即可回答，學生自然沒有興趣，也不利于學生的思維發展。而[片段一]則巧妙地將三角形相似的判定方法蘊涵于一個題目當中，同時通過變式，讓學生舉一反三，加深了對三角形相似判定方法的理解，開拓了學生的思維，有很強的實效性。設計策略二[片段二]師：請同學們思考，問（2）中學生1所添加的三個條件實際上都保證了什么？他們有什么內在的聯系？生：DE∥BC師：也就是說只要保證了DE∥BC，則始終有△ABC～△ADE，同時幾何畫板拖動點D在直線AB上移動，學生觀察各種平行位置的△ABC～△ADE。設計策略二請研究二次函數y=x2+4x+3的圖象及其性質，并盡可能多地寫出有關結論。解：（1）圖象的開口方向:（2）頂點坐標：（3）對稱軸： （4）圖象與x軸的交點：（5）圖象與y軸的交點為： （6）增減性：（7）最大值或最小值： （8）y的正負性：（9）圖象的平移： （10）圖象在x軸上截得的線段長（11）圖象與y軸的交點關于對稱軸的對稱點坐標：設計策略二2、串圖形基本圖形：45oD30o45oABC45oBCA45o45oCAB45oCAB60oD60oD45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB翻轉BCA45o60oDBCA45o60oDBCA45o60oDBCA45o60oD旋轉E45oCAB60oD45oCAB60oD45oCAB60oD45o60oABDC旋轉60oD平移60oD60oD60oD60oD60oD60oD30oCAB45oD30oCAB60oD

3.串“典型圖形”設計策略二設計策略二組合一：例4．(湖北省十堰市2008年)海中有一個小島P，它的周圍18海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達B點，這時測得小島P在北偏東45°方向上．如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁危險？請說明理由．30oCAB45oD45oCAB

例5.如圖,為了求河的寬度,在河對岸岸邊任意取一點A,再在河這邊沿河邊取兩點B、C,使得∠ABC=60°,∠ACB＝45°,量得BC長為100米,求河的寬度（即求BC邊上的高）.D60°45°ABCBC

100米DBCA45o45oCAB60oD60oD45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB翻轉組合二：設計策略二設計策略二組合三：BCA45o60oD例6．(2008年湖北省襄樊市)如圖8，張華同學在學校某建筑物的點處測得旗桿頂部點的仰角為，旗桿底部點的俯角為．若旗桿底部點到建筑物的水平距離米，旗桿臺階高1米，則旗桿頂點離地面的高度為

米（結果保留根號）．設計策略二例7．(2008年河南省)如圖所示，A、B兩地之間有一條河，原來從A地到B地需要經過DC，沿折線A→D→C→B到達，現在新建了橋EF，可直接沿直線AB從A地到達B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．橋DC和AB平行，則現在從A地到達B地可比原來少走多少路程？（結果精確到0.1km．參考數據：，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）BDC60oAE30o50mM45oABC45o45oCAB60oD45oCAB60oD45oCAB60oD45o60oABDC旋轉60oD平移60oD60oD60oD60oD60oD60oD問題1樓房AB的高度是多少?問題2樓房CD的高度是多少?設計策略二小結:通過知識點的串聯、圖形組合的串聯、認知結構的串聯等，可以充分讓學生體會其中的聯系與變化，抓住問題的本質，從而達到對知識的全面復習。注：如果可以，將以上的問題可以放得更開些，形成系列問題，一個個拋出，讓學生形成思維上的深層思考，進一步加深學生探究的興趣設計策略二測底部不能到達的物體高度設計策略二設計策略二測底部不能到達的物體高度設計策略二設計策略二設計策略三立足于教材，抓習題的變換

在復習中要立足于課本，離開了課本的復習必然是無源之水，特別是教師，要充分挖掘和發揮課本中的例題、習題的潛在的功能，教給學生通過類比、延伸，拓展出一些新穎的變式題，并加以解決，從中歸納整理出基礎知識、基本技能、基本方法、掌握教材中的通性通法。在我們的教學過程中，一方面要善于引導學生積極進行探究，養成主動探究的習慣，而不是為探究而探究。另一方面更要善于捕捉時機，隨時從學生的疑問中發現問題，從而開展探究，提高學生的綜合分析能力與解決問題的能力。設計策略三下題是我根據課堂上學生提出的疑問而形成的一個綜合題的例子。產生的背景：習題課上，教材P68問題解決的習題，學生提出如下問題：周長是定值時，當長與寬相等時，圍成矩形的面積最大，即此時的矩形為正方形。當這個矩形一邊靠墻時，如果要保證面積最大，長與寬就不等了，是不是有什么關系呢？我與學生一起對這個問題進行了深入的探究，從而形成這樣一個綜合題。設計策略三例10．問題背景某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：如圖1，用一段長為100米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，當這個矩形的長y是寬x的2倍時，菜園的面積最大。如圖2，用一段長為100米的籬笆圍成二個一邊靠墻的全等矩形菜園，當這個矩形的長y是寬x的3倍時，菜園的面積最大。設計策略三設計策略二然后運用類比的思想提出了如下命題：如圖3，用一段長為100米的籬笆圍成三個一邊靠墻的全等矩形菜園，當這個矩形的長y是寬x的4倍時，菜園的面積最大。任務要求⑴請你從三個命題中選擇一個說明成立的理由，并求出此時菜園的最大面積是多少。（說明：選①做對的得3分，選②或③做對的得4分）⑵請你繼續完成下面的探索：如圖4，用一段長為100米的籬笆圍成四個一邊靠墻的全等矩形菜園，當這個矩形的長y和寬x滿足什么條件時，菜園的面積最大，最大是多少？(4分)設計策略三如圖5，用一段長為100米的籬笆圍成n個一邊靠墻的全等矩形菜園，當這個矩形的長y和寬x滿足什么條件時，菜園的面積最大，最大是多少？(不要求解題過程,直接寫答案)(2分)設計策略三這樣的情況，經常在我的教學中出現，往往是由于學生發現的問題或提出的問題，為解決學生的疑問，從而形成了深入的探討。例11．如圖1：Rt△ABC為一鋼板余料，∠C=90°,AC=40cm,BC=30cm,現需如圖所示截出一個矩形CDEF，如何裁剪才能使矩形CDEF的面積最大？教材P67的情景引入設計策略三探究一：如圖2：Rt△ABC為一鋼板余料，∠C=90°,AC=40cm,BC=30cm,我們現如圖2所示截出一個矩形DEFG，那么這時又該如何裁剪才能使矩形DEFG的面積最大？最大面積還會是△ABC的面積的一半嗎？所截得的線段還會是△ABC的中位線嗎？設計策略三探究二：如圖3，在一塊三角形ABC的余料中，如圖所示截出一個矩形，如何裁剪使矩形DEFG的面積最大。設計策略三例12.如圖是一塊長3m、寬1.5m的矩形黑板，現準備在黑板四周鑲上木質邊框。⑴若在其四周鑲上寬為10cm的木質邊框，那么邊框的內外邊緣所成的矩形相似嗎？請說明理由。教材P123做一做設計策略三⑵若小明已在黑板的左右兩邊鑲上15cm寬的木條，為了使黑板四周鑲上木條后，邊框內外邊緣所成的矩形保持相似，那么小明應在黑板的上下鑲上多寬的木條？⑶小紅打算在黑板的左右兩邊鑲上acm寬的木條，上下兩邊鑲上bcm寬的木條，那么當a、b滿足什么條件時，邊框內外邊緣所成的矩形保持相似。設計策略三設計策略三小結：一個學生的綜合能力的培養，并不是一朝一夕的事，往往需要我們在平時不斷地創造機會，提高學生的發現問題，提出問題的能力，只有這種能力的提升，才會有解決問題的愿望，從而使學生的能力真正得到提高設計策略三建議：在中考復習教學中，解題訓練是極為重要的，但習題演練的關鍵不在題量，不是簡單機械的重復訓練和題海戰術，解題訓練要有一定的系統性、針對性，有明確的考察目標和培養方向。在平時教學中，我們應該多對一個已有的習題進行系列改編變式，形成一個題組或題鏈，在變式探究的過程中，學生的思維逐步深入，有利于促進學生對知識本質的認識，對各種數學思想方法的熟練掌握，有利于培養學生思維的靈活性和深刻性。設計策略四立足于反思，抓解題的本質

中考數學試題形式和知識背景千變萬化，但其中運用的數學思想方法卻往往是相通的。要處理好“通法”和技巧的關系，在學習中不應過分地追求特殊方法、技巧，不必將力氣花在鉆難題、怪題上。應抓住數學知識的主干部分與通性通法，在此基礎上通過尋求不同解題途徑與思維方式，培養思維的廣闊性、靈活性和敏捷性。設計策略四例如：如圖（6），O為正方形ABCD內一點，過點O的兩條互相垂直的直線與正方形的兩組對邊交于點E，F，G，H，求證：EF=GH。

圖（6）設計策略四1．橫向變化：圖（7）圖（8）變式1：在例題中，如果將點O移動到正方形外，如圖（7），其他條件不變，是否還類似的結論？結論如何表述？設計策略四解決變式1后，再對例題進行變化，提出如下問題：變式2：如圖（8），已知O為矩形ABCD內一點，過點O作兩條互相垂直的直線分別交矩形于點E，F，G，H，則EF與GH又存在著怎樣的關系呢？變式3：把點O移到矩形ABCD外（如圖9）是否還有同樣的結論？結論又該如何表述？圖（9）設計策略四類似地，我們還可以進一步探究如下，如把矩形改為平行四邊形，是否還有類似的結論？結論該如何表述呢？如果點O在平行四邊形的外面呢？在平時的復習教學中，我們若能經常這樣來設計一定量相互銜接和過渡的，具有知識、能力層次、梯度要求的變式問題，，必能優化學生的知識結構，提升學生靈活應用知識、分析問題、解決問題的能力。設計策略四2．縱向變化：圖（6）設計策略四3．思維延伸：設計策略四例13（2006·江西）問題背景某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：①如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，若BM與CN相交于O,∠BON=60°，則BM=CN；②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，若BM與CN相交于O,∠BON=90°，則BM=CN．設計策略四然后運用類比的思想提出了如下命題：③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，若BM與CN相交于O,∠BON=108°，則BM=CN．設計策略四任務要求（1）請你從上述①，②，③三個命題中選擇一個進行證明；（說明：選①做對的得4分，選②做對的得3分，選③做對的得5分）（2）請你繼續完成下面的探索：①如圖4，在正n（n＞5）邊形ABCDE…中，M，N分別是CD，DE上的點，BM，CE相交于點O，問當∠BON等于多少度時，結論BM=CN成立？（不要求證明）設計策略四②如圖5，在正五邊形ABCDE中，當M、N分別是DE、AE上的點，且BM與CN相交所成的一個角為108°時，BM=CN是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．設計策略四小結：一個綜合問題的解決，我們一定要給學生充分思考回味的過程。也就是讓學生有個反思的過程，體會解決問題的本質，從而得到真正的方法。設計策略四建議：教師在中考備考的過程中，選題的時候一定要抓住典型，特別是要處理好通法與特殊技巧之間的關系。我在教材回訪的過程中，經常有教師提出疑問：為什么解一元二次方程的方法中沒有十字相乘。這就是解一元二次方程的通法與特殊技巧方法之間的差異，求根公式是解一元二次方程的通法，所以必須熟練掌握，而十字相乘技巧性太強，所以并沒列入新課標的要求范圍內。所以我們要明確這些要求，才能做到有效復習。設計策略五立足于數學思想，抓綜合運用

初中數學中蘊含的數學思想方法很多，最基本的數學思想方法有化歸的思想、數形結合的思想、分類討論的思想、方程的思想、函數的思想等，突出這些基本思想方法，就相當于抓住了中學數學知識的精髓。設計策略五實驗與探究：（1）在圖1，2，3中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標（如圖所示），寫出圖1，2，3中的頂點C的坐標，它們分別是（5，2），

，

；設計策略五（2）在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標（如圖所示），求出頂點C的坐標（D點坐標用含a，b，c，d，e，f的代數式表示）；設計策略五歸納與發現：（3）通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點C的坐標的探究，你